第十一讲  与圆有关的计算

知识点一：

1．中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

2．半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径

3．中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

4．边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距

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画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点.对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图.

题型一：正多边形和圆的关系的应用

例1. 有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1 m2）．　

变式训练：

1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．

题型二:画正多边形

例2.利用你手中的工具画一个边长为2cm的正六边形

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变式训练：

1.利用你手中的工具画一个半径为3cm的正五边形．

知识点二：1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．该圆的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．

2．1°的圆心角所对的弧长l=_______，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．

3．2°的圆心角所对的弧长l=_______，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．

4．4°的圆心角所对的弧长l=_______，4°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．

    ……

5．n°的圆心角所对的弧长l=_______，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．

比较扇形的面积公式与弧长公式，可以用弧长表示扇形的面积：S扇形=，其中l为扇形的弧长，R为半径.

沿圆锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r+l)．

【例题讲解】

题型一：弧长公式的应用

例1. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0.1mm)．

变式训练：

1．已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（   ）

A．5π       B．6π       C．8π       D．10π

2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则弧AB的长为（   ）

A. π        B. 6π         C. 3π         D. 1.5π

题型二:扇形面积公式的应用

例2.如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，求图中阴影部分的面积．[来源:学&科&网]

变式训练：

1.如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E， AB＝2cm．则图中阴影部分面积为      ．

题型三:圆锥的相关问题

例3.已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm,另一条直角边BC=5cm,则以AB为轴旋转一周,求所得到的圆锥的表面积.

变式训练：

1.小明过生日时，戴上了漂亮的圆锥形“寿星帽”，已知该帽的母线长是25cm，底面圆半径是10cm，则这个帽子是用面积为  　　   cm2的扇形纸版做成的．（结果用π表示）

课堂练习：

1. 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（    ）．

A．60°    B．45°    C．30°    D．22．5°

2. 圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（  ）．                                        [来源:学科网ZXXK]

A．36°    B．60°    C．72°     D．108°

3.正十二边形每个内角的度数为         .[来源:Zxxk.Com]

4.如果一个正多边形的一个内角为144°,则这个正多边形的边数为          .[来

5．如图，在△ABC中，AB=AC=，BC=2，以A为圆心作圆弧切BC于点D，且分别交边AB、AC于E、F，则扇形AEF的面积是（  ）[来源:Zxxk.Com]

A．         B．          C．         D．[来源:学科网]

6．一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（   ）

A．cm      B．cm      C．cm     D．cm[来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:学科

7．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是         （结果保留π）．

8．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，分别以点B和C为圆心的两个等圆外切，则图中阴影部分面积为　 　（结果保留π）[来源:Z*xx*k.Com]

9．如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为R的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积为              （结果保留）

课后作业：

1.如图,要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为(    )

A.6mm  B.12mm          C.6mm  D.4mm[来源:

2.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是(    )

A.S3>S4>S6           B.S6>S4>S3          C.S6>S3>S4           D.S4>S6>S3

3.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________.

4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.

5．如图，在正方形ABCD中，对角线BD的长为．若将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，点D经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（     ）

A．﹣1        B．﹣       C．﹣       D．π﹣2

6．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么这个的圆锥的高是（       ）

A． 4cm            B． 6cm           C． 8cm            D． 2cm

7．如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90º，则“蘑菇罐头”字样的长度为（      ）

（A）cm       （B）cm    （C）cm         （D）7πcm

8．一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，则这个圆锥的侧面积是（  ）

A．81      B．27    C．54     D．18

9．圆锥的高是4cm，母线长5cm，则其侧面展开图的面积为（     ）

A．30πcm2        B．24πcm2        C．15πcm2       D．18πcm2

10．已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（     ）

A．12cm        B．10cm        C．8cm        D．6cm