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数学九年级上册24.4 弧长及扇形的面积精品一课一练
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这是一份数学九年级上册24.4 弧长及扇形的面积精品一课一练，共17页。试卷主要包含了4《弧长和扇形面积》随堂练习，2π m，高为0等内容，欢迎下载使用。
24.4《弧长和扇形面积》随堂练习
第1课时 弧长和扇形面积
基础题
知识点1 弧长公式及应用
1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为( )
A.eq \f(π,2) B．π C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)
2．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为( )
A．6 B．9 C．18 D．36
3．一个扇形的半径为8 cm，弧长为eq \f(16,3)π cm，则扇形的圆心角为( )
A．60° B．120° C．150° D．180°
4．如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )
A．π cm B．2π cm
C．3π cm D．5π cm
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧eq \(BC,\s\up8(︵))的长等于( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2\r(3)π,3) D.eq \f(\r(3)π,3)
知识点2 扇形的面积公式及应用
6．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( )
A．3π B．6π
C．9π D．12π
7．一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm2，那么这个扇形的半径是( )
A．1 cm B．3 cm
C．6 cm D．9 cm
8．已知扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，则该扇形的弧长等于 cm．
9．一个扇形的半径为3 cm，面积为π cm2，则此扇形的圆心角为 度．
10．如图，△ABC是⊙O内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分面积是 ．
11．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=6 cm，AC=8 cm，∠ABD=45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
易错点 忽视题中条件
12．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 cm2.
中档题
13．如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则eq \(FE,\s\up8(︵))的长为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C．Π D．2π
14．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C)
A．(10π－eq \f(9,2)eq \r(3))米2 B．(π－eq \f(9,2)eq \r(3))米2
C．(6π－eq \f(9,2)eq \r(3))米2 D．(6π－9eq \r(3))米
15．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AB=4 cm，分别以B，C为圆心，以BD，CD为半径画弧，交边AB，AC于点E，F，则图中阴影部分面积是 cm2.
16．图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB=6 cm，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O′A′C′，如图2，其中O′是OB的中点，O′C′交eq \(BC,\s\up8(︵))于点F，则eq \(BF,\s\up8(︵))的长为 cm.
17．如图1，正方形ABCD是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD中点处的光点P按图2的程序移动．
(1)请在图1中画出光点P经过的路径；
(2)求光点P经过的路径总长(结果保留π)．
18．如图，已知PA为⊙O的切线，A为切点，B为⊙O上一点，∠AOB=120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB，AD.
(1)求证：OD平分∠AOB；
(2)若OA=2 cm，求阴影部分的面积．
综合题
19．“莱洛三角形”是一种等宽曲线，在游标卡尺上，它在任何方向上的宽度都相等，其构造方法是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形，如图1.莱洛三角形在日常生活中有广泛的应用，如汽车发动机就有莱洛三角形，如图2，若图1中等边三角形的边长是2，则该莱洛三角形的周长是2π．
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
基础题
知识点1 圆柱的侧面积与全面积
1．圆柱形水桶底面周长为3.2π m，高为0.6 m，它的侧面积是( )
A．1.536π m2 B．1.92π m2
C．0.96π m2 D．2.56π m2
2．一个圆柱的底面直径为6 cm，高为10 cm，则这个圆柱全面积是 cm2(结果保留π)．
知识点2 圆锥的侧面积与全面积
3．已知圆锥的底面半径为4 cm，母线长为6 cm，则它的侧面展开图的面积等于( )
A．24 cm2 B．48 cm2
C．24π cm2 D．12π cm2
4．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥母线长为2，则圆锥底面半径是( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \r(2) D.eq \f(3,2)
5．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为( )
A．1.5 B．2
C．2.5 D．3
6．如图，圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是( )
A．12π B．15π C．24π D．30π
7．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( )
A．120° B．180°
C．240° D．300°
8．若一个圆锥的底面圆半径为3 cm，其侧面展开图圆心角为120°，则圆锥母线长是 cm.
9．如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12 cm，OA=13 cm，则扇形AOC中eq \(AC,\s\up8(︵))的长是 cm.(结果保留π)
10．如图，已知圆锥的高为eq \r(3)，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥侧面积为 ．
11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm，弧长为12π cm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．
易错点 考虑不全面导致漏解
12．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为 ．
中档题
13．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1，把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则( )
A．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶2
B．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶2
C．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶4
D．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶4
14．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8 cm，圆柱体部分的高BC=6 cm，圆锥体部分的高CD=3 cm，则这个陀螺的表面积是( )
A．68π cm2 B．74π cm2 C．84π cm2 D．100π cm2
15．如图，从一张腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为( )
A．10 cm B．15 cm
C．10eq \r(3) cm D．20eq \r(2) cm
16．一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为 cm2.
