2021-2022学年四川省成都市郫都区八年级（下）期中数学试卷-（含解析）

2021-2022学年四川省成都市郫都区八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共32分）

1. 如图，由黑白棋子摆成的图案为中心对称的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 分式有意义的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若图示的两架天平都保持平衡，则对、、三种物体的重量判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如果，那么下列结论不一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 下列多项式不能因式分解的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一次函数中，当函数值时，自变量的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

二．填空题（本题共10小题，共40分）

9. 因式分解：______．
10. 根据分式的基本性质填空：，括号内应填______．
11. 在平面直角坐标系内，已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到点，则点的坐标为______．
12. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形把余下的部分剪拼成一个矩形，从左到右，通过计算阴影部分的面积，验证了一个因式分解的公式，用已知的符号写出这个公式：______．

13. 如图，，将直角沿着射线方向平移，得，若，，则阴影部分的周长为______．

14. 如果，那么的值为______．
15. 已知点在第四象限，为整数，则点的坐标是______．
16. 函数可用表示，例如，当时、，若函数则的值为______．
17. 如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形减去一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多的这个值是______．

18. 如图，已知线段，为的中点，是平面内的一个动点，在运动过程中保持不变，连接，将绕点逆时针旋转到，连接、，则线段长的取值范围是______．

三．解答题（本题共8小题，共78分）

19. 解不等式：；
    解不等式组：．
20. 因式分解：
    ；
    ．
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，过点在第二象限内作，且．
    
    如图，求线段的长度；
    设直线的解析式为，直接写出关于的不等式的解集；
    如图，将向右平移得到，点的对应点始终在轴上，当点的对应点落在直线上，求的坐标．
23. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．
    将向右平移个单位，再向下平移个单位得到，画出，并写出的坐标；
    将绕原点逆时针旋转，得到，画出，并写出的坐标；
    若存在点在轴上，使得的值最小，求点的坐标及的最小值．

24. 某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读．已知购买本类书和本类书共需元；购买本类书和本类书共需元．
    求，两类书的单价；
    学校准备购买，两类书共本，且类书的数量不高于类书的数量，购买书籍的花费不得高于元，则该学校有哪几种购买方案？
25. 阅读材料：
    ，上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
    根据以上材料，解答下列问题：
    因式分解：；
    求多项式的最小值；
    已知、、是的三边长，且满足，求的周长．
26. 如图，中，，，点是斜边所在直线上一点不与点重合，连接．
    
    如图，当点在线段上时，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接直接写出与的位置关系与数量关系；
    如图，当点在线段上且时，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、求证：；
    如图，当点在线段延长线上时，试探究、、三者之间的数量关系．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B，，均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了不等式的性质，找出不等关系是解决本题的关键．
根据天平所放的质量相等列出等式将三者的质量联系起来，然后将进行比较．
【解答】
解：由图一可知：，；
由图二可知：，．
故．
即，
故选A．  

4.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，原变形正确，故此选项不符合题意；
B.，
，原变形正确，故此选项不符合题意；
C.，
，原变形正确，故此选项不符合题意；
D.，不妨设，，则，原变形不一定正确，故此选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质逐一判断即可．
本题考查不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向变．
 

6.【答案】 

【解析】解：其中一个图形经过位似变换得到另一图形，不合题意；
B.其中一个图形经过平移变换得到另一图形，符合题意；
C.其中一个图形经过旋转变换得到另一图形，不合题意；
D.其中一个图形经过轴对称变换得到另一图形，不合题意；
故选：．
根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一判断，即可选出正确答案．
本题考查了几何变换的类型以及平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，无法分解因式，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而判断得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：一次函数，
当时，，随的增大而减小，
当函数值时，自变量的取值范围为，
故选：．
根据一次函数一次函数中、，可以得到当时，，随的增大而减小，从而可以写出当函数值时，自变量的取值范围．
本题考查一次函数的性质、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：，
即括号内应填，
故答案为：．
先把分式的分子分解因式，再根据分式的基本性质进行计算，最后得出答案即可．
本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，点，
故答案为：．

正确作出图形利用图象法解决问题．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为，拼成的长方形的长为，宽为，面积为，所以得出．
故答案为：．
观察图形可得：第一个图形中，阴影部分是两个正方形的差，第二个图形是长方形，长是原来两个正方形边长之和，宽是两个正方形边长之差，两个图形中阴影部分面积相等．
本题考查平方差公式的几何背景，解题关键是利用几何图形理解因式分解中的平方差公式．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
，
阴影部分的周长．
故答案为：．
利用勾股定理求出，再利用平移变换的性质，可得结论．
本题考查平移的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
14.【答案】 

