2021-2022学年湖南省衡阳市衡阳县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省衡阳市衡阳县八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 某公司运用技术，下载一个的文件大约只需要秒，则用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

2. 若一个正比例函数的图象经过点，两点，则的值为

A.  B.  C.  D.

3. 不论取何值，下列代数式的值不可能为的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列分式的变形正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用单位：表示容器底面到水面的高度，用单位：表示注入容器内的水量，则表示与的函数关系的图象大致是

A.  B.
C.  D.

6. 下列说法正确的是

A. 形如的式子叫分式
B. 分式不是最简分式
C. 分式与的最简公分母是
D. 当时，分式的值不存在

7. 能表示一次函数与正比例函数是常数且的图象的是

A.  B.  C.  D.

8. 在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系一定是

A.  B.  C.  D.

9. 关于函数，下列结论正确的是

A. 图象必经过 B. 随的增大而增大
C. 图象经过第一、二、三象限 D. 当时，

10. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

11. 若一次函数与的图象交点在第一象限，则的取值范围是

A.  B.
C. 或 D. 或

12. 如图，在平直角坐标系中，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，分别交函数、的图象于点、点若是轴上任意一点，则的面积为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 已知是反比例函数，那么的值是______．
14. ______．
15. 若点在第一、三象限角平分线上，则______．
16. 若关于的方程产生增根，则______．
17. 如图，正方形的边长为，动点从正方形边上开始，沿的路径移动，设点经过的路径长为，设点、、所围成的的面积是，则与的函数关系图象如图所示，则其中所在的直线关系式为______．

18. 如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是______．
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19. 化简，其中．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）

20. 解分式方程：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 冬季来临，某商场预购进一批毛衣．用元先购进一批毛衣，面市后因供不应求，商场决定又用元再次购进这批毛衣，所购数量是第一批购进量的倍，但单价便宜了元．该商场第一次购进这批毛衣的数量是多少？
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
    画出关于轴对称的，并写出顶点的坐标；
    若点在轴上，且满足最小，求点的坐标．

23. 如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形科技园，设的长为，的长为．
    求关于的函数表达式和自变量的取值范围．
    边和的长都是整数米，若围成矩形科技园三边的篱笆总长不超过，求出满足条件的所有围建方案．

24. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于、两点，点的坐标为，轴于点，且，直线交轴于点．
    求反比例函数和一次函数的解析式；
    求的面积；
    写出不等式的解集．

25. 抗击疫情，我们在行动．某药店销售型和型两种型号的口罩，销售一箱型口罩可获利元，销售一箱型口罩可获利元．该药店计划一次购进两种型号的口罩共箱，其中型口罩的进货量不超过型口罩的倍．设购进型口罩箱，这箱口罩的销售总利润为元．
    求与的函数关系式；
    该商店购进型、型口罩各多少箱，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
    若限定该药店最多购进型口罩箱，则这箱口罩的销售总利润能否为元？请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴与轴分别于点，，且，与直线交于．
    求函数的表达式；
    求的表达式及点的坐标；
    点为直线上一点，其横坐标为，过点作轴于点，与交于点，且，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

2.【答案】
 

【解析】解：设正比例函数的解析式为．
正比例函数的图象经过点，
，
，
正比例函数解析式为．
当时，，
解得：．
又点在正比例函数的图象上，
．
故选：．
设正比例函数的解析式为，由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，进而可得出正比例的解析式，再结合点的纵坐标，即可求出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、当时，原式值为，故此选项不符合题意；
B、不论取何值，原式的值都不可能为，故此选项符合题意；
C、当时，原式值为，故此选项不符合题意；
D、当时，原式值为，故此选项不符合题意；
故选：．
根据平方根的概念及分式值为零的条件进行分析计算，从而作出判断．
本题考查分式值为零的条件，利用平方根解方程，理解分式值为零的条件分子为零且分母不为零，掌握直接开平方法解方程的方法是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、当时，等式不成立，故A不符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、，故C符合题意．
D、，故D不符合题意．
故选C．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由题知，随高度的增加上底面越来越小，故与函数图象不会出现直线，排除选项，
随着高度的增加越大体积变化越缓慢，故排除选项，
故选：．
根据与不成一次函数关系，故图象没有直线部分排除选项，再根据越往上体积越小排除即可．
本题主要考查函数图象的知识，根据与的变化规律排除不合适的选项是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：当中不含有字母时，不是分式，故本选项不符合题意；
B.分式是最简分式，故本选项不符合题意；
C.分式与的最简公分母是，故本选项不符合题意；
D.当时，，即分式的值不存在，故本选项符合题意；
故选：．
根据分式的定义，最简分式的意义，最简公分母的意义和分式有意义的条件逐个判断即可．
本题考查了分式的定义，最简分式的定义，最简公分母的意义和分式有意义的条件等知识点，能熟记分式的定义、最简分式的定义、最简公分母的意义和分式有意义的条件是解此题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第一、三象限，所以选项错误；
B、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以选项错误；
C、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以选项正确；
D、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以选项错误．
故选：．
对于各选项：先通过一次函数的性质确定、的符合，从而得到的符合，然后根据正比例函数的性质对正比例函数图象进行判断，从而可确定该选项是否正确．
本题考查了正比例函数图象：正比例函数经过原点，当，图象经过第一、三象限；当，图象经过第二、四象限．也考查了一次函数的性质．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题．如果直线与双曲线没有交点，则无解，即，也可以得到．
【解答】
解：直线与双曲线没有交点，
无解，
无解，
，即．
故选B．  