17．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC.若用扇形OAC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 ．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2eq \r(2)，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为 (结果保留π)．
19．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，圆心为O，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC，求：
(1)被剪掉阴影部分的面积；
(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？
综合题
20．如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的邻边(即腰AB或AC)与对边(即底边BC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=eq \f(∠A的对边（底边）,∠A的邻边（腰）)=eq \f(BC,AC)，当∠A=60°时，如T(60°)=1.
(1)理解巩固：T(90°)= ，T(120°)= ，T(A)的取值范围是 ；
(2)学以致用：如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66)
参考答案
基础题
知识点1 弧长公式及应用
1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D)
A.eq \f(π,2) B．π C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)
2．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为(C)
A．6 B．9 C．18 D．36
3．(自贡中考)一个扇形的半径为8 cm，弧长为eq \f(16,3)π cm，则扇形的圆心角为(B)
A．60° B．120° C．150° D．180°
4．(兰州中考)如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C)
A．π cm B．2π cm
C．3π cm D．5π cm
5．(南宁中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧eq \(BC,\s\up8(︵))的长等于(A)
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2\r(3)π,3) D.eq \f(\r(3)π,3)
知识点2 扇形的面积公式及应用
6．(宜宾中考)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(D)
A．3π B．6π
C．9π D．12π
7．(维吾尔中考)一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm2，那么这个扇形的半径是(B)
A．1 cm B．3 cm
C．6 cm D．9 cm
8．(怀化中考)已知扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，则该扇形的弧长等于eq \f(10π,3)__cm．
9．(广西中考)一个扇形的半径为3 cm，面积为π cm2，则此扇形的圆心角为40度．
10．(常德中考)如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是3π．
11．(无锡中考)如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=6 cm，AC=8 cm，∠ABD=45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，∠BDA=90°.
∵BC=6 cm，AC=8 cm，
∴AB=eq \r(62＋82)=10(cm)．
∵∠ABD=45°.
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴BD=AD=eq \f(\r(2),2)AB=5eq \r(2) cm.
(2)连接DO，
∵△ABD是等腰直角三角形，OB=OA，
∴∠BOD=90°.
∵AB=10 cm，
∴OB=OD=5 cm.
∴S阴影=S扇形OBD－S△BOD
=eq \f(90π×52,360)－eq \f(1,2)×52
=(eq \f(25π,4)－eq \f(25,2))cm2.
易错点 忽视题中条件
12．(教材P116习题T8变式)如图，一扇形纸扇完全打开后，
外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm2.
02 中档题
13．(山西中考)如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则eq \(FE,\s\up8(︵))的长为(C)
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C．Π D．2π
14．(山西中考)如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C)
A．(10π－eq \f(9,2)eq \r(3))米2 B．(π－eq \f(9,2)eq \r(3))米2
C．(6π－eq \f(9,2)eq \r(3))米2 D．(6π－9eq \r(3))米
15．(盘锦中考)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AB=4 cm，分别以B，C为圆心，以BD，CD为半径画弧，交边AB，AC于点E，F，则图中阴影部分的面积是(2eq \r(3)＋2－eq \f(3,2)π) cm2.
16．(山西中考)图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB=6 cm，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O′A′C′，如图2，其中O′是OB的中点，O′C′交eq \(BC,\s\up8(︵))于点F，则eq \(BF,\s\up8(︵))的长为π cm.
17．如图1，正方形ABCD是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD中点处的光点P按图2的程序移动．
(1)请在图1中画出光点P经过的路径；
(2)求光点P经过的路径总长(结果保留π)．
解：(1)如图．
(2)光点P经过的路径总长为4×eq \f(90π×3,180)=6π.
18．(山西中考适应性考试)如图，已知PA为⊙O的切线，A为切点，B为⊙O上一点，∠AOB=120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB，AD.
(1)求证：OD平分∠AOB；
(2)若OA=2 cm，求阴影部分的面积．
解：(1)证明：∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA.
∵BC⊥PA，
∴∠OAP=∠BCA=90°.
∴OA∥BC.
∴∠AOB＋OBC=180°.
∵∠AOB=120°，
∴∠OBC=60°.
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形．
∴∠BOD=60°.
∴∠AOD=∠BOD=60°.
