2021-2022学年湖南省常德市澧县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省常德市澧县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列图形中不是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，小明和小华同时从处分别向北偏东和南偏东方向出发，他们的速度分别是和，则后他们之间的距离为

A.
B.
C.
D.

4. 一个多边形的外角和等于，则这个多边形的边数为

A.  B.  C.  D. 以上均有可能

5. 如图，在▱中，，，的平分线交于点，则的长是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，点、、都在方格纸的格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，菱形的对角线，，则该菱形的面积为

A.
B.
C.
D.

8. 如图：，是的中点，平分，则下列说法正确的有几个
   平分；
   ≌；
   ；
   ；
   ．

A. 个
B. 个
C. 个
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 在中，，，，则______．
10. 已知：如图，四边形和都是平行四边形，则四边形是______．
    
    
     

11. 由边长为的正方形地砖铺设的地面示意图如图所示，小明沿图中所示的折线从所走的路程为______结果保留根号
     

12. 三角形的各边长分别是、、、则连接各边中点所得的三角形的周长是______ ．
13. 如图，在中，，平分，，点到的距离为，则______．
     

14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知：，，则的面积为______．
15. 矩形的判定方法包括：______的平行四边形是矩形；______的平行四边形是矩形；______的四边形是矩形．
16. 如图，在▱中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点则下列结论：四边形是正方形；；，正确的结论有______填序号

三、解答题（本大题共7小题，共52分）

17. 如图，这是一所学校的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆的位置．

18. 如图，，，，，垂足分别是，求证：．
    
     

19. 如图，中，点，分别是边，的中点，连接，，点在的延长线上，且，连接．
    求证：四边形是平行四边形．
     

20. 如图，已知中，，，边上的垂直平分线交于点，交于．
    求：的度数；
    若，求的长．
21. 已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，．
    若，，求的长；
    求证：四边形是菱形．
    
     

22. 一架长为米的梯子，顶端靠在墙上，梯子底端到墙的距离米．
    求的长；
    如图梯子的顶端沿墙向下滑动米，问梯子的底端向外移动了多少米？
    
     

23. 如图，若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则称原四边形为“中母矩形”即若四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形称为“中母矩形”．
    如图，在直角坐标系中，已知，，，请在格点上标出点的位置只标一点即可，使四边形是中母矩形、并写出点的坐标．
    如图，以的边，为边，向三角形外作正方形及，连接，相交于点，试判断四边形是中母矩形？说明理由．
    如图，在中，，，是斜边的中点，是直角边的中点，是直线上一动点，试探究：当______时，四边形时中母矩形？直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A、、均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】

【解析】解：，
，
点是的中点，，
．
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，，，
，
答：后他们之间的距离为，
故选：．
根据题意得到，，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：多边形的外角和等于，
这个多边形的边数不能确定．
故选：．
根据多边形的外角和等于判断即可．
本题考查了多边形的外角和定理，解题的关键是明确多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
 

5.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
，
．
故选：．
根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般．
 

6.【答案】

【解析】解：如图所示：

点的坐标为．
故选：．
直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：菱形的对角线，，
该菱形的面积为：，
故选：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，然后代入数据即可解答本题．
本题考查菱形的性质，解答本题的关键是明确菱形的面积等于对角线乘积的一半．
 

8.【答案】

【解析】解：过作于，

平分，，
，
为的中点，
，
，
，，
平分，故正确；
平分，
，
，，
，
同理，
，
，故正确；
，
，，
，
在和中，
，
≌，故正确；
在和中，
，
≌，
，
同理，
，
即，故正确；
根据已知条件不能推出，故错误；
即正确的个数是个，
故选：．
过作于，根据角平分线的性质得出，求出，求出，根据角平分线的性质的逆定理得出平分；根据角平分线的定义得出，求出，，求出；根据直角三角形的性质，根据全等三角形的判定得出≌，≌，根据全等三角形的性质得出，同理，再得出答案即可．
本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质等知识点，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
 