9.【答案】
 

【解析】解：根据一次函数的性质，依次分析可得，
A、时，，故图象必经过，故错误，
B、，则随的增大而减小，故错误，
C、，，则图象经过第一、二、四象限，故错误，
D、当时，，正确；
故选：．
根据一次函数的性质，依次分析选项可得答案．
本题考查一次函数的性质，注意一次函数解析式的系数与图象的联系．
 

10.【答案】
 

【解析】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
，，，
．
故选：．
利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，，，然后计算出，，的值，从而得到它们的关系关系．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由题意可得：
，
解得：，
交点在第一象限，
，
解得：，
故选：．
利用两直线相交的问题，通过解方程组得两直线的交点坐标，再利用第一象限点的坐标特征得到不等式组，即可求出的取值范围．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，各象限内的坐标特点，解题的关键是根据函数表达式求出交点坐标．
 

12.【答案】
 

【解析】解：连接、，
是轴上任意一点，
，
，，
，
，
故选：．
连接、，根据反比例函数系数的几何意义得出，，即可求得，根据同底等高的三角形面积相等，得出，即可求得的面积．
本题考查反比例函数中比例系数的几何意义，关键是掌握图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数的定义和函数式的变形，涉及的知识面比较广．反比例函数解析式的一般形式，也可转化为的形式，特别注意不要忽略这个条件．
直接利用反比例函数的定义求出的值即可．
【解答】
解：根据题意，知
，
解得，；
故答案是：．  

14.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：点在第一、三象限的角平分线上，且第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等，
，
解得．
故答案为：．
根据第一、三象限角平分线上的点的坐标特点：点的横纵坐标相等，即可解答．
本题考查了各象限角平分线上点的坐标的符号特征，第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标互为相反数．
 

16.【答案】
 

【解析】解：方程两边同时乘以得：，
解得：，
方程有增根，
，
，
，
，
故答案为：．
先求出分式方程的解，解得，再求出方程的增根为，根据即可求出的值．
本题考查了分式方程的增根，知道增根产生的原因是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：由点的运动可知，图中段，对应了点在上运动，如图所示，

此时，
则，
．
故答案为：．
根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数形结合的数学思想．关键是将图中点的运动与图中的函数图象进行对应．
 

18.【答案】
 

【解析】解：把代入得，解得，
把代入得，解得，
所以当直线与有交点时，的取值范围是．
故答案为．
利用函数图象，把点和点坐标分别代入中求出对应的的值，从而得到直线与有交点时，的取值范围．
本题考查了一次函数与系数的关系：由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．当，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．
 

19.【答案】解：原式，

，
当时，原式．
 

【解析】括号内先通分再计算，然后将除法转化为乘法计算出结果，再将代入化简后的式子求值即可．
本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并准确化简．
 

20.【答案】解：两边同乘以最简公分母得，
，
解得，，
检验：当时，，
不是是原方程的解，
原方程无解．
 

【解析】方程两边同乘以最简公分母，将其转化为整式方程再求解，并检验．
此题考查了分式方程的求解能力，关键是能化分式方程为整式方程并准确求解．
 

21.【答案】解：设该商场第一次购进这批毛衣的数量是件，则第二次购进这批毛衣的数量是件，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该商场第一次购进这批毛衣的数量是件．
 

【解析】设该商场第一次购进这批毛衣的数量是件，则第二次购进这批毛衣的数量是件，利用单价总价数量，结合第二批购进的单价比第一批便宜了元，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示，即为所求，；

作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
则最小，
设直线的解析式为，
直线过点，，
，
，
，
当时，，

 

【解析】根据轴对称的性质可画出；
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，利用待定系数法求出直线的解析式，从而解决问题．
本题主要考查了作图轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路线问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
 

23.【答案】解：依题意得：，
．
又墙长为，
，
．
关于的函数表达式为．
，均为整数，，且，
可以为，，，，．
又，即，
可以为，，
共有种围建方案，
方案：的长为，的长为；
方案：的长为，的长为．
 

【解析】利用矩形的面积计算公式可得出，进而可得出，再结合墙长为，即可得出；
由，均为整数，，且，可得出的可能值，结合，可得出可以为，，进而可得出各围建方案．
本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式以及不等式的解集，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；根据，均为整数及，找出，的值．
 

24.【答案】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
，解得，
反比例函数解析式为，
轴于点，且，
设，
把代入得，，
，

，
一次函数图象经过、，
，
解得，
一次函数；
由直线可知，
；
不等式的解集是：或．
 

【解析】待定系数法把点坐标代入反比例函数解析式计算即可得出反比例函数的解析式；然后设，把代入求得的解析式即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
求得的坐标，然后根据求得即可；
根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式以及函数和不等式的关系，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

25.【答案】解：根据题意得，
，
答：与的函数关系式为：；
根据题意得，，解得，
，；
随的增大而减小，
为正整数，
当时，有最大值，最大值为，
则，
即商店购进型口罩箱、型口罩箱，才能使销售总利润最大，最大利润为元；
根据题意得，
，；
随的增大而减小，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为，
，
这箱口罩的销售总利润不能为元．
 

【解析】根据题意即可得出关于的函数关系式；
根据题意列不等式得出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
由题意得出的取值范围为，根据一次函数的性质可得时，总利润最小，求出的最小值，即可得出答案．
本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数值的增大而确定值的增减情况．
 

26.【答案】解：将代入得：，
，
函数
由题意设，将代入得：，
解得，
；
令，则，解得，
；
点为直线上一点，其横坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
分两种情况：
当时：，解得；
当时：，解得．
的坐标为或．
 

【解析】根据待定系数法即可求得；
根据待定系数法求得的表达式，进而即可求得的坐标；
点的坐标为，点的坐标为，得出、的长度，由题意得出关于的一元一次方程，解方程得出结论．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，求得函数的解析式以及分类讨论思想的运用是解题的关键．