考点19 与圆有关的计算-数学考点一遍过学案

这是一份考点19 与圆有关的计算-数学考点一遍过学案，共33页。学案主要包含了正多边形的有关概念，与圆有关的计算公式等内容，欢迎下载使用。

考点19 与圆有关的计算

一、正多边形的有关概念
正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．
正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．
正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
二、与圆有关的计算公式
1．弧长和扇形面积的计算
扇形的弧长l=；扇形的面积S==．
2．圆锥与侧面展开图
（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=．
圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．

考向一 正多边形与圆
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

典例1　如图，已知⊙O的周长等于8π cm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为

A．2 cm B．2 cm
C．4 cm D．4 cm
【答案】B
【解析】如图，连接OC，OD，

∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD=60°，
∵OC=OD，OM⊥CD，∴∠COM=30°，∵⊙O的周长等于8π cm，∴OC=4 cm，
∴OM=4cos30°=2（cm），故选B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．

1．若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是__________．
2．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．



考向二 弧长和扇形面积
1．弧长公式：；
2．扇形面积公式：或．

典例2　如图，、、是圆上三个不同的点，且，，若，则长是

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵AO∥BC，∴∠ACB=∠OAC=20°，由圆周角定理，得：∠AOB=2∠ACB=2×20°=40°．∴的长为=，故选C．
【名师点睛】本题主要考查了弧长的求解，解题的关键是熟知圆周角定理和平行线的性质．
典例3　如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则的展直长度为

A．3π B．6π
C．9π D．12π
【答案】B
【解析】的展直长度为：=6π（m）．故选B．
【名师点睛】此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．

3．圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是
A．πcm2 B．3πcm2
C．9πcm2 D．6πcm2
4．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为

A． B．
C． D．


1．时钟的分针长5cm，经过15分钟，它的针尖转过的弧长是
A．πcm B．πcm C．πcm D．πcm
2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是

A．π B．π C．2π D．π
3．圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是
A．90° B．120° C．150° D．180°
4．已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆．若∠ABC=25°，则劣弧的长为
A． B．
C． D．
5．【河北省秦皇岛市海港区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是

A．3 B．2
C． D．
6．如图，在中，，，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则的长为

A． B． C． D．
7．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6 cm，圆锥的侧面积为15π cm2，则sin∠ABC的值为

A． B． C． D．
8．【山西省2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，为的直径，和分别是半圆上的三等分点，连接，若，则图中阴影部分的面积为

A． B． C． D．
9．【广东省广州市南沙区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】若一个圆锥的底面积为，圆锥的高为，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为
A． B． C． D．
10．如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，的度数为__________．

11．小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为5cm，扇形的弧长是6cm，那么这个圆锥的高是__________．

12．【吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学2019–2020学年九年级第二次月考数学试题】如图，I是△ABC的内心，∠B=60°，则∠AIC=__________．

13．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，=90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为__________．

14．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留根号和π）．

15．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．

图2中的图案外轮廓周长是__________；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是__________．
16．如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA=3．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）若点E是优弧上一点，且∠AEB=60°，求扇形OAB的面积（计算结果保留π）．



17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．



18．如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作半圆，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若点是的中点，，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点是边上的动点，当取最小值时，直接写出的长．








19．【山西省吕梁市汾阳市2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点.
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为2，，，求图中阴影部分的周长.






20．如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．





21．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．
（1）求证：DA=DE；
（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．










1．（2019•长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是
A．2π B．4π
C．12π D．24π
2．（2019•成都）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为

A．30° B．36° C．60° D．72°
3．（2019•金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为

A．2 B． C． D．
4．（2019•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为

A． B． C．2-π D．4-
5．（2019•杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12 cm，底面圆半径为3 cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于__________cm2（结果精确到个位）．

6．（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留π）

7．（2019•贵港）如图，在扇形中，半径与的夹角为，点与点的距离为，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为__________．

8．（2019•济宁）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC=，AC=3．则图中阴影部分的面积是__________．

9．（2019•贺州）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是__________度．
10．（2019•十堰）如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点顺时针旋转，点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为__________．

11．（2019•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA=，则阴影部分的面积为__________．

12．（2019•广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为__________寸．





13．（2019•河南）如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG；
（2）填空：
①若AB=4，且点E是的中点，则DF的长为__________；
②取的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．





14．（2019•滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2=4CF·AC；
（3）若⊙O的半径为4，∠CDF=15°，求阴影部分的面积．










15．（2019•辽阳）如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．








变式拓展

1．【答案】C
【解析】∵分针经过60分钟，转过360°，∴经过15分钟转过360°×=90°，
则分针的针尖转过的弧长是l=．故选C．
2．【解析】（1）连接OB，OC，

∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，
∴∠P=∠BOC=45°；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，
∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，∴BE=，
∴BC=2BE=2×．
【点睛】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧．
3．【答案】D
【解析】扇形面积的计算公式为：，故选D．
4．【答案】A
【解析】连接AC．∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC．∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是=（m2）．故选A．

