人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课后练习题

3.1.2　函数的表示法

基础过关练

题组一　函数的表示法及其应用

1.函数y=的图象大致是(　　)

2.(2022山西太原期中)某景区的收益额(即一天中门票收入与固定成本之差)y与当日游客人数x的函数关系如图(1)所示.由于该景区的收益额未达预期,相关人员提出了两种调整方案,如图(2)(3)所示,图中的实线分别为调整后y关于x的函数图象.

图(1)　　　　　　图(2)　　　　　　图(3)

现给出以下说法:

①图(2)对应的方案是提高票价和成本;

②图(2)对应的方案是票价不变,降低成本;

③图(3)对应的方案是提高票价,成本不变;

④图(3)对应的方案是提高票价,降低成本.

其中,正确的说法是(　　)

A.①③　　　 　B.②③       C.①④　 　  　D.②④

3.(2021山西大学附中期中)已知函数y=f(x)的对应关系如表,函数y=g(x)的图象为如图所示的曲线ABC,则g(f(3))的值为　　　　. 

题组二　函数解析式的求法

4.已知函数f(x-2)=x2-4x-5,则f(x)=　　　　　. 

5.(2022山东济宁第一中学期中)已知函数f(2x-1)=3x-5,若f(x0)=4,则x0=　　　　. 

6.已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=　　　　.  

7.某企业生产某种产品时的能耗y与所生产的产品件数x之间的关系式为y=ax+,其中,当x=2时,y=100;当x=7时,y=35,且此产品生产件数不超过20.求y关于x的解析式.

题组三　分段函数问题的解法

8.(2022黑龙江八校期中)已知f(x)=则f(f(1))+f(4)的值为(　　)

A.8　　　　　B.9　　　　　C.10　　　　　D.11

9.(2022北京房山期中)已知函数f(x)=若f(m)=4,则m等于(　　)

A.2　　　　　B.-2　　　　　C.±2　　　　　D.2或-16

10.(2022广东仲元中学期中)函数y=-的图象大致是(　　)

11.(2022山西大同期中)已知函数f(x)=

(1)画出函数f(x)的图象;

(2)当f(x)≥2时,求实数x的取值范围.

12.(2022北京丰台期中)为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民用水实行“阶梯水价”,水价包括自来水价格和污水处理价格,即水价为两者价格之和.计费方法如下表:

(1)若某户居民本月交纳的水费为48元,则此户居民本月的用水量是多少?

(2)试建立居民交纳水费y(单位:元)关于居民用水量x(单位:吨)的函数解析式.

能力提升练

题组一　函数的表示法及其应用

1.(2021北京八中期中)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的路程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(　　)

A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多

C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油

D.某城市机动车限速80千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

2.(2022山东枣庄期中)如图所示,在直角梯形OABC中,AB∥OC,AB=1,OC=BC=2,记梯形OABC位于直线l:x=t(0<t≤2)左侧的图形的面积为S,则函数S=f(t)的图象大致为(　　)

3.(2021北京交大附中期中)已知函数y=f(x),y=g(x)的对应关系如下表:

则f(g(1))的值为　　　　;满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为　　　　. 

题组二　函数解析式的求法

4.已知函数f=x2+,则f =(　　)

A.　　　　　B.4　　　　　C.　　　　　D.

5.(2022湖北武汉期中)从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精,然后用水将容器加满,再倒出2升酒精溶液,再用水将容器加满,照这样的方法继续下去,设倒完第k次后,前k次共倒出纯酒精x升,倒完第(k+1)次后,前(k+1)次共倒出纯酒精f(x)升,则f(x)的解析式是(　　)

A. f(x)=(x+2)　　　　　　B. f(x)=x+2

C. f(x)=x+2　　　　　　D. f(x)=x

6.(2022湖北荆州沙市中学期中)已知函数f(x)满足f(x)+2f(1-x)=-1,则f(-2)的值为(　　)

A.-　　　　　　B.-

C.　　　　　　D.

7.已知f(x)是一次函数,其图象不经过第四象限,且f(f(x))=4x+6,则f(x)=　　　　. 

8.(2022河南驻马店第一高级中学期中)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1.

(1)求f(x)的解析式;

(2)求函数y=f(x)在区间[-1,1]上的值域.

