2021-2022学年湖南省长沙一中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省长沙一中教育集团八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 九章算术中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高一丈丈尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺．若设折断处离地面的高度为尺，则可以列出关于的方程为

A.  B.
C.  D.

4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6. 如图，点、分别是边、的中点，，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 菱形、矩形同时具有的性质是

A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 对角互补

8. 变量，有如下关系：；；；其中是的函数的是

A.  B.  C.  D.

9. 当时，一次函数的图象大致是

A.  B.
C.  D.

10. 小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是

A. 小明吃早餐用了
B. 小明读报用了
C. 食堂到图书馆的距离为
D. 小明从图书馆回家的速度为

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 要使式子有意义，则的取值范围是______．
12. 在直角三角形中，若，，则______．
13. 如图，中，，是边上的中线，且，则的长为______．
     

14. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，若，，则的周长为______．
15. 已知、是一次函数上两点，若，则______．
16. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解为______．
    
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：
18. 如图，已知平行四边形中，是它的一条对角线，过、两点作，，垂足分别为、，延长、分别交、于点、．
    求证：四边形是平行四边形；
    已知，，求的长．

19. 如图，已知点是线段上一点，，若，，，，．
    求、的长；
    求证：．

20. 如图，一次函数的图象是直线，一次函数的图象是直线，两条直线相交于点，已知直线和与轴的交点分别是点，点，且直线与轴相交于点．
    点坐标为______，点坐标为______．
    求出直线的表达式；
    试求的面积．

21. 如图，，是中点，，．
    求证：四边形是矩形．
    若，，是上一点，且，求的长．

22. 学校商店购进、两种型号的吉祥物共个．经预算，全部售出后，可获得利润不低于元，不高于元．设全部售出的总利润为元，购进型吉祥物个．两种型号的吉祥物成本和售价如表：

求与的函数关系式；
求符合条件的进货方案有哪几种？
按哪种方案进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？

23. 如图，在矩形中，垂直平分对角线，分别交，于点，，垂足为．
    求证：四边形为菱形；
    若，，求四边形的面积；
    在的条件下，求线段的长．

24. 平面直角坐标系中，对于点和点，若，则称点为点的因变点．例如：点的因变点的坐标是，点的因变点的坐标是．
    点的因变点的坐标是______；
    点，中有一个点是函数图象上某一个点的因变点，这个点是______；填“”或“”
    若点在函数的图象上，求其因变点的纵坐标的取值范围；
    若点在函数的图象上，其因变点的纵坐标的取值范围是，求出的取值范围．
25. 如图，四边形是菱形，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的坐标为，直线与轴相交于点，连接．
    求菱形的边长；
    证明为直角三角形；
    直线上是否存在一点使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．，故A不符合题意；
B.是最简二次根式，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：．无法计算，故此选项不合题意；
B.无法计算，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的除法运算法则分别计算，进而判断即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】解：竹子原高一丈丈尺，折断处离地面的高度为尺，
竹梢到折断处的长度为尺．
依题意得：．
故选：．
由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
 

5.【答案】

【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、，，
不能判定四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、，，
，
，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：点、分别是的边、的中点，
是的中位线，
．
故选：．
直接利用中位线的定义得出是的中位线，进而利用中位线的性质得出答案．
此题主要考查了三角形中位线定理，正确得出是的中位线是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．
故选：．
根据矩形的对角线的性质对角线互相平分且相等，菱形的对角线性质对角线互相垂直平分可解．
本题考查矩形、菱形的对角线的性质．熟悉菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意；
给一个任意不是的数，都有唯一的值与它对应，符合题意；
，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意；
，任意给一个正数，都有两个值与对应，不符合函数的定义，不符合题意；
故选：．
根据函数的定义判断即可．
本题考查了函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，掌握函数的概念是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】分析
主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限；当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．根据一次函数的、的符号确定其经过的象限即可确定答案．

解答
解：一次函数中，，
一次函数的图象经过一、二、三象限，
故选B．
 

10.【答案】

【解析】解：小明吃早餐用了，A错误；
小明读报用了，B正确；
食堂到图书馆的距离为，C错误；
小明从图书馆回家的速度为，D错误；
故选：．
根据函数图象判断即可．
本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：因为式子有意义，
则的取值范围是．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数为非负数，即可得实数的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式有意义的条件．
 

12.【答案】

【解析】解：在直角三角形中，，，
则，
故答案为：．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：在中，，是边上的中线，
则，
，
，
解得：，
故答案为：．
根据直角三角形的性质得到，根据题意计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长．
故答案为：．
根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，属于中考常考题型．
 

