中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第41讲 与圆有关的计算（解析版）学案

这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第41讲 与圆有关的计算（解析版）学案，共39页。学案主要包含了正多边形与圆，弧长和扇形面积，圆锥的有关计算，求扇形的面积，求圆锥侧面积，求阴影部分的面积等内容，欢迎下载使用。

 中考数学一轮复习讲义
考点四十二：与圆有关的计算
聚焦考点☆温习理解
一、正多边形与圆
　　1.正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
　　2.正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。
　　3.正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角=。
　　4.正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
二、弧长和扇形面积
1、弧长公式
n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为
2、扇形面积公式

其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
3、圆锥的侧面积

其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。
 
名师点睛☆典例分类
考点典例一、正多边形与圆的有关计算
【例1】(2019•贵阳•3分)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是(　　)

A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝(180°﹣120°)＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．
【举一反三】
1.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．(结果保留根号)
【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．
详解：依照题意画出图象，如图所示．

∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM=，
∴AB=，
∴S=6S△ABO=6×××1=2．
故答案为：2.
点睛：本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．
小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为________cm．

【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷
【答案】8.
【解析】分析: 设两个正六边形的中心为O，连接OP,OB,过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM的长，，而且面积等于小正六边形的面积的， 故三角形PMN的面积很容易被求出，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出PG的长，进而得出OG的长，,在Rt△OPG中，根据勾股定理得 OP的长，设OB为x，，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出BH，OH的长，进而得出PH的长，在Rt△PHO中，根据勾股定理得关于x的方程，求解得出x的值，从而得出答案.
详解: 设两个正六边形的中心为O，连接OP,OB,过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：

很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM=,而且面积等于小正六边形的面积的，
故三角形PMN的面积为cm2，
∵OG⊥PM，且O是正六边形的中心，
∴PG=PM=
∴OG=,
在Rt△OPG中，根据勾股定理得 ：OP2=OG2+PG2,即=OP2, 
∴OP=7cm，
设OB为x，
∵OH⊥AB，且O是正六边形的中心，
∴BH=X,OH=，
∴PH=5-x，
在Rt△PHO中，根据勾股定理得OP2=PH2+OH2,即;
解得：x1=8,x2=-3(舍)
故该圆的半径为8cm.
故答案为:8.
点睛: 本题以相机快门为背景，从中抽象出数学模型，综合考查了多边形、圆、三角形及解三角形等相关知识，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力。试题通过将快门的光圈变化这个动态的实际问题化为静态的数学问题，让每个学生都能参与到实际问题数学化的过程中，鼓励学生用数学的眼光观察世界；在运用数学知识解决问题的过程中，关注思想方法，侧重对问题的分析，将复杂的图形转化为三角形或四边形解决，引导学生用数学的语言表达世界，用数学的思维解决问题.

考点典例二、计算弧长
【例2】．(2019•贵阳•4分)如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是　8π　．

【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果．
【举一反三】
1.如图，左图是由若干个相同的图形(右图)组成的美丽图案的一部分.右图中，图形的相关数据：半径 OA=2cm，∠AOB=120°.则右图的周长为________cm(结果保留π)．

【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：先根据图1确定：图2的周长=2个的长，根据弧长公式可得结论．
详解：由图1得：的长+的长=的长，
∵半径OA=2cm，∠AOB=120°
则图2的周长为：.
故答案为：．
点睛：本题考查了弧长公式的计算，根据图形特点确定各弧之间的关系是本题的关键．
2.(2019•山东泰安•4分)如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为(　　)

A．π B．π C．2π D．3π
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴的长＝＝2π，
故选：C．

【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式．

考点典例三、圆锥的有关计算
【例3】(2019•江苏无锡•2分)已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的底面圆半径为　3　cm．
【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．
【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝6π，
∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴r＝＝＝3cm，
故答案为：3．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．
【举一反三】
1.(2019•浙江湖州•3分)已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是(　　)
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算．
【解答】解：这个圆锥的侧面积＝×2π×5×13＝65π(cm2)．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
2.(2019·广西贺州·3分)已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是　90　度．
【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为4，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a＝4，
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，
根据题意得2π•1＝，解得n＝90，
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°．
故答案为：90．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

考点典例四、求扇形的面积
【例4】(2019•湖北省咸宁市•3分)如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为　 (结果保留π)．

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD和∠COB的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去△AOC和扇形BOC的面积．
【解答】解：连接OC.BC，作CD⊥AB于点D，
∵直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∠COB＝60°，
∴AC＝3，
∵∠CDA＝90°，
∴CD＝，
∴阴影部分的面积是：＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．

【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【举一反三】
如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为(1，0)，将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动(先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…)当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.