题组三　分段函数问题的解法

9.(2022辽宁沈阳郊联体期中)设f(x)=则f(9)=(　　)

A.10　　　　　B.11　　　　　C.12　　　　　D.13

10.(2022广东广雅中学期中)若函数f(x)=则方程f(f(x))=1的解集为(　　)

A.{1}　　　　　　B.{-1,1}

C.{-1,1,3}　　　　　　D.{-3,-1,1}

11.设A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是(　　)

A.　　　　　　B.

C.　　　　　　D.

12.(多选)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是(　　)

A. f(x)的值域为(-∞,4)

B. f(1)=3

C.若f(x)=3,则x=

D. f(x)<1的解集为(-1,1)

13.已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是　　　　;若函数f(x)的图象与x轴恰有2个交点,则λ的取值范围是　　　　. 

14.新冠疫情使全球海运受到极大影响,为此各相关企业在积极拓展市场的同时,也积极进行企业内部细化管理,某集装箱码头在货物装卸与运输上进行大力改进,改进后单次装箱的成本C(单位:万元)与货物量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,单次装箱收入S(单位:万元)与货物量x的函数关系式为S=已知单次装箱的利润L=S-C,且当x=2时,L=3.

(1)求k的值;

(2)当单次装箱货物为多少吨时,单次装箱利润最大?最大为多少?

答案全解全析

基础过关练

1.C　由题意得y==+1,则将反比例函数y=的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,即可得到函数y=的图象,故选C.

2.B　由题图知,点A纵坐标的相反数表示的是成本,直线的倾斜程度表示的是票价的高低,

故题图(2)对应的方案是降低成本,但票价保持不变,题图(3)对应的方案是成本不变,提高票价.故②③正确.故选B.

3.答案　1

解析　由题表可知f(3)=2,由题图可知g(2)=1,则g(f(3))=g(2)=1.

4.答案　x2-9

解析　因为f(x-2)=x2-4x-5=(x-2)2-9,

所以f(x)=x2-9.

5.答案　5

解析　解法一:令t=2x-1,则x=,

故f(t)=-5=t-.

因为f(x0)=4,所以x0-=4,

解得x0=5.

解法二:令2x-1=x0,则3x-5=4,解得x=3,所以x0=5.

6.答案　3x-2

解析　 设f(x)=kx+b(k≠0),

则整理得

解得所以f(x)=3x-2.

7.解析　由题意知即

解得

所以所求函数的解析式为y=x+(0<x≤20,且x∈N*).

8.C　因为f(x)=所以f(1)=-12+3×1=2, f(f(1))=f(2)=2×2-1=3, f(4)=2×4-1=7,

所以f(f(1))+f(4)=3+7=10.故选C.

9.D　当m<0时,f(m)==4,解得m=-16,

当m≥0时,f(m)=m2=4,解得m=2或m=-2(舍去).故选D.

10.C　因为y=-=所以其函数图象如选项C中所示.故选C.

11.解析　(1)函数f(x)的图象如图所示.

(2)当x≤0时,由x2=2得x=-(x=舍去),

当x>0时,由4-2x=2得x=1,

结合图象知f(x)≥2时,x≤-或0<x≤1,

所以实数x的取值范围为(-∞,-]∪(0,1].

12.解析　(1)由题表可得每户月用水量不超过12吨的部分,水价为3元/吨;超过12吨,但不超过18吨的部分,水价为6元/吨;超过18吨的部分,水价为9元/吨,

所以用水12吨时,水费为12×3=36(元),用水18吨时,水费为36+(18-12)×6=72(元),

因此交纳的水费为48元时,用水量超过12吨但不足18吨,用水量为12+(48-36)÷6=14(吨).

 (2)易得当0≤x≤12时,y=3x;

当12<x≤18时,y=36+(x-12)×6=6x-36;

当x>18时,y=72+(x-18)×9=9x-90.

所以y=

能力提升练

1.D　对于A选项,由题图可知,当乙车速度大于40千米/时时,乙车每消耗1升汽油,行驶路程都超过5千米,故A错;

对于B选项,由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,故B错;

对于C选项,甲车以80千米/时的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1小时,消耗汽油80×1÷10=8(升),故C错;

对于D选项,当行驶速度小于80千米/时时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该城市用丙车比用乙车更省油,故D对.故选D.

