2021-2022学年湖南省株洲市渌口区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省株洲市渌口区七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算结果正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 如果是常数是完全平方式，那么的值为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼的方式形成新的图形，给出四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有个．

A.  B.  C.  D.

5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

6. 多项式的公因式是

A.  B.  C.  D.

7. 已知，则的值是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形，若，则长方形的周长为

A.  B.  C.  D.

9. 已知，，则值是

A.  B.  C.  D.

10. 小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：口，爱，我，数，学，渌．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是

1. 我爱学 B. 爱渌口 C. 渌口数学 D. 我爱渌口

二．填空题（本题共8小题，共32分）

11. 将方程写成用含的代数式表示，则______．
12. 若三角形的底边为，高为，则此三角形的面积为______．
13. 在九章算术中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的若图中各行从左到右列出的三组算筹分别表示未知数，的系数与相应的常数项，如图表示方程组是，则如图表示的方程组是______ ．

14. 已知方程组和方程组有相同的解，则的值是______．
15. 若，，则______．
16. 若，则______．
17. 如果，那么代数式的值为______．
18. “今有鹿进舍，小舍容鹿，大舍容鹿，需舍几何？改编自缉古算经”大意为：今有只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳头鹿，大圈舍可以容纳头鹿，若每个圈舍都住满，求所需圈舍的间数．设需要大圈舍间，小圈舍间，则列二元一次方程为______．

三．解答题（本题共8小题，共78分）

19. 化简或计算下列各题：
    ；
    ．
20. 解下列方程组：
    代入消元法；
    加减消元法．
21. 分解因式：
    ；
    ．
22. 已知，，求的值．
23. 已知，求代数式的值．
24. 养牛场原有头大牛和头小牛，天约吃饲料；一周后卖出头大牛和买进头小牛，这样天约吃饲料．
    一周后，养牛场有大牛______头，小牛______头；
    设头大牛和头小牛一天分别约吃饲料，千克，请求出，的值．
25. 把，，，，这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中个数，进行交叉相乘再相减的运算，即例如：完成下列各题：
    
    计算：______；
    猜想：______；
    验证，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明；
    拓展；如表，把，，，，这一组数重新排放在有列的表格中，则______用含的式子表示
26. 先阅读下列两段材料，再解答下列问题：
    一例题：分解因式：
    解：将“”看成整体，设，则原式，再将“”还原，得原式
    上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法；
    二常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了．
    过程为：．
    这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
    利用上述数学思想方法解决下列问题：
    分解因式；
    分解因式．；
    分解因式：．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：是关于，的二元一次方程的一个解，
，
，
故选：．
将代入二元一次方程即可求的值．
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、原式，故A符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法即可求出答案．
本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法，本题属于基础题型．
 

3.【答案】

【解析】解：是常数是完全平方式，，
．
故选：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：图中，拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，因此可以验证平方差公式；
图中，拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个底为，高为的平行四边形，因此面积为，
所以有，因此可以验证平方差公式；
图中，拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，因此可以验证平方差公式；
图中，拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个底为，高为的平行四边形，因此面积为，
所以有，因此可以验证平方差公式；
故选：．
根据每个图所反映的拼接方法，用不同的方法表示阴影部分的面积后再进行判断即可．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式拼接前后的阴影部分面积是得出结论的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解是解此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：多项式的公因式是：．
故选：．
直接利用公因式的定义分析得出答案．
此题主要考查了公因式，正确把握定义是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：，



．
故选：．
利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则并灵活运用．
 

8.【答案】

【解析】解：设小长方形的长为，宽为．
由图可知：
解得．，
所以长方形的长为，宽为，
长方形的周长为，
故选：．
由图可看出本题的等量关系：小长方形的长小长方形的宽；小长方形的长宽，据此可以列出方程组求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据完全平方公式进行计算即可．
本题主要考查了多项式乘多项式以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．完全平方公式：．
 

10.【答案】

【解析】解：

，
，，，，，，分别对应下列六个字：口，爱，我，数，学，渌，
将因式分解，结果呈现的密码信息可能是：我爱渌口，
故选：．
先将因式分解成，再对应密码信息即可．
本题考查了因式分解的运用，掌握平方差公式是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：方程，
解得：．
故答案为：．
将看做已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．
 

12.【答案】

【解析】解：三角形的底边为，高为，
此三角形的面积为：．
故答案为：．
直接利用三角形面积公式计算得出答案．
此题主要考查了单项式乘以多项式，正确把握运算公式是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
观察图形，根据图中的算筹代表的含义，即可找出图表示的方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：解方程组，
得，
代入得，．
既然两方程组有相同的解，那么将有一组、值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出、后，代入中直接求解即可．
当给出的未知数较多时，应选择只含有个相同未知数的个方程组成方程组求解．
 

15.【答案】

【解析】解：．
，．
原式，
．
对原式用提公因式法因式分解，然后把、整体代入，即可求出原式的值．
本题考查了提公因式法分解因式，整体代入是本题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：，
，，
解得：，，
故答案为：．
根据多项式乘以多项式的法则展开即可求出与的值．
本题考查多项式乘以多项式的法则，解题的关键是将左边展开后合并同类项，然后利用待定系数法即可求出与的值．
 

17.【答案】

【解析】解：原式，
，
，
原式．
故答案为：．
由已知条件求得的值，再化简原式，把代数式转化成的形式，后整体代入求值便可．
本题主要考查了求代数式的值，整式的混合运算，整体思想，关键是把代数式化成的形式．
 

18.【答案】

【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
根据今有只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳头鹿，大圈舍可以容纳头鹿，可以列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
 

19.【答案】解：；

；



．

【解析】先算同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可；
先算完全平方，平方差，单项式乘多项式，再合并同类项即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则掌握．
 

20.【答案】解：，
由得：，
把代入，得 ，
解得：，
把代入，得，
所以；

，
由，得，
解得：，
把代入，得 ，
解得：，
所以．

【解析】由得出，把代入得出 ，求出方程的解，再把代入求出即可；
由得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

21.【答案】解：

；


．

【解析】先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可解答；
先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

22.【答案】解：，，





．

【解析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：原式

，
，
，
原式


．

【解析】利用完全平方公式，平方差公式计算乘方，乘法，然后合并同类项进行化简，再利用整体思想代入求值．
本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：依题意得：一周后，养牛场有大牛头，小牛头．
故答案为：；．
依题意得：，
解得：．
答：的值为，的值为．
利用一周后大牛的数量原有数量卖出的数量，可求出一周后养牛场有大牛的数量；利用一周后小牛的数量原有数量买进的数量，可求出一周后养牛场有小牛的数量；
根据“头大牛和头小牛，天约吃饲料；头大牛和头小牛，一天约吃饲料”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
 

25.【答案】   

【解析】解：

，
故答案为：；
猜想：，
故答案为：；
由图可得，
，，，



，
正确；
由表可得，
，，，



，
故答案为：．
先算乘法、再算减法即可；
根据题目中的结果和中的结果可以写出相应的猜想；
根据表格中的数据，可以用含的代数式表示出、、，然后计算即可；
根据表用含的代数式表示出、、，然后计算即可．
本题考查整式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
 

26.【答案】解：；
；
．

【解析】利用平方差公式和提公因式法可求解；
利用分组分解法和提公因式法可求解；
利用分组分解法和平方差公式可求解．
本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．