【名师点睛】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
考点冲关

1．【答案】C
【解析】∵，∴，∵，∴，故选C.
【名师点睛】本题主要考查了圆周角定理及平行线的性质，熟练运用相关知识点是解决本题的关键.
2．【答案】A
【解析】如图，连接OA、OB，

∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB=BC=DC=AD，
∴，
∴∠AOB=×360°=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，
解得：AO=2，
∴的长为=π，故选A．
3．【答案】D
【解析】∵圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，
∴圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，
则圆锥的侧面展开图扇形的半径为4，
设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是n，
根据题意，得：=4π，
解得：n=180°，故选D．
4．【答案】C
【解析】如图，连接AO，CO，

∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°，∴劣弧的长=，故选C．
5．【答案】B
【解析】如图，连结OA，OB，

∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×=60°，∴△AOB是等边三角形，
∵正六边形的周长是12，∴AB=12×=2，∴AO=BO=AB=2，故选B．
【名师点睛】本题考查了正多边形和圆，以及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线求出∠AOB=60°是解答此题的关键.
6．【答案】C
【解析】∵，，，∴，，
∴的长为，故选C．
7．【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为R，由题意得15π=π×3×R，解得R=5，
∴圆锥的高为4，∴sin∠ABC=．故选C．
8．【答案】B
【解析】设相交于点和分别是半圆上的三等分点，为⊙O的直径..，，如图，连接，则，，
，，
故选.

【名师点睛】此题主要考查了半圆的面积、圆的相关性质及在直角三角形中，30°角所对应的边等于斜边的一半，关键记得加上△ABE的面积是解题的关键.
9．【答案】C
【解析】∵圆锥的底面积为4πcm2，∴圆锥的底面半径为2cm，
∴底面周长为4π，圆锥的高为4cm，
∴由勾股定理得圆锥的母线长为6cm，
设侧面展开图的圆心角是n°，
根据题意得：=4π，解得：n=120．故选C．
【名师点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
10．【答案】
【解析】如图，连接，，，，
∵四边形是圆的内接四边形，∴，
∵，∴，
∵，∴是正三角形，∴，，
∵恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴，
∴，∴的度数为84°．故答案为：84°．

11．【答案】4cm
【解析】设圆锥的底面半径是r，则2πr=6π，解得：r=3，则圆锥的高是：（cm）．
【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的计算．用到的知识点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径是圆锥的母线长．
12．【答案】120°．
【解析】∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=120°
∵三角形的内切圆的圆心是三角形三个角的平分线的交点，
∴∠IAC=∠BAC，∠ICA=∠BCA，
∴∠IAC+∠ICA=（∠BAC+∠BCA）=60°，
∴∠AIC=180°﹣60°=120°，故答案为120°．
【名师点睛】此题主要考查利用三角形的内切圆的圆心是三角形三个角的平分线的交点性质进行角度求解，熟练掌握，即可解题.
13．【答案】（32+48π）cm2
【解析】如图，连接OA、OB，∵=90°，∴∠AOB=90°，∴S△AOB=×8×8=32（cm2），
扇形ACB（阴影部分）==48π（cm2），则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2，
故答案为：（32+48π）cm2．


14．【答案】-
【解析】正六边形的中心为点O，如图，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，

∴∠DOE==60°，∴OD=OE=DE=1，∴OH=，
∴正六边形ABCDEF的面积=×1××6=，∠A==120°，
∴扇形ABF的面积=，∴图中阴影部分的面积=-，故答案为：-．
15．【答案】14；21
【解析】图2中的图案外轮廓周长是：8-2+2+8-2=14；
设∠BPC=2x，
∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，
以∠APB为内角的正多边形的边数为：，
∴图案外轮廓周长是=-2+-2+-2=+-6，
根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，
当x越小时，周长越大，
∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标，
则则会标的外轮廓周长是=-6=21，故答案为：14；21．
16．【解析】（1）连接OB，如图所示：

∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，
∵AD⊥BC，∴AD∥OB，∴∠DAB=∠OBA，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠DAB=∠OAB，∴AB平分∠OAD；
（2）∵点E是优弧上一点，且∠AEB=60°，
∴∠AOB=2∠AEB=120°，
∴扇形OAB的面积==3π．
17．【解析】（1）DE与⊙O相切，理由：如图，连接DO，

∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切．
（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE=DF=3，
∵BE=3，
∴BD==6，
∵sin∠DBF=，
∴∠DBA=30°，
∴∠DOF=60°，
∴sin60°=，
∴DO=2，
则FO=，
故图中阴影部分的面积为：．
18．【解析】（1）如图，过作垂线，垂足为．

∵，，
∴平分，
∵，
∴，
∵为⊙的半径，
∴为⊙的半径，
∴是⊙的切线．
（2）∵，且是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
（3）作关于的对称点，交于，连接交于，此时最小，
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，，，
∵，，
∴∽，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴．
19．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，
理由如下：连接OE、OD，如图，

∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵OB=OD，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2，
在△AOE和△DOE中，∵OA=OD，∠1=∠2，OE=OE，
∴△AOE≌△DOE（SAS），∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；
（2）∵DE、AE是⊙O的切线，∴DE=AE，
∵点E是AC的中点，∴DE=AE=AC=2.5，
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，
∴阴影部分的周长=．
【名师点睛】本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线、切线长定理、弧长的计算，掌握切线的性质与判定、弧长公式是解题的关键．
20．【解析】（1）如图，连接OD，OC，
∵C、D是半圆O上的三等分点，∴==，
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，∴∠CAB=30°，
∵DE⊥AB，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°–30°=60°；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，
∵OA=OD，AB=4，∴△AOD是等边三角形，OA=2，
∵DE⊥AO，∴DE=，
∴S阴影=S扇形AOD–S△AOD=–×2×=π–．

21．【解析】（1）如图，连接OE、BE，

∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵BC=EC，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠OBC=∠OEC．
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OEC=∠OBC=90°．
∵OE为半径，
∴CD为⊙O的切线，
∵AD切⊙O于点A，
∴DA=DE．
（2）如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，DF=AB=6，
∴DC=BC+AD=4，
∵CF==2，
∴BC-AD=2，
∴BC=3，
在直角△OBC中，tan∠BOC==，
∴∠BOC=60°．
在△OEC与△OBC中，，
∴△OEC≌△OBC（SSS），
∴∠BOE=2∠BOC=120°，
∴S阴影部分=S四边形BCEO-S扇形OBE=2×BC·OB-=9-3π．

直通中考

1．【答案】C
【解析】S==12π，故选C．
2．【答案】B
【解析】如图，连接OC，OD．

∵ABCDE是正五边形，∴∠COD==72°，∴∠CPD=∠COD=36°，故选B．
3．【答案】D
【解析】∵∠A=90°，AB=AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，BD=AB，
∵∠ABC=105°，∴∠CBD=60°，而CB=CD，∴△CBD为等边三角形，∴BC=BD=AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB∶CB，
∴下面圆锥的侧面积=×1=．故选D．
4．【答案】A
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2，∴tanA=，
∴∠A=30°，∴∠DOB=60°，∵OD=AB=，∴DE=，
∴阴影部分的面积是：，故选A．

5．【答案】113
【解析】这个冰淇淋外壳的侧面积=×2π×3×12=36π≈113（cm2）．故答案为：113．
6．【答案】π-1
【解析】如图，延长DC，CB交⊙O于M，N，

则图中阴影部分的面积=×（S圆O-S正方形ABCD）=×（4π-4）=π-1，故答案为：π-1．
7．【答案】
【解析】如图，连接，过作于，

∵，，
∴，，∴，
∵，∴，故答案为：．
【名师点睛】本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键．
8．【答案】
【解析】在中，∵，．∴，
∵，∴是圆的切线，
∵与斜边相切于点，∴，∴．
在中，∵，∴，
∵与斜边相切于点，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴．故答案为：．
【名师点睛】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理、解直角三角形的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
9．【答案】90
【解析】设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a=4，
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，根据题意得，解得，
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为．故答案为：90．
【名师点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10．【答案】
【解析】由图可得，
图中阴影部分的面积为：，故答案为：．
【名师点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．【答案】
【解析】如图，作OE⊥AB于点F，

∵在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA=，
∴∠AOD=90°，∠BOC=90°，OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴OD=OA·tan30°==2，AD=4，AB=2AF=2×2=6，OF=，∴BD=2，
∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC-S△BDO=，
故答案为：．
12．【答案】26
【解析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．

13．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，
∴∠DAF=∠DBG，
∵∠ABD+∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠BAC=45°，
∴AD=BD，
∴△ADF≌△BDG．
（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，

∵点E是的中点，
∴∠BAE=∠DAE，
∵FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FH=FD，
∵=sin∠ABD=sin45°=，
∴，即BF=FD，
∵AB=4，
∴BD=4cos45°=2，即BF+FD=2，（ +1）FD=2，
∴FD==4-2，
故答案为：4-2．
②连接OH，EH，

∵点H是的中点，
∴OH⊥AE，
∵∠AEB=90°，
∴BE⊥AE，
∴BE∥OH，
∵四边形OBEH为菱形，
∴BE=OH=OB=AB，
∴sin∠EAB==，
∴∠EAB=30°．
故答案为：30°．
14．【解析】（1）如图所示，连接OD，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，而OB=OD，∴∠ODB=∠ABC=∠C，
∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C=90°，∴∠CDF+∠ODB=90°，
∴∠ODF=90°，∴直线DF是⊙O的切线．
（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB=AC，
则DB=DC=，
∵∠CDF+∠C=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠CDF=∠DCA，
而∠DFC=∠ADC=90°，∴△CFD∽△CDA，
∴CD2=CF·AC，即BC2=4CF·AC．
（3）连接OE，
∵∠CDF=15°，∠C=75°，∴∠OAE=30°=∠OEA，
∴∠AOE=120°，
S△OAE=AE·OE·sin∠OEA=×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA=，
S阴影部分=S扇形OAE-S△OAE=×π×42-=-．
15．【解析】（1）如图，连接，过作于，

∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线．
（2）∵，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积．
【名师点睛】此题主要考查圆的切线与扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆的性质及判定定理．