∴OD平分∠AOB.
(2)∵OA∥BC，
∴点O和点A到BD的距离相等．
∴S△ABD=S△OBD.
∴S阴影=S扇形OBD.
∴S阴影=eq \f(60π×4,360)=eq \f(2,3)π(cm2)．
03 综合题
19．(山西中考命题专家原创)“莱洛三角形”是一种等宽曲线，在游标卡尺上，它在任何方向上的宽度都相等，其构造方法是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形，如图1.莱洛三角形在日常生活中有广泛的应用，如汽车发动机就有莱洛三角形，如图2，若图1中等边三角形的边长是2，则该莱洛三角形的周长是2π．
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
01 基础题
知识点1 圆柱的侧面积与全面积
1．圆柱形水桶底面周长为3.2π m，高为0.6 m，它的侧面积是(B)
A．1.536π m2 B．1.92π m2
C．0.96π m2 D．2.56π m2
2．(来宾中考)一个圆柱的底面直径为6 cm，高为10 cm，则这个圆柱的全面积是78πcm2(结果保留π)．
知识点2 圆锥的侧面积与全面积
3．(无锡中考)已知圆锥的底面半径为4 cm，母线长为6 cm，则它的侧面展开图的面积等于(C)
A．24 cm2 B．48 cm2
C．24π cm2 D．12π cm2
4．(德阳中考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥母线长为2，则圆锥的底面半径是(B)
A.eq \f(1,2) B．1
C.eq \r(2) D.eq \f(3,2)
5．(嘉兴中考)一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为(D)
A．1.5 B．2
C．2.5 D．3
6．(宁夏中考)如图，圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是(B)
A．12π
B．15π
C．24π
D．30π
7．(齐齐哈尔中考)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是(A)
A．120° B．180°
C．240° D．300°
8．(孝感中考)若一个圆锥的底面圆半径为3 cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是9cm.
9．(广东中考)如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12 cm，OA=13 cm，则扇形AOC中eq \(AC,\s\up8(︵))的长是10πcm.(结果保留π)
10．(聊城中考)如图，已知圆锥的高为eq \r(3)，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为2π．
11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm，弧长为12π cm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．
解：侧面积为：eq \f(1,2)×12×12π=72π(cm2)．
设底面半径为r，则有2πr=12π，∴r=6 cm.
由于高、母线、底面半径恰好构成直角三角形，根据勾股定理可得，高为eq \r(122－62)=6eq \r(3)(cm)．
易错点 考虑不全面导致漏解
12．(黄冈中考)已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为π或4π．
02 中档题
13．(杭州中考)如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1，把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则(A)
A．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶2
B．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶2
C．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶4
D．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶4
14．(绵阳中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8 cm，圆柱体部分的高BC=6 cm，圆锥体部分的高CD=3 cm，则这个陀螺的表面积是(C)
A．68π cm2
B．74π cm2
C．84π cm2
D．100π cm2
15．(十堰中考)如图，从一张腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为(D)
A．10 cm B．15 cm
C．10eq \r(3) cm D．20eq \r(2) cm
16．(恩施中考)一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为15πcm2.
17．(苏州中考)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC.若用扇形OAC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是eq \f(1,2)．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2eq \r(2)，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为8eq \r(2)π(结果保留π)．
19．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，圆心为O，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC，求：
(1)被剪掉阴影部分的面积；
(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？
解：(1)连接OA，OB.
由∠BAC=120°，可知AB=eq \f(1,2)米，点O在扇形ABC的eq \(BC,\s\up8(︵))上．
∴扇形ABC的面积为eq \f(120,360)π×(eq \f(1,2))2=eq \f(π,12)(平方米)．
∴被剪掉阴影部分的面积为
π×(eq \f(1,2))2－eq \f(π,12)=eq \f(π,6)(平方米)．
(2)由2πr=eq \f(120,180)π×eq \f(1,2)，得r=eq \f(1,6).
即圆锥底面圆的半径是eq \f(1,6)米．
03 综合题
20．如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的邻边(即腰AB或AC)与对边(即底边BC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=eq \f(∠A的对边（底边）,∠A的邻边（腰）)=eq \f(BC,AC)，当∠A=60°时，如T(60°)=1.
(1)理解巩固：T(90°)=eq \r(2)，T(120°)=eq \r(3)，T(A)的取值范围是0＜T(A)＜2；
(2)学以致用：如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66)
解：∵圆锥的底面直径PQ=14，
∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π.