【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷
【答案】+π
【解析】【分析】在Rt△AOB中，由A点坐标得OA=1，根据锐角三角形函数可得AB=2，OB=，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：
S=，计算即可得出答案.
【详解】在Rt△AOB中，∵A(1，0)，∴OA=1，
又∵∠OAB＝60°，
∴cos60°=，
∴AB=2，OB=，
∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，
∴点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：
S==π，
故答案为：π.

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键.
考点典例五、求圆锥侧面积
【例5】.(2019•浙江杭州•4分)如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于　113　cm2(结果精确到个位)．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积＝×2π×3×12＝36π≈113(cm2)．
故答案为113．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【举一反三】
(2019•江苏宿迁•3分)一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是(　　)

A．20π B．15π C．12π D．9π
【分析】根据勾股定理得出底面半径，易求周长以及母线长，从而求出侧面积．
【解答】解：由勾股定理可得：底面圆的半径＝，则底面周长＝6π，底面半径＝3，
由图得，母线长＝5，
侧面面积＝×6π×5＝15π．
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
考点典例六、求阴影部分的面积
【例6】(2019•湖北省荆门市•3分)如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为　+﹣　．

【分析】过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质得到AM＝BC＝×2＝，求得EN＝AM＝，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，
∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AM＝BC＝×2＝，
∵AD＝AE＝1，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴EN＝AM＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣(S△BCD﹣S扇形DCF)＝×2×﹣﹣×﹣(×﹣)＝+﹣，
故答案为：+﹣．

【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【举一反三】
1. (2019•河南•3分)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为　+π　．

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去△BDO的面积，本题得以解决．
【解答】解：作OE⊥AB于点F，
∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，
∴∠AOD＝90°，∠BOC＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，
∴BD＝2，
∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，
故答案为：+π．

【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2.(2017浙江衢州第10题)运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。则图中阴影部分的面积是( )

A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】
试题解析：作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．

∵CG是圆的直径，
∴∠CDG=90°，则DG==8，
又∵EF=8，
∴DG=EF，
∴，
∴S扇形ODG=S扇形OEF，
∵AB∥CD∥EF，
∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，
∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=π．
故选A．
考点：1.圆周角定理；2.扇形面积的计算.
【点睛】本题考查了扇形面积公式，求出S△BED=S△OEC是解决本题的关键.
课时作业☆能力提升
一．选择题
1．(2018甘肃兰州中考模拟)如图，正方形内接于半径为2的，则图中阴影部分的面积为( )

A. B. C. D.
【答案】D．
【解析】
试题解析：连接AO，DO，

∵ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
AD=，
圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积=[4π﹣(2)2]=(π﹣2)cm2．
故选D．
考点：1正多边形和圆；2.扇形面积的计算．
2. (2018湖南株洲中考模拟)下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(　　)
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】A.
【解析】

3. (2019•成都)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点(点P不与点D重合)，则∠CPD的度数为

A．30° B．36° C．60° D．72°
【答案】B
【解析】如图，连接OC，OD．

∵ABCDE是正五边形，∴∠COD==72°，∴∠CPD=∠COD=36°，故选B．
【名师点睛】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4. 如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为( )

A. B. C. D.
【来源】山东省德州市2018年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．
详解：连接AC．
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC．
∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是=(m2)．
故选A．

点睛：本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
5. (2018内蒙古呼和浩特中考模拟)如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为(　　)

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
【答案】A．

考点：正多边形和圆；扇形面积的计算
6.(2018年湖北黄冈中考模拟)已知如图，圆锥的母线长6cm，底面半径是3cm，在B处有一只蚂蚁，在AC中点P处有一颗米粒，蚂蚁从B爬到P处的最短距离是(　　)