9.【答案】

【解析】解：根据含度角的直角三角形的性质可知：．
故答案为：．
根据含度角的直角三角形的性质直接求解即可．
本题考查了含度角的直角三角形的性质，比较容易解答，要求熟记角所对的直角边是斜边的一半．
 

10.【答案】平行四边形

【解析】解：四边形是：平行四边形．理由：
四边形是平行四边形，
，．
四边形是平行四边形，
，．
，，
四边形是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
根据平行四边形的性质得出，，即可得出四边形是平行四边形．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，利用已知得出，是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】解：如图所示：，
，
则．
故答案为：．
直接利用勾股定理得出，的长，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】解：原三角形的周长，
连接各边中点所得的三角形的周长．
故答案为：．
先求出原三角形的周长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半．
本题考查了三角形的中位线定理，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：如图所示，过作于，
，平分，，
，
又，
，
．
故答案为：．
依据角平分线的的性质，即可得到的长，进而得出的长，依据即可得出结论．
本题主要考查了角平分线的的性质，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，
的面积为：，
故答案为：．
由点的坐标得出，再根据三角形的面积公式求出结果．
本题主要考查了三角形的面积、坐标与图形性质，掌握三角形的面积、坐标与图形性质的综合应用，其中设出点的坐标，用三角形面积公式是解题关键．
 

15.【答案】有一个角是直角  对角线相等  有三个角是直角

【解析】解：矩形的判定方法包括：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．
故答案为：有一个角是直角；对角线相等；有三个角是直角．
由矩形的判定方法即可得出结论．
本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质，熟记矩形的判定方法是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，故此题结论正确；
，
，
，，
，
，故此题结论正确；
，，
故此题结论正确，
正确的结论有．
故答案为：．
先证明≌，得，再得四边形为平行四边形，进而由，得四边形是正方形，便可判断正误；
根据，进行推理说明便可；
根据正方形的性质可得，，然后利用等底等高的三角形面积相等即可解决问题．
本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
 

17.【答案】解：如图所示：

国旗杆，校门，教学楼，实验楼，图书馆．

【解析】得出原点位置进而建立坐标系得出各点坐标．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，，
，
，
≌，
．

【解析】要证，只需证≌，已知，可得，又已知，，则两三角形全等可证．
本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；通过三角形全等证明线段相等是最常用的证明方法之一，要熟练掌握．
 

19.【答案】证明：点，分别是边，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形．

【解析】根据三角形中位线的性质可得，，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形的形状．
本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
 

20.【答案】解：边上的垂直平分线是，
，，
，
，
，


，
，
，，，
，
．

【解析】根据含度角的直角三角形的性质和垂直平分线的性质解答即可；
根据含度角的直角三角形的性质解答即可．
此题考查含度角的直角三角形的性质，关键是根据含度角的直角三角形的性质和垂直平分线的性质解答．
 

21.【答案】解：四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
即的长是；
证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形．

【解析】根据矩形的性质和等边三角形的性质，可以得到的长，然后即可得到的长；
根据，，可以得到四边形是平行四边形，再根据矩形的性质，可以得到，然后即可得到四边形是菱形．
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：一架长米的梯子，顶端靠在墙上，梯子底端到墙的距离米，
米．
答：的长为米．
，，
，
米，
米．
答：梯子的底端向外移动了米．

【解析】直接利用勾股定理得出的长；
在中，再利用勾股定理计算出的长，进而可得的长．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
 

23.【答案】

【解析】解：如图所示：点即为所求，；

四边形是中母矩形，理由如下：
如图，连接，，，设与交于点，与交于点，
正方形及，

，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
四边形是中母矩形；
如图，是的中点，是的中点，
，，
，
，
，
中，，
，
，
，

当四边形是中母矩形时，，
，
，
，
∽时，
，即，
，
，
当时，四边形是中母矩形；
故答案为：．
根据中母矩形的定义进而得出轴，从而可确定点的位置即可；
利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法得出≌，进而得出，得出答案即可；
利用中母矩形的定义结合相似三角形的性质与判定得出的长即可解答．
此题主要考查了四边形综合以及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确把握中母矩形的定义是解题关键．