设扇形的圆心角为n°，则eq \f(n×π×18,180)=14π，
解得n=140.
∵T(70°)≈0.87，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为0.87×18≈15.7.
24.4《弧长和扇形面积》随堂练习
第1课时 弧长和扇形面积
基础题
知识点1 弧长公式及应用
1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为( )
A.eq \f(π,2) B．π C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)
2．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为( )
A．6 B．9 C．18 D．36
3．一个扇形的半径为8 cm，弧长为eq \f(16,3)π cm，则扇形的圆心角为( )
A．60° B．120° C．150° D．180°
4．如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )
A．π cm B．2π cm
C．3π cm D．5π cm
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧eq \(BC,\s\up8(︵))的长等于( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2\r(3)π,3) D.eq \f(\r(3)π,3)
知识点2 扇形的面积公式及应用
6．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( )
A．3π B．6π
C．9π D．12π
7．一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm2，那么这个扇形的半径是( )
A．1 cm B．3 cm
C．6 cm D．9 cm
8．已知扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，则该扇形的弧长等于 cm．
9．一个扇形的半径为3 cm，面积为π cm2，则此扇形的圆心角为 度．
10．如图，△ABC是⊙O内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分面积是 ．
11．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=6 cm，AC=8 cm，∠ABD=45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
易错点 忽视题中条件
12．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 cm2.
中档题
13．如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则eq \(FE,\s\up8(︵))的长为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C．Π D．2π
14．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C)
A．(10π－eq \f(9,2)eq \r(3))米2 B．(π－eq \f(9,2)eq \r(3))米2
C．(6π－eq \f(9,2)eq \r(3))米2 D．(6π－9eq \r(3))米
15．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AB=4 cm，分别以B，C为圆心，以BD，CD为半径画弧，交边AB，AC于点E，F，则图中阴影部分面积是 cm2.
16．图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB=6 cm，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O′A′C′，如图2，其中O′是OB的中点，O′C′交eq \(BC,\s\up8(︵))于点F，则eq \(BF,\s\up8(︵))的长为 cm.
17．如图1，正方形ABCD是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD中点处的光点P按图2的程序移动．
(1)请在图1中画出光点P经过的路径；
(2)求光点P经过的路径总长(结果保留π)．
18．如图，已知PA为⊙O的切线，A为切点，B为⊙O上一点，∠AOB=120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB，AD.
(1)求证：OD平分∠AOB；
(2)若OA=2 cm，求阴影部分的面积．
综合题
19．“莱洛三角形”是一种等宽曲线，在游标卡尺上，它在任何方向上的宽度都相等，其构造方法是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形，如图1.莱洛三角形在日常生活中有广泛的应用，如汽车发动机就有莱洛三角形，如图2，若图1中等边三角形的边长是2，则该莱洛三角形的周长是2π．
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
基础题
知识点1 圆柱的侧面积与全面积
1．圆柱形水桶底面周长为3.2π m，高为0.6 m，它的侧面积是( )
A．1.536π m2 B．1.92π m2
C．0.96π m2 D．2.56π m2
2．一个圆柱的底面直径为6 cm，高为10 cm，则这个圆柱全面积是 cm2(结果保留π)．
知识点2 圆锥的侧面积与全面积
3．已知圆锥的底面半径为4 cm，母线长为6 cm，则它的侧面展开图的面积等于( )
A．24 cm2 B．48 cm2
C．24π cm2 D．12π cm2
4．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥母线长为2，则圆锥底面半径是( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \r(2) D.eq \f(3,2)
5．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为( )
A．1.5 B．2
C．2.5 D．3
6．如图，圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是( )
A．12π B．15π C．24π D．30π
7．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( )
A．120° B．180°
C．240° D．300°
8．若一个圆锥的底面圆半径为3 cm，其侧面展开图圆心角为120°，则圆锥母线长是 cm.
9．如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12 cm，OA=13 cm，则扇形AOC中eq \(AC,\s\up8(︵))的长是 cm.(结果保留π)
10．如图，已知圆锥的高为eq \r(3)，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥侧面积为 ．
11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm，弧长为12π cm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．
易错点 考虑不全面导致漏解
12．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为 ．
中档题
13．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1，把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则( )
A．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶2
B．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶2
C．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶4
D．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶4
14．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8 cm，圆柱体部分的高BC=6 cm，圆锥体部分的高CD=3 cm，则这个陀螺的表面积是( )
A．68π cm2 B．74π cm2 C．84π cm2 D．100π cm2
15．如图，从一张腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为( )
A．10 cm B．15 cm
C．10eq \r(3) cm D．20eq \r(2) cm
16．一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为 cm2.