A. 3cm B. 3cm C. 9cm D. 6cm
【答案】B
【解析】∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，
则： =×2×3π，其中r=3，
∴n=180°，如图所示：

由题意可知，AB⊥AC，且点P为AC的中点，
在Rt△ABP中，AB=6，AP=3，
∴BP==3cm，
故蚂蚁沿线段Bp爬行，路程最短，最短的路程是3cm．
7.(江苏省苏州市高新区2018届中考模拟)如图，菱形ABCD放置在直线l上(AB与直线l重合)，AB＝4，∠DAB＝60°，将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径总长度为( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画出图形即可知道，从点A离开出发点到A第一次落在直线上为止，点A运动经过的路径的长度为图中的弧线长，由此即可解决问题.
解：如图，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为图中的弧线长.

由题意可知=，∠DOA2=120°，DO=4，
所以点A运动经过的路径的长度=，
故选D.
8.(浙江省金华市第五中学2018届九年级上册期末模拟)如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为(　　)

A. π﹣4          B.               C. π﹣2            D.
【答案】C
【解析】试题解析：∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵OB=2，
∴△OBC的BC边上的高为： OB=，
∴BC=2
∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC=.
故选C．
二．填空题
9. (2017山东德州第17题)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为，根据设计要求，若 ，则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面枳的比值)为 ．
[来源:Z&xx&k.Com]
【答案】
【解析】
试题解析：如图，过F作FG⊥OF，连接OG,OM,ON

△OFH是等腰直角三角形，
∴FH=OFsin45°=，AB=，BC=2OF=2
∴矩形ABCD面积=
∴S空白=2S扇形FOM+2SΔAOG
=
=
∴窗户的透光率=
考点：扇形的面积及概率
10. (2019•广东广州•3分)如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为　　．(结果保留π)

【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长＝底面圆的周长即可解决问题．
【解答】解：∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，
∴斜边长为2，
则底面圆的周长为2π，
∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2π，
故答案为2π．
【点评】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11. (2019•济宁)如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC=，AC=3．则图中阴影部分的面积是__________．

【答案】
【解析】在中，∵，．∴，
∵，∴是圆的切线，
∵与斜边相切于点，∴，∴．
在中，∵，∴，
∵与斜边相切于点，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴．故答案为：．
【名师点睛】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理、解直角三角形的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
12. (2018江苏镇江中考模拟)如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF=2(EF与AB在圆心O1和O2的同侧)，则由，EF，，AB所围成图形(图中阴影部分)的面积等于　 　．

【答案】﹣．
【解析】
试题解析：连接O1O2，O1E，O2F，则四边形O1O2FE是等腰梯形，过E作EG⊥O1O2，过F⊥O1O2，

∴四边形EGHF是矩形，
∴GH=EF=2，
∴O1G=，
∵O1E=1，
∴GE=，
∴；
∴∠O1EG=30°，
∴∠AO1E=30°，
同理∠BO2F=30°，
∴阴影部分的面积=S矩形ABO2O1﹣2S扇形AO1E﹣S梯形EFO2O1=3×1﹣2×=(2+3)×=3﹣﹣．
考点：1.扇形面积的计算；2.矩形的性质．
13. (2019•重庆)如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是__________．

【答案】
【解析】如图，连接AE，

∵∠ADE=90°，AE=AB=4，AD=，∴sin∠AED=，∴∠AED=45°，
∴∠EAD=45°，∠EAB=45°，∴AD=DE=，
∴阴影部分的面积是：=，故答案为：．
14. 如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为__________．(结果保留π)

【来源】贵州省安顺市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．

点睛：此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．
15. 如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为_____cm．
(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为_____cm．

【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题
【答案】 30 10﹣10，
【解析】分析：(1)如图1中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径定理即可解决问题；
(2)如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题；
详解：(1)如图2中，连接B1C1交DD1于H．

