第十讲  与圆有关的位置关系

知识点一：如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．

如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．

如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．

当d›r时，直线在圆的外部，与圆没有交点，因此此时直线与圆相离；当d=r时，直线与圆只有一个交点，此时直线与圆相切；当d‹r时，直线与圆有两个交点，此时直线与圆相交；反之也成立。

总结：

d>r直线与圆相离

 d=r直线与圆相切

     d<r直线与圆相交

直线与圆的位置关系的判断方法

【例题讲解】

题型一:点与圆的位置关系

例1.如果⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为6,那么:

①点P在⊙O外,则r     ；②点P在     ，则r=6;③点P在      ，则r>6.

变式训练：

1.☉O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与☉O的位置关系是(     )

A.点P在☉O内   B.点P在☉O上

C.点P在☉O外   D.点P在☉O上或☉O外

2.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4cm,D是AB边的中点,以C为圆心,4cm长为半径作圆,则A,B,C,D四点中在圆内的有(       )

A.1个       B.2个       C.3个       D.4个

题型二：确定圆的条件

例2.小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.

(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(保留作图痕迹).

(2)若在△ABC中,AB=8 m,AC=6 m,∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.

变式训练：

1.下列说法正确的是(    )

A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点

B.过两点A,B的圆的圆心在一条直线上[来源:Zxxk.Com]

C.过三点A,B,C的圆的圆心有且只有一点[来源:学.科.网Z.X.X.K]

D.过四点A,B,C,D的圆不存在

2.已知a,b,c是△ABC的三边长,外接圆的圆心在△ABC一条边上的是(    )

A.a=15,b=12,c=1 B.a=5,b=12,c=12

C.a=5,b=12,c=13 D.a=5,b=12,c=14

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM为中线，以C为圆心，cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________．

题型三:直线和圆的位置关系的定义和性质的应用

例3.设☉O的半径是r,点O到直线l的距离是d,若☉O与l至少有一个公共点,则r与d之间的关系是(　　)

A.d>r   B.d=r   C.d<r   D.d≤r

变式训练：

1.已知☉O的直径是10cm,点O到直线l的距离为d,若d=4cm,则l与☉O有        个公共点.

2.以等腰三角形顶角的顶点为圆心,顶角的平分线为半径的圆必与        相切.

3.在△ABC中,∠A=45°,AC=4,以C为圆心,r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系?为什么?

(1)r=2.(2)r=2.(3)r=3.

知识点二：

1、切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径．

切线的性质归纳：

①切线和圆只有一个公共点.

②切线和圆心的距离等于圆的半径.

③上面的性质定理.

④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.

⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心.

思考1：根据上面的判定定理，要证明一条直线是⊙O的切线，需要满足什么条件？

①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线.

思考2：现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线？

①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③上面的判定定理. 

2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

3、与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.

【例题讲解】

题型一:概念和定理的辨析[来源:学科网ZXXK]

例1.判断正误，说明理由：

(1)过半径的外端的直线是圆的切线（  ）

(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（  ）

(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（  ）

(4)过直径一端且垂直于这直径的直线是圆的切线  （  ）

变式训练：

1.下列直线能判定为圆的切线是（   ）

A、与圆有公共点的直线          B、垂直于圆的半径的直线

C、过圆的半径外端的直线        D、到圆心的距离等于该圆半径的直线

2．下列命题正确的是（    ）

  A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心不一定在三角形的内部

  C．等边三角形的内心，外心重合             D．一个圆一定有唯一一个外切三角形

题型二：定理的应用

例2.如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°.

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长.

变式训练：

1．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（　　）

A．30°        B．25°        C．20°        D．15°

2.如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦AB为厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆，求证：小圆与直线ＡＢ相切.

3.如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD交圆于点D. BD是⊙O的切线吗？为什么？

4. 如图，在⊿ABC中，∠C=900, AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB 、AC都相切，求⊙O的半径.

课堂练习：

1.若⊙A的半径为5，点A的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，8)，则点P的位置为(    )[来

A.在⊙A内          B.在⊙A上          C.在⊙A外           D.不确定

2.两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在(    )

A.甲圆内           B.乙圆外        C.甲圆外，乙圆内     D.甲圆内，乙圆外

3.点A在以O为圆心，3 cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.[来

4．已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：

①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4．

其中正确命题的个数是（  ）

A．1        B．2         C．4         D．5

5．如图,在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在Y轴，X轴上，以AB为弦的⊙M与X轴相切，若点A的坐标为（0，8）,则圆心M的坐标为（    ）

A.(4,-5）       B.（5，-4）    C.（-5，4）    D.（-4,5）

6.已知☉O的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l与☉O的位置关系是(　　)

A.相切        B.相离

C.相离或相切      D.相切或相交

7.如图,△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D,E分别是AC,AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是(     )

A.相交         B.相切

C.相离         D.无法确定

8．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（  ）

A．30°        B．45°        C．60°        D．40°

9.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是(　　)[来源:学&

A.9   B.10   C.12   D.14

10．如图，AP、BP分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，点C是圆上一动点，则∠C度数为（   ）

 A.60°    C.40°       D.72°         D、60°或120° [来源:学科网ZXXK]

11.如图,AB是☉O的直径,点D在☉O上,∠BAD=35°,过点D作☉O的切线交AB的延长线于点C,则∠C=　　　　.

[来源:

12.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,以AD为直径的☉O切BC于E,连接OB,OC,试探究OB与OC有何位置关系?[来源:Z_xx_k.Com]

13．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．求证：∠PCA=∠PBC；

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

课后作业：

1．已知⊙O的直径为10，若点P是⊙O内部一点，则OP的长度的取值范围为（      ）

A．OP<10      B．OP≤5       C．0≤OP<5       D．0<OP<5

2．直角三角形的两条直角边分别为和5，则其外接圆的半径为（      ）

A．5        B．12         C．13           D．6.5

3．下列命题不正确的是（       ）

A．三点确定一个圆               B．三角形的外接圆有且只有一个  

C．经过一点有无数个圆           D．经过两点有无数个圆

4.已知Rt△ABC的斜边AB=6 cm,直角边AC=3 cm.

(1)以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；

(2)以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；[来源:Zxxk.Com]

(3)如果以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为_________.

5.⊙O内最长弦长为m，直线l与⊙O相离，设点O到l的距离为d，则d与m的关系是(    )

A.d=m             B.d＞m           C.d＞            D.d＜[来源:学§科§网]

6.⊙O的半径r=5 cm，点P在直线l上，若OP=5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是(    )

A.相离             B.相切             C.相交             D.相切或相交

7.下列图形中四个顶点在同一个圆上的是（      ）

A．矩形、平行四边形      B．菱形、正方形   [来源:Zxxk.Com]

 C．正方形、平行四边形    D．矩形、等腰梯形

8．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有______个．

9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AO＝x，⊙O的半径为1，问：当x在什么范围内取值时，AC与⊙O相离、相切、相交？

10．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（   ）

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

A.3        B.2         C.1         D.0

11.如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3,☉O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线长PQ的最小值为          .

12．已知：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O的于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=45°．求证:∠D＝2∠CAD；

13．已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．

（1）求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）

（2）求证：BC是（1）中所作⊙O的切线．

14．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．