【解析】解：原式可化为，
，
解得，
．
故答案为：．
将原式展开，根据对应项系数相等列式即可求出、的值，即可求解．
本题考查了因式分解与多项式的乘法是互为逆运算的性质，掌握因式分解十字相乘法，是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
，
解的：，
为整数，
，
当时，，，
点的坐标是，
故答案为：．
根据点的坐标得出不等式组，求出不等式组的解集，再求出整数，最后求出答案即可．
本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的整数解和解一元一次不等式组，能根据题意得出关于的不等式组是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
．
对于函数，，则．
故答案为：．
根据题意，求出分段函数，在将自变量的值代入求对应的函数值．
本题主要考查求分段函数的函数值，熟练掌握求自变量对应的函数的值的求法是解决本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意得：
“丰收号”的单位面积产量为：，
“丰收号”的单位面积产量为：，




，


，
即高的单位面积产量比低的单位面积产量多，
故答案为：．
先用含的式子表示出两块试验田的面积，再由高产量的减去低产量，从而可求解．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意列出正确的式子求解．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图所示：过点作轴，垂足为，过点作，垂足为，延长交轴于点．

，为的中点，
，．
设点的坐标为，则．
，，
．
由旋转的性质可知：．
在和中，
≌．
，．
．
，为的中点，
．
，
．
，
．
故答案为：．
以为坐标原点建立坐标系，过点作轴，垂足为，过点作，垂足为，延长交轴于点，设点的坐标为，则然后证明≌，由全等三角形的性质得到，，从而得到点，最后依据两点间的距离公式可求得的范围．
本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，两点间的距离公式的应用，列出的长度与点的坐标之间的关系式是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】利用完全平方公式分解因式即可；
先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
本题考查分式的混合运算及二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
 

22.【答案】解：由可知，当时，，即点，当时，，即点，
，，
在中，．
．
故答案为：．
如图，根据图象找出直线：在直线：的上方的图象对应的的值的范围即可求出；
直线与直线的交点事点，
的解集为：，
故答案为：．


如图：过点作轴于，
，
，．
，
，，
≌．
，，
，
点的坐标为．
设点向右平移个单位得到点，即点的坐标为，
点在直线上，则将代入，得，
点的坐标为，
 故答案为：． 

【解析】由直线的解析式求出点，的坐标，再利用勾股定理求出线段的长度．利用图象可得出不等式的解集．
先过点作轴，构造全等三角形求出点的坐标，通过平移性质表示出点的坐标，再将点的坐标代入直线的解析式中即可求出的坐标．
本题主要考查一次函数与轴，轴的交点，一次函数与一次不等式的关系及用坐标表示平移的性质．
 

23.【答案】解：如图，即为所求，的坐标；
如图，即为所求，的坐标；
如图，连接交轴于点，此时的值最小，
，
，
的最小值为．
 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时的值最小，求出直线的直线的解析式，可得点坐标，再利用两点间距离公式求出的最小值．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：设类书的单价为元，类书的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：类书的单价为元，类书的单价为元．
设购买类书本，则购买类书本，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以为，，，
该学校共有种购买方案，
方案：购买类书本，类书本；
方案：购买类书本，类书本；
方案：购买类书本，类书本． 

【解析】设类书的单价为元，类书的单价为元，根据“购买本类书和本类书共需元；购买本类书和本类书共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，两类书的单价；
设购买类书本，则购买类书本，根据“购买类书的数量不高于类书的数量，购买书籍的花费不得高于元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

25.【答案】解：原式


．
原式
，
，
当时，原式最小为．
，
，
，
，，，
，，，
周长． 

【解析】先配方后利用平方差公式进行因式分解．
配方后根据平方非负性求最小值．
配方后根据非负性求出，，的值．
本题考查配方法的应用，解题关键是熟知配方法并能熟练利用配方法进行求解．
 

26.【答案】解：，
，
，
，
即：，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
证明：设和相交于点，
由得：，
，
，，
，
，
，
，
，
；
解：如图，

由得：，，
，
，，
，
，
． 

【解析】证明≌，进一步得出结论；
根据得出≌，进而，，进一步得出结果；
同理得出，，，可证得，进一步得出结论．
本题考查了等腰三角形性质，旋转性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是类比得出结论．