∵D1A=D1B1=30
∴D1是的圆心，
∵AD1⊥B1C1，
∴B1H=C1H=30×sin60°=154，
∴B1C1=304
∴弓臂两端B1，C1的距离为30
(2)如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．
设半圆的半径为r，则πr=，
∴r=20，
∴AG=GB2=20，GD1=30-20=10，
在Rt△GB2D2中，GD2=
∴D1D2=10-10．
故答案为30，10-10，
点睛：本题考查垂径定理的应用、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16.(2017年广东省东莞市中堂六校中考数学三模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=12cm，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形(阴影部分)的面积是_____cm2．(结果保留π)．

【答案】36π
【解析】∵∠C是直角，∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°﹣60°=30°，
∴BC=AB=×12=6cm，
∵△ABC以点B为中心顺时针旋转得到△BDE，
∴S△BDE=S△ABC，∠ABE=∠CBD=180°﹣60°=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形ABE+S△BDE﹣S扇形BCD﹣S△ABC
=S扇形ABE﹣S扇形BCD=-=48π﹣12π=36πcm2
点睛：能根据题意确定出出阴影部分的面积=S扇形ABE﹣S扇形BCD，是解题的关键.
17. 如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，，从A到B只有路弧AB，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB.通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了__________步(假设1步为0.5米，结果保留整数)．(参考数据：，取3.142)

【来源】2018年浙江省绍兴市中考数学试卷解析
【答案】15
【解析】【分析】过O作OC⊥AB于C，分别计算出弦AB的长和弧AB的长即可求解.
【解答】过O作OC⊥AB于C，如图，

∴AC=BC，
∵
∴
∴
∴
∴
又∵弧AB的长=
米步.
故答案为：15.
【点评】考查了弧长的计算，垂径定理的应用，熟记弧长公式是解题的关键.
18. (2017黑龙江绥化第18题)半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为 ．
【答案】1：：.[来源:Z_xx_k.Com]
【解析】
试题分析：由题意可得，
正三角形的边心距是：2×sin30°=2× =1，
正四边形的边心距是：2×sin45°=2×=，
正六边形的边心距是：2×sin60°=2×=，
∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1：：.
考点：正多边形和圆．
三．计算题
19.(2018年湖南省张家界市中考数学一模)已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．
(1)求证：CB2=AB•DB；
(2)若⊙O的半径为2，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)证明见解析；
(2)阴影部分的面积=
【解析】试题分析：(1)由CP是 ⊙O的切线，得出∠BCD=∠BAC，AB是直径，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出结论△ACB∽△CDB，从而得出结论；
(2)求出△OCB是正三角形，阴影部分的面积=S扇形OCB-S△OCB=．
试题解析：
(1)提示：先证∠ACB=∠CDB=90°，
再证∠BAC=∠BCD,
得△ACB∽△CDB，
∴

(2)解：如图，连接OC，
∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，
∴∠COB=2∠BCP=60°，
∴△OCB是正三角形，
∵⊙O的半径为2，[来源:学科网]
∴S△OCB=，S扇形OCB= ，
∴阴影部分的面积=S扇形OCB－S△OCB=．
20. (安徽省2018届初中毕业班 第4次十校联考)如图，⊙O的直径AD长为6，AB是弦，∠A=30°，CD∥AB，且CD=．

(1)求∠C的度数；
(2)求证：BC是⊙O的切线；
(3)求阴影部分面积．
【答案】(1)∠C=60°；(2)证明见解析；(3)S阴影= 3π-．
【解析】试题分析：(1)连接BD，由AD为圆的直径，得到∠ABD为直角，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，根据CD与AB平行，得到一对内错角相等，确定出∠CDB为直角，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出tanC的值，即可确定出∠C的度数；
试题解析：(1)如图，连接BD，

∵AD为圆O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴BD=AD=3，
∵CD∥AB，∠ABD=90°，
∴∠CDB=∠ABD=90°，
在Rt△CDB中，tanC===，
∴∠C=60°；
(2)证明：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠A=30°，
∵CD∥AB，∠C=60°，
∴∠ABC=180°-∠C=120°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=120°-30°=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC为圆O的切线；
(3)解：过点O作OE⊥AB，则有OE=OA=，
∵AB===3，
∴S△OAB=AB•OE=×3×=，
∵∠AOB=180°-2∠A=120°，
∴S扇形OAB==3π，
则S阴影=S扇形OAB-S△AOB=3π-．
21. (安徽省合肥市2018届九年级第五次十校联考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AB=2 ， AC=． 
(1)求∠A的度数．
(2)求弧CBD的长．
(3)求弓形CBD的面积．