17．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC.若用扇形OAC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 ．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2eq \r(2)，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为 (结果保留π)．
19．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，圆心为O，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC，求：
(1)被剪掉阴影部分的面积；
(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？
综合题
20．如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的邻边(即腰AB或AC)与对边(即底边BC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=eq \f(∠A的对边（底边）,∠A的邻边（腰）)=eq \f(BC,AC)，当∠A=60°时，如T(60°)=1.
(1)理解巩固：T(90°)= ，T(120°)= ，T(A)的取值范围是 ；
(2)学以致用：如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66)
参考答案
基础题
知识点1 弧长公式及应用
1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D)
A.eq \f(π,2) B．π C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)
2．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为(C)
A．6 B．9 C．18 D．36
3．(自贡中考)一个扇形的半径为8 cm，弧长为eq \f(16,3)π cm，则扇形的圆心角为(B)
A．60° B．120° C．150° D．180°
4．(兰州中考)如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C)
A．π cm B．2π cm
C．3π cm D．5π cm
5．(南宁中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧eq \(BC,\s\up8(︵))的长等于(A)
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2\r(3)π,3) D.eq \f(\r(3)π,3)
知识点2 扇形的面积公式及应用
6．(宜宾中考)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(D)
A．3π B．6π
C．9π D．12π
7．(维吾尔中考)一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm2，那么这个扇形的半径是(B)
A．1 cm B．3 cm
C．6 cm D．9 cm
8．(怀化中考)已知扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，则该扇形的弧长等于eq \f(10π,3)__cm．
9．(广西中考)一个扇形的半径为3 cm，面积为π cm2，则此扇形的圆心角为40度．
10．(常德中考)如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是3π．
11．(无锡中考)如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=6 cm，AC=8 cm，∠ABD=45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，∠BDA=90°.
∵BC=6 cm，AC=8 cm，
∴AB=eq \r(62＋82)=10(cm)．
∵∠ABD=45°.
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴BD=AD=eq \f(\r(2),2)AB=5eq \r(2) cm.
(2)连接DO，
∵△ABD是等腰直角三角形，OB=OA，
∴∠BOD=90°.
∵AB=10 cm，
∴OB=OD=5 cm.
∴S阴影=S扇形OBD－S△BOD
=eq \f(90π×52,360)－eq \f(1,2)×52
=(eq \f(25π,4)－eq \f(25,2))cm2.
易错点 忽视题中条件
12．(教材P116习题T8变式)如图，一扇形纸扇完全打开后，
外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm2.
02 中档题
13．(山西中考)如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则eq \(FE,\s\up8(︵))的长为(C)
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C．Π D．2π
14．(山西中考)如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C)
A．(10π－eq \f(9,2)eq \r(3))米2 B．(π－eq \f(9,2)eq \r(3))米2
C．(6π－eq \f(9,2)eq \r(3))米2 D．(6π－9eq \r(3))米
15．(盘锦中考)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AB=4 cm，分别以B，C为圆心，以BD，CD为半径画弧，交边AB，AC于点E，F，则图中阴影部分的面积是(2eq \r(3)＋2－eq \f(3,2)π) cm2.
16．(山西中考)图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB=6 cm，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O′A′C′，如图2，其中O′是OB的中点，O′C′交eq \(BC,\s\up8(︵))于点F，则eq \(BF,\s\up8(︵))的长为π cm.
17．如图1，正方形ABCD是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD中点处的光点P按图2的程序移动．
(1)请在图1中画出光点P经过的路径；
(2)求光点P经过的路径总长(结果保留π)．
解：(1)如图．
(2)光点P经过的路径总长为4×eq \f(90π×3,180)=6π.
18．(山西中考适应性考试)如图，已知PA为⊙O的切线，A为切点，B为⊙O上一点，∠AOB=120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB，AD.
(1)求证：OD平分∠AOB；
(2)若OA=2 cm，求阴影部分的面积．
解：(1)证明：∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA.
∵BC⊥PA，
∴∠OAP=∠BCA=90°.
∴OA∥BC.
∴∠AOB＋OBC=180°.
∵∠AOB=120°，
∴∠OBC=60°.
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形．
∴∠BOD=60°.
∴∠AOD=∠BOD=60°.
∴OD平分∠AOB.
(2)∵OA∥BC，
∴点O和点A到BD的距离相等．
∴S△ABD=S△OBD.