2.C　易得当0<t≤1时, f(t)=·t·2t=t2;

当1<t≤2时, f(t)=×1×2+(t-1)×2=2t-1,

所以f(t)=

故选C.

3.答案　1;2

解析　由题表可得g(1)=3,则f(g(1))=f(3)=1.

当x=1时, f(g(1))=1,g(f(1))=g(1)=3,不满足f(g(x))>g(f(x)),

当x=2时, f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,满足f(g(x))>g(f(x)),

当x=3时, f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不满足f(g(x))>g(f(x)),

故满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为2.

4.A　解法一:∵f=x2+=+2,

∴f(x)=x2+2,∴f=+2=.

解法二:令x=2,可得f=f=4+=,故选A.

5.C　∵倒完第k次后共倒出纯酒精x升,

∴第k次后容器中含纯酒精(10-x)升,

则第(k+1)次倒出纯酒精2×升,

∴f(x)=x+2×=x+2.故选C.

6.C　在f(x)+2f(1-x)=-1中,将x换成1-x得f(1-x)+2f[1-(1-x)]=-1,

即f(1-x)+2f(x)=-1,

联立

消去f(1-x),得f(x)=--,因此f(-2)=+-=.故选C.

7.答案　2x+2

解析　由题意可设f(x)=kx+b(k>0),

则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x+6,

所以所以

所以f(x)=2x+2.

8.解析　(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

∵f(0)=1,∴c=1,∴f(x)=ax2+bx+1.

又∵f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x,

∴2a=2且a+b=0,∴a=1,b=-1,∴f(x)=x2-x+1.

(2)由(1)可得y=f(x)=x2-x+1=+,

∴在区间[-1,1]上,当x=时,函数f(x)取得最小值;当x=-1时,函数f(x)取得最大值3.

∴y=f(x)在区间[-1,1]上的值域是.

9.C　因为f(x)=

所以f(9)=f(15)=12.故选C.

10.D　令f(x)=t,则方程为f(t)=1,

则有或解得t=-1或t=1,

因此f(x)=1或f(x)=-1,

从而或或解得x=-1或x=1或x=-3.

所以方程f(f(x))=1的解集为{-3,-1,1}.

故选D.

11.A　x0∈A,即0≤x0<,所以f(x0)=x0+,

又≤x0+<1,所以≤f(x0)<1,即f(x0)∈B,

所以f(f(x0))=3[1-f(x0)]=-3x0∈A,

即0≤-3x0<,解得<x0≤.

又0≤x0<,所以<x0<.故选A.

12.AC　当x≤-1时, f(x)的取值范围是(-∞,1],当-1<x<2时, f(x)的取值范围是[0,4),因此f(x)的值域为(-∞,4),故A正确;当x=1时, f(1)=12=1,故B错误;当x≤-1时,由x+2=3,解得x=1(舍去),当-1<x<2时,由x2=3,解得x=或x=-(舍去),故C正确;当x≤-1时,由x+2<1,解得x<-1,当-1<x<2时,由x2<1,解得-1<x<1,因此f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故D错误.故选AC.

13.答案　(1,4);(1,3]∪(4,+∞)

解析　当λ=2时,不等式f(x)<0等价于或

即2≤x<4或1<x<2,所以1<x<4.

故不等式f(x)<0的解集为(1,4).

易知函数y=x-4(x∈R)的图象与x轴交点的横坐标为4,函数y=x2-4x+3(x∈R)的图象与x轴交点的横坐标分别为1,3.

在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象(图略),要使函数f(x)的图象与x轴恰有2个交点,则只能有以下两种情形:①两个交点的横坐标分别为1,3,此时λ>4;②两个交点的横坐标分别为1,4,此时1<λ≤3.

综上,λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).

14.解析　(1)由题意可得L=

因为x=2时,L=3,

所以3=2×2++2,解得k=18.

(2)由(1)可得当0<x<6时,L=2x++2,

所以L=2(x-8)++18≤-2+18=6.

当且仅当2(8-x)=,即x=5时取等号.

当x≥6时,L=11-x≤5.

所以当x=5时,L取得最大值6.

所以单次装箱货物为5吨时,单次装箱利润最大,为6万元.