【答案】(1)∠A=30°；(2)；(3)-．
(3)由公式：弓形CBD的面积=扇形COD的面积−△COD的面积，即可求出弓形面积.
试题解析：(1)过O作OE⊥AC，
，

在Rt△AEO中，


∵AB=2，

∴的长= ；
(3) OP⊥CD，

∵OC=1，

，
∴弓形CBD的面积=扇形COD的面积−△COD的面积

22. (2019•辽阳)如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
(1)求证：是⊙的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．

【解析】(1)如图，连接，过作于，

∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线．
(2)∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积．
【名师点睛】此题主要考查圆的切线与扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆的性质及判定定理．
23. (2019•滨州)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
(1)求证：直线DF是⊙O的切线；
(2)求证：BC2=4CF·AC；
(3)若⊙O的半径为4，∠CDF=15°，求阴影部分的面积．

【解析】(1)如图所示，连接OD，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，而OB=OD，∴∠ODB=∠ABC=∠C，
∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C=90°，∴∠CDF+∠ODB=90°，
∴∠ODF=90°，∴直线DF是⊙O的切线．
(2)连接AD，则AD⊥BC，则AB=AC，
则DB=DC=，
∵∠CDF+∠C=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠CDF=∠DCA，
而∠DFC=∠ADC=90°，∴△CFD∽△CDA，
∴CD2=CF·AC，即BC2=4CF·AC．
(3)连接OE，
∵∠CDF=15°，∠C=75°，∴∠OAE=30°=∠OEA，
∴∠AOE=120°，
S△OAE=AE·OE·sin∠OEA=×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA=，
S阴影部分=S扇形OAE-S△OAE=×π×42-=-．
24. (黑龙江省牡丹江市2018届中考牡丹江管理局北斗星协会一模考试数学试题)每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将△OAB先向右平移5个单位，再向上平移3个单位，得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1并直接写出点B1的坐标；
(2)将△OAB绕原点O顺时针旋转90º，得到△OA2B2，请画出△OA2B2，并求出点A旋转到A2时线段OA扫过的面积．

【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)．

的坐标为：(9，7)，
(2)如图所示:

∴S = ．
25.(浙江省湖州市九校2018届九年级四月联合模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
(1)求证：∠BDC=∠A;
(2)若CE=2，DE=2，求AD的长，
(3)在(2)的条件下，求弧BD的长。

【答案】(1)证明见解析；(2)4 (3)

试题解析： 证明：连接,

∵是切线，
∴，
即
∵为的直径，

即














在直角 中,



是等边三角形,则
则的长是
26. (安徽省2018届初中毕业班 第4次十校联考)如图，⊙O的直径AD长为6，AB是弦，∠A=30°，CD∥AB，且CD=．

(1)求∠C的度数；
(2)求证：BC是⊙O的切线；
(3)求阴影部分面积．
【答案】(1)∠C=60°；(2)证明见解析；(3)S阴影= 3π-．
【解析】试题分析：(1)连接BD，由AD为圆的直径，得到∠ABD为直角，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，根据CD与AB平行，得到一对内错角相等，确定出∠CDB为直角，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出tanC的值，即可确定出∠C的度数；
试题解析：(1)如图，连接BD，

∵AD为圆O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴BD=AD=3，
∵CD∥AB，∠ABD=90°，
∴∠CDB=∠ABD=90°，
在Rt△CDB中，tanC===，
∴∠C=60°；
(2)证明：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠A=30°，
∵CD∥AB，∠C=60°，
∴∠ABC=180°-∠C=120°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=120°-30°=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC为圆O的切线；
(3)解：过点O作OE⊥AB，则有OE=OA=，
∵AB===3，
∴S△OAB=AB•OE=×3×=，
∵∠AOB=180°-2∠A=120°，
∴S扇形OAB==3π，
则S阴影=S扇形OAB-S△AOB=3π-．