2021-2022学年湖南省衡阳市部分中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省衡阳市部分中学八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共36分）

1. 已知函数，则自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 点所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 分式，，的最简公分母是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 近期浙江大学的科学家们研制出今为止世界上最轻的材料，这种被称为“全碳气凝胶”的固态材料密度仅每立方厘米克，数据用科学记数法表示应是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

7. 若函数的图象经过点，下列说法正确的是(    )

A. 随的增大而减小 B. 函数的图象只在第一象限
C. 当时，必有 D. 点不在此函数图象上

8. 如图，点是双曲线第二象限内的一点，轴于点，连接，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若分式的运算结果为，则在“”中添加的运算符号为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图所示，货车匀速通过隧道，隧道长大于货车长，从货车进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于，的方程组的解为(    )

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

13. 已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是______．
14. 若分式的值为，则的值为______．
15. 如果点，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系从小到大排列为______．
16. 将直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式是______．
17. 若方程有增根，则 ______ ．
18. 如图，在平面直角坐标系中，分别平行于轴、轴的两直线、相交于点连接，若在直线上存在点，使是以为腰的等腰三角形．请写出所有满足条件的点的坐标是______．

三．解答题（本题共8小题，共66分）

19. 计算：．
20. 解方程：
21. 已知是的反比例函数，且函数图象过点．
    求与的函数关系式；
    当取何值时，．
22. 某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设米，且甲工程队铺设米所用的天数与乙工程队铺设米所用的天数相同，求甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
23. 化简分式，并从中选一个你认为合适的整数代入求值．
24. 已知一次函数．
    设函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求、两点的坐标；并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
    求的面积；
    利用图象直接写出：当时，的取值范围．

25. 某商场欲购进一种商品，当购进这种商品至少为，但不超过时，成本元与进货量的函数关系如图所示．
    求关于的函数解析式，并写出的取值范围．
    若该商场购进这种商品的成本为元，则购进此商品多少千克？

26. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点．
    求这两个函数的关系式；
    观察图象，写出使得成立的自变量的取值范围；
    在轴是否存在一点，使的面积是？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，
点的横坐标为正数，纵坐标为正数，
点在第一象限，
故选：．
根据各象限内点的坐标符号可得其所在象限．
本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握四个象限内点的坐标符号特点．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据两个点关于原点对称的点的坐标特征，得
点关于原点的对称点的坐标是．
故选：．
根据关于原点对称的两个点的横、纵坐标都是互为相反数，进行解答．
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，的最简公分母是，
故选：．
根据最简公分母的概念确定三个分式的最简公分母，判断即可．
本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
一次函数经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：．
根据函数解析式可知，，即可确定图象不经过第几象限．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数的图象经过点，
，
A、，
图象在每个象限，随的增大而减小，故此选项错误；
B、，
函数图象经过一、三象限，此选项错误．
C、，
函数图象经过一、三象限，
当时，，故此选项正确；
D、，
点在此函数图象上，故此选项错误；
故选：．
利用反比例函数的性质以及图象上点的坐标性质，分别判断得出即可．
此题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由反比例函数系数的几何意义得，
，
又，
，
故选：．
根据反比例函数系数的几何意义进行解答即可．
本题考查反比例函数系数的几何意义以及反比例函数的性质，理解反比例函数系数的几何意义以及反比例函数的性质是正确解答的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为，
，
，
，
故选：．
可对两个分式分别进行加、减、乘、除运算，根据结果是否是对选择支作出判断．
本题考查了分式的加、减、乘、除．掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：中的，
直线经过第一、三象限．
中的，
双曲线经过第二、四象限，
综上所述，只有选项符合题意．
故选：．
根据正比例函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．
本题考查正比例函数和反比例函数的图象，熟知函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意可知货车进入隧道的时间与货车在隧道内的长度之间的关系具体可描述为：
当货车开始进入时逐渐变大，货车完全进入后一段时间内不变，当货车开始出来时逐渐变小，
反映到图象上应选A．
故选：．
先分析题意，把各个时间段内与之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．
本题主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力．解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论与之间的函数关系，难度适中．
 