∴S阴影=S扇形OBD.
∴S阴影=eq \f(60π×4,360)=eq \f(2,3)π(cm2)．
03 综合题
19．(山西中考命题专家原创)“莱洛三角形”是一种等宽曲线，在游标卡尺上，它在任何方向上的宽度都相等，其构造方法是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形，如图1.莱洛三角形在日常生活中有广泛的应用，如汽车发动机就有莱洛三角形，如图2，若图1中等边三角形的边长是2，则该莱洛三角形的周长是2π．
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
01 基础题
知识点1 圆柱的侧面积与全面积
1．圆柱形水桶底面周长为3.2π m，高为0.6 m，它的侧面积是(B)
A．1.536π m2 B．1.92π m2
C．0.96π m2 D．2.56π m2
2．(来宾中考)一个圆柱的底面直径为6 cm，高为10 cm，则这个圆柱的全面积是78πcm2(结果保留π)．
知识点2 圆锥的侧面积与全面积
3．(无锡中考)已知圆锥的底面半径为4 cm，母线长为6 cm，则它的侧面展开图的面积等于(C)
A．24 cm2 B．48 cm2
C．24π cm2 D．12π cm2
4．(德阳中考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥母线长为2，则圆锥的底面半径是(B)
A.eq \f(1,2) B．1
C.eq \r(2) D.eq \f(3,2)
5．(嘉兴中考)一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为(D)
A．1.5 B．2
C．2.5 D．3
6．(宁夏中考)如图，圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是(B)
A．12π
B．15π
C．24π
D．30π
7．(齐齐哈尔中考)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是(A)
A．120° B．180°
C．240° D．300°
8．(孝感中考)若一个圆锥的底面圆半径为3 cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是9cm.
9．(广东中考)如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12 cm，OA=13 cm，则扇形AOC中eq \(AC,\s\up8(︵))的长是10πcm.(结果保留π)
10．(聊城中考)如图，已知圆锥的高为eq \r(3)，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为2π．
11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm，弧长为12π cm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．
解：侧面积为：eq \f(1,2)×12×12π=72π(cm2)．
设底面半径为r，则有2πr=12π，∴r=6 cm.
由于高、母线、底面半径恰好构成直角三角形，根据勾股定理可得，高为eq \r(122－62)=6eq \r(3)(cm)．
易错点 考虑不全面导致漏解
12．(黄冈中考)已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为π或4π．
02 中档题
13．(杭州中考)如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1，把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则(A)
A．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶2
B．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶2
C．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶4
D．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶4
14．(绵阳中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8 cm，圆柱体部分的高BC=6 cm，圆锥体部分的高CD=3 cm，则这个陀螺的表面积是(C)
A．68π cm2
B．74π cm2
C．84π cm2
D．100π cm2
15．(十堰中考)如图，从一张腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为(D)
A．10 cm B．15 cm
C．10eq \r(3) cm D．20eq \r(2) cm
16．(恩施中考)一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为15πcm2.
17．(苏州中考)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC.若用扇形OAC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是eq \f(1,2)．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2eq \r(2)，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为8eq \r(2)π(结果保留π)．
19．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，圆心为O，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC，求：
(1)被剪掉阴影部分的面积；
(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？
解：(1)连接OA，OB.
由∠BAC=120°，可知AB=eq \f(1,2)米，点O在扇形ABC的eq \(BC,\s\up8(︵))上．
∴扇形ABC的面积为eq \f(120,360)π×(eq \f(1,2))2=eq \f(π,12)(平方米)．
∴被剪掉阴影部分的面积为
π×(eq \f(1,2))2－eq \f(π,12)=eq \f(π,6)(平方米)．
(2)由2πr=eq \f(120,180)π×eq \f(1,2)，得r=eq \f(1,6).
即圆锥底面圆的半径是eq \f(1,6)米．
03 综合题
20．如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的邻边(即腰AB或AC)与对边(即底边BC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=eq \f(∠A的对边（底边）,∠A的邻边（腰）)=eq \f(BC,AC)，当∠A=60°时，如T(60°)=1.
(1)理解巩固：T(90°)=eq \r(2)，T(120°)=eq \r(3)，T(A)的取值范围是0＜T(A)＜2；
(2)学以致用：如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66)
解：∵圆锥的底面直径PQ=14，
∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π.
设扇形的圆心角为n°，则eq \f(n×π×18,180)=14π，
解得n=140.
∵T(70°)≈0.87，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为0.87×18≈15.7.
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