数学必修 第三册7.3.1 正弦函数的性质与图像教学演示ppt课件

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1.理解正弦函数的性质,会求正弦函数的周期、单调区间和最值,并能利用正弦函数的性质与图像来解决相关的综合问题.2.了解正弦函数图像的画法,能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图像.3.会用信息技术作正弦曲线.
如图将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,纸板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图像.物理中把简谐运动的图像称为正弦曲线.它表示了漏斗相对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.
知识点一:正弦函数性质1.对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sin x与之对应,因此y=sin x是一个函数,一般称为正弦函数.2.正弦函数的性质与图像
3.周期:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期.名师点析 对三角函数的性质的理解(1)如果y=sin x的定义域不是全体实数,那么它的值域就可能不是(2)正弦函数在其定义域上不是单调的.(3)若函数y=sin x的定义域不是R,则一定要在给定定义域内结合函数的单调性求其值域.
微练习1求f(x)=sin(3π+x)的最大值和单调递增区间.
微练习2下列函数中,不是周期函数的是(　　)A.y=-sin x,x∈RB.y=3,x∈RC.y=sin(4π+x),x∈[-10π,10π]D.y=sin x,x∈(0,+∞)答案C
知识点二:正弦函数的图像1.正弦曲线:一般地,y=sin x的函数图像称为正弦曲线.2.“五点法”:(1)画出正弦曲线在[0,2π]上的图像的五个关键点(2)将所得图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
名师点析 对三角函数的图像的理解(1)作正弦函数图像时,函数自变量要用弧度制,以保证自变量与函数值都为实数.(2)正弦曲线是轴对称图形,对称轴为x= +kπ(k∈Z);正弦曲线也是中心对称图形,且对称中心为(kπ,0)(k∈Z).(3)正弦曲线相邻两条对称轴之间的距离为π,相邻两个对称中心的距离也为π,对称中心到其相邻对称轴的距离为 .
微判断(1)正弦函数y=sin x的图像向左右和上下无限伸展.(　　)(2)函数y=sin x与y=sin(-x)的图像完全相同.(　　)(3)函数y=sin x的图像关于(0,0)对称.(　　)答案(1)×　(2)×　(3)√微练习1从函数y=sin x,x∈[0,2π)的图像来看,对应于sin x= 的x有(　　)A.1个值　　　　　　B.2个值C.3个值 D.4个值答案B
微练习2在“五点法”中,正弦曲线最低点的x轴坐标与最高点的x轴坐标的差等于(　　)
正弦函数的值域、最值例1(1)(多选)已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是[0, ],值域为[-5,-1],则a,b的值为(　　)A.a=2,b=-7B.a=-2,b=2C.a=-2,b=1D.a=1,b=-2(2)求函数f(x)=sin(π+x)-cs2x的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时x的值.分析(1)根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b.(2)利用诱导公式、同角三角函数的关系统一成正弦,换元求最值.
反思感悟 关于与正弦函数有关的最值(1)一次式:如果是关于正弦函数的一次式,要根据一次项的系数正负确定最值;(2)二次式:如果是关于正弦函数的二次式,则通过换元转化为一元二次函数配方求最值.
函数奇偶性的判断例2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xsin(π+x);分析利用函数奇偶性的定义进行判断.
反思感悟 判断函数奇偶性的方法(1)函数的定义域是判断函数奇偶性的前提,即首先要看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.(2)注意奇偶性判定法的变通式和定义式的用法,即偶函数也可判断
正弦函数单调性的应用例3比较下列各组数的大小:
分析变形主要有两种:一是异名函数化为同名函数;二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上.
(4)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,cs 160°=cs(180°-20°)=-cs 20°=-sin 70°.因为0°<14°<70°<90°,所以sin 14°-sin 70°,即sin 194°>cs 160°.反思感悟 利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小的方法(1)同名函数,若两角在同一单调区间,直接利用单调性得出,若两角不在同一单调区间,则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间,再进行比较;(2)异名函数,先应用诱导公式转化为同名函数,然后再比较.
用“五点法”作函数的图像例4用“五点法”作出函数y=1+2sin x,x∈[0,2π]的图像.
反思感悟 用“五点法”画函数图像的基本步骤(1)列表:
变式训练3函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图像为图中的(　　)
分类讨论思想在正弦函数中的应用典例 求函数y=asin x+b(a≠0)的最值.解若a>0,当sin x=1时,ymax=a+b.当sin x=-1时,ymin=-a+b.若a<0,当sin x=-1时,ymax=-a+b,当sin x=1时,ymin=a+b.方法点睛 研究函数的最值时,不但要注意定义域,同时还需注意单调性.如y=ax+b(a≠0),当a>0时为增函数,当a<0时为减函数.
3.函数y=-2sin x-1的单调递减区间是　　　　　　　　　　　　.