12.【答案】 

【解析】解：将点代入，
得，
，
方程组的解为，
故选：．
先将点代入，求出，即可确定方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设该正比例函数的解析式为，根据题意，得
，
．
则这个正比例函数的表达式是．
故答案为．
本题可设该正比例函数的解析式为，然后根据该函数图象过点，由此可利用方程求出的值，进而解决问题．
此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得且，
解得．
故答案为．
分式的值为的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于该类型的题易忽略分母不为这个条件，所以常以这个知识点来命题．
 

15.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，
函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
，
点位于第二象限，
，
，
点，位于第四象限，
，
．
故答案为：．
先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据平移的规则可知：
直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式为：．
故答案为：
根据函数的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的解析式．
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数平移的规则“上加下减”本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：方程两边都乘，得
，
方程有增根，
最简公分母，即增根是，
把代入整式方程，得．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
解决增根问题的步骤：
确定增根的值；
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

18.【答案】或或 

【解析】

【分析】
本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定解答是正确解答本题的关键．
根据题意可得，再根据情况为等腰三角形一条腰计算求解．
【解答】
解：如图，直线与轴交于点，
，
，，
，
当为等腰三角形一条腰，如图有三种情况，

：，所以横坐标为：，
此时，
：，所以横坐标为：，
此时，
：，所以横坐标为：，
此时，
故答案为或或．  

19.【答案】解：


． 

【解析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后计算除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】解：原方程可化为，
方程的两边同乘，
得：，
解得：．
检验：把代入，
是增根，故原分式方程无解． 

【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．结果需检验．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
 

21.【答案】解：设反比例函数的关系式为，
反比例函数的图象过点．
，
反比例函数的关系式为；
当时，即，
解得． 

【解析】将点代入反比例函数关系式即可确定的值；
将代入反比例函数关系式求出即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入是求滑雪关系式常用的方法．
 

22.【答案】解：设乙工程队每天能铺设米，则甲工程队每天能铺设米，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米． 

【解析】设甲工程队每天能铺设米．根据甲工程队铺设米所用的天数与乙工程队铺设米所用的天数相同，列方程求解．
本题考查了分式方程的应用，工程问题中，工作量工作效率工作时间．在列分式方程解应用题的时候，也要注意进行检验．
 

23.【答案】解：原式

，
由于当，或时，分式的分母为，
故取的值时，不可取，或，
不妨取，
此时原式． 

【解析】先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．
本题考查了分式的化简求值，解答此题不仅要熟悉分式的除法法则，还要熟悉因式分解等内容．
 

24.【答案】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
解得：，
点的坐标为．
描点、连线，画出函数图象，如图所示．
点的坐标为，点的坐标为，
，，
的面积为．
由函数图象可知：当时，． 

【解析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，描点、连线，即可画出一次函数的图象；
由点，的坐标可得出，的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出的面积；
观察函数图象，即可得出当时，．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标并画出函数图象是解题的关键．
 

25.【答案】解：设成本元与进货量的函数解析式为，
由图形可知：，
解得：．
故关于的函数解析式为，其中．
令，即，
解得：．
故该商场购进这种商品的成本为元，则购进此商品千克． 

【解析】设出成本元与进货量的函数解析式，由图象上的点的坐标利用待定系数法即可求得结论；
令成本，得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象以及用待定系数法求函数解析式，解题的关键：设出解析式在图象上找出点的坐标利用待定系数法去求系数；令，得出关于的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该类题型的方法是利用图象得出点的坐标，结合待定系数法求出结论．
 

26.【答案】解：函数的图象过点，即，
，即，
又点在上，
，
，
又一次函数过、两点，
即 ，
解得：．
．
反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 ；

要使，即函数的图象在函数的图象下方，
或；

如图，直线与轴交点的坐标，

设点的坐标为，
．
解得：或，
点的坐标或． 

【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；
根据一次函数图象在下方的部分是不等式的解，可得答案；
根据面积的和差，可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，函数与不等式的关系．