15.【答案】

【解析】解：一次函数中，
该一次函数随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
由根据一次函数的性质可得出结论．
本题考查了一次函数的性质，属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次项系数的正负得出该函数的增减性是关键．
 

16.【答案】

【解析】解：将点代入，
得，
解得，
根据图象可知，不等式的解为，
故答案为：．
先求出的值，然后根据图象即可求出不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，求出点的横坐标是解题的关键．
 

17.【答案】解：

．

【解析】首先利用绝对值以及负指数的性质以及零指数幂的性质化简求出即可．
此题主要考查了绝对值以及负指数的性质以及零指数幂的性质等知识，正确把握运算性质是解题关键．
 

18.【答案】证明：，，
，
四边形是平行四边形，

四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．

【解析】欲证明四边形是平行四边形，只要证明，即可；
根据平行四边形的性质解答即可．
本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是证明，．
 

19.【答案】解：，，，
，
，，，
；

证明：，，，
，
．

【解析】根据勾股定理求出和即可；
根据勾股定理的逆定理求出即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

20.【答案】 

【解析】解：点在一次函数的图象上，
，
，
令，则，
，
，
故答案为：，；

直线过点、，
，
解得，
直线的解析式为；

令，则，
，
，
，
．
将点坐标代入，即可得出的坐标，令，则，解方程即可求得的坐标；
把，坐标代入中，即可得出结论；
求得点的坐标，然后根据三角形的面积公式即可求得．
本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解本题的关键．
 

21.【答案】证明：，
是等腰三角形，
是中点，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
解：在中，，，，
，
于，
，
解得：．

【解析】由，为中点，利用三线合一得到等于的一半，且与垂直，根据等于的一半，等量代换得到，由与平行，得到四边形为平行四边形，根据与垂直即可得证；
在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，根据与垂直，得到，即可求出的长．
此题考查了矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．
 

22.【答案】解：全部售出的总利润为元，购进型吉祥物个，
则购进型吉祥物个，总利润销售总额总成本，
．
利润不低于元，不高于元，
，
是整数，
，，；，，共有三种方案：
购进型吉祥物个，型吉祥物个；
购进型吉祥物个，型吉祥物个；
购进型吉祥物个，型吉祥物个；
若进型吉祥物个，则元；
若进型吉祥物个，则元；
若进型吉祥物个，则元．
，
购进型吉祥物个，型吉祥物个，才能使总利润最大，最大利润是元．

【解析】根据“总利润销售总额总成本”列出函数关系式即可；
设生产型吉祥物个，则型吉祥物个，由题意列出不等式组求解；
分别求出中购买方案的总利润，再进行比较即可得到答案．
此题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数应用等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
 

23.【答案】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
设，则，
，
在中，
，
，
，
．
在中，


，
，
，
．

【解析】首先证明四边形是平行四边形，然后再利用相邻两边相等的平行四边形是菱形来判定；
解直角三角形，求得即可；
利用菱形的两个面积公式求解即可．
本题考查的是菱形的判定和面积，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法和两个面积公式．
 

24.【答案】 

【解析】解：点，
，
故该点的限变点的坐标，
故答案为：；
设点是符合条件的点，则在直线上的点坐标为：，该点限变点为，即为点，
同理验证点不符合条件，
故答案为：点；

由题意得：函数图象上的点的因变点必在函数的图象上，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，；

依题意，图象上的点的因变点必在函数的图象上，如图
当时，取得最大值，，
当时，，解得，
当时，或，解得或，
，
由图象可知的取值范围为：．
根据因变点的定义即可求解；
设点是符合条件的点，则在直线上的点坐标为：，该点限变点为，即为点，同理验证点不符合条件，即可求解；
由题意得：函数图象上的点的因变点必在函数的图象上，求得，和时的函数值，即可求得；
由题意得：函数图象上的点的因变点必在函数的图象上，如图由图象可知，的取值范围是．
本题主要考查了一次函数图形上点的坐标特征，一次函数的性质，解题的关键是：根据因变点的定义找出点，的因变点的坐标；得到因变点所在的函数；依照题意，画出函数图象，利用数形结合找出结论．
 

25.【答案】解：过点作轴于点，，，
，
即菱形的边长为；
四边形为菱形，
，
，
又，
，
又，
，
点，
，，
因此，，所以为直角三角形；
延长交于点，
，
，
，
，
由知，
联立得：，
解得，
所以点，
作关于点的对称点，可根据中点得：
，
综上，点为或．

【解析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．
过点作轴于点，，，根据勾股定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
延长交于点，求得，解方程组得到，作关于点的对称点，可根据中点得到结论．