2021-2022学年四川省成都市锦江区盐道街中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省成都市锦江区盐道街中学八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 如果，那么下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列式子从左边到右边是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列式子中是分式的是(    )
   ；；；

A.  B.  C.  D.

5. 下列等式不成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

7. 如图，已知是等边三角形，边长为，将绕点逆时针旋转后点的对应点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 某种商品的进价为元，出售标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打(    )

1. 折 B. 折 C. 折 D. 折

二．填空题（本题共9小题，共36分）

11. 分解因式：______．
12. 如图，点、分别在轴和轴上，，，若将线段平移至，则的值为______ ．

13. 已知，则的取值范围是______．
14. 已知，，是的三边，，则的形状是______．
15. 已知，则分式的值为______．
16. 已知方程，则的值为______．
17. 关于的不等式组恰有两个整数解，且的值为正整数，则整数的值为______．
18. 如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是______．

19. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移个单位，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫作图形的变换，如图，等边的边长为，点在第一象限，点与原点重合，点在轴的正半轴上，就是经过变换后所得的图形，若经变换后得，经变换后得，经变换后得，依此类推，经变换后得，则点的坐标是______ ，点的坐标是______ ．

三．解答题（本题共9小题，共84分）

20. 分解因式：；
    解分式方程：．
21. 解不等式组并在数轴上表示解集．

22. 化简分式，并从中选一个你喜欢的整数代入求值．
23. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的三个顶点都在格点上每个小方格的顶点叫格点．
    画出先向下平移个单位，再向右平移个单位后的图形，并写出的坐标；
    画出绕点顺时针旋转后的，并写出的坐标；
    写出中点到点所经过的路径长．

24. 在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买、两种防疫物品．如果购买种物品件，种物品件，共需元；如果购买种物品件，种物品件，共需元．
    求、两种防疫物品每件各多少元；
    现要购买、两种防疫物品共件，总费用不超过元，那么种防疫物品最多购买多少件？
25. 如图，在等边三角形内有一点，且，，，冰墩墩同学作了如图的辅助线，将绕点按逆时针方向旋转、如图所示，连接，请你按照冰墩墩的方法求出的度数．
    如图，在正方形内有一点，且，，，类比第题的方法．
    求的度数；
    与的面积之和．
    如图，在的基础上请求出正方形的面积．
     

26. 某汽车销售公司经销某品牌，两款汽车，今年一、二月份销售情况如下表所示：两款汽车的销售单价保持不变

求，两款汽车每辆售价分别多少万元？
若款汽车每辆进价为万元，款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两款汽车共辆，有几种进货方案？
为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使中所有的方案获利相同，请确定的取值，并说明理由．

27. 如图，已知和均为等腰直角三角形，，点为的中点，过点与平行的直线交射线于点．
    当，，三点在同一直线上时如图，求证：为的中点；
    将图中的绕点旋转，当，，三点在同一直线上时如图，求证：为等腰直角三角形；
    将图中绕点旋转到图位置时，中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
     

28. 如图，一次函数的图象与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，且的面积为．
    求点的坐标及直线的表达式；
    设直线与轴的交点为，若点是直线上第二象限内的一点，且，求点的坐标；
    过原点的直线与直线交于点，与直线交于点，在，，三点中，当其中一点是另外两点所连线段的中点时，求点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
，故本选项不符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

2.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.原式不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C.原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D.原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
 

4.【答案】 

【解析】解：；是分式，
故选：．
一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
本题考查分式的定义，解题的关键是熟练运用分式的定义，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原变形正确，故此选项不符合题意；
B、原变形正确，故此选项不符合题意；
C、必须规定，原变形错误，故此选项符合题意；
D、原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：．
直接利用分式的基本性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了分式的基本性质，能够正确化简分式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：当等腰三角形的腰为，底为时，不能构成三角形；
当等腰三角形的腰为，底为时，周长为．
故这个等腰三角形的周长是．
故选：．
由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：当等腰三角形的腰为；当等腰三角形的腰为；两种情况讨论，从而得到其周长．
本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作于点，过点作轴于点．

是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
故选：．
过点作于点点作轴于点求出点的坐标，再利用全等三角形的性质求解．
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点．

平分，，，
，
，
故选：．
过点作于点利用角平分线的性质定理证明，再利用三角形面积公式求解．
本题考查作图基本作图，三角形的面积，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数的图象过点，
，
，
，
当时，，
所以不等式的解集为．
故选：．
利用函数求得的坐标，然后根据图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

10.【答案】 

【解析】解：设可打折，利润率不低于，
根据题意得：，
，
则最多打折．
故选：．
设可以打折，根据利润不低于，即可列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是根据最低利润列出不等式．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据平方差公式分解因式即可．
本题考查了因式分解运用公式法，掌握是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由作图可知，线段向右平移个单位，再向下平移个单位得到线段，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
由作图可知，线段向右平移个单位，再向下平移个单位得到线段，求出，的坐标可得结论．
本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

13.【答案】且 

【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

14.【答案】等腰三角形 

【解析】解：可变为，
，
因为，，为的三条边长，
所以，的关系要么是，要么，
当时，，，不合题意；
当时，，，不合题意．
那么只有一种可能．
所以此三角形是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
把给出的式子重新组合，分解因式，分析得出，才能说明这个三角形是等腰三角形．
此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，分类讨论思想的应用是解题关键．
15.【答案】 

【解析】解：已知等式整理得，
则原式．
故答案为：．
将已知等式变形，整理后代入原式计算即可得到结果．
此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
则原方程变为，
解得：，，
，
．
故答案为：．
设，把原方程变为，求得方程的解即可．
此题考查换元法解一元二次方程，渗透整体思想，注意非负数的性质．
 

17.【答案】 

【解析】解：不等式组的解集为：，
关于的不等式组恰有两个整数解，
．
整数的值为，
当时，的值为正整数，
整数的值为．
故答案为：．
解不等式组求得解集，从而确定的值，代入分式验证即可．
本题主要考查了分式的值，一元一次不等式组的整数解，准确求得不等式组的解集是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，
由平移性质得：，，
四边形为平行四边形，
，
，
作关于直线的对称点，连接，，交延长线于，
由对称性得：，，，
，
，，
，
，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
先由平移性质证明四边形为平行四边形，从而得，进而使得，再作关于直线的对称点，由对称性得，再由，求出，，由勾股定理求出即可．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、最短路径问题、勾股定理，解决此题的关键是证明四边形为平行四边形、再作关于直线的对称点，将的最小值转化为．
 

19.【答案】   

【解析】解：根据图形的变换的定义可知：
对图形变换，就是先进行向右平移个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．
经变换后得，坐标
经变换后得，坐标
经变换后得，坐标
经变换后得，坐标
经变换后得，坐标
依此类推
可以发现规律：纵坐标为：，
当是奇数，横坐标为：，
当是偶数，横坐标为：，
时，是奇数，横坐标是，纵坐标为，
故答案为：，
分析图形的变换的定义可知：对图形变换，就是先进行向右平移个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．向右平移个单位变换就是横坐标加，纵坐标不变，关于原点作中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数．写出几次变换后的坐标可以发现其中规律．
本题是规律探究题，又是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的变换的定义后运用，关键是能发现连续变换后出现的规律，该题难点在于点的横纵坐标各自存在不同的规律，需要分别来研究．
 

20.【答案】解：

；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意解分式方程必须检验．
 

21.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：原式

，
由于当，或时，分式的分母为，
故取的值时，不可取，或，当时，原式． 

【解析】先算括号里面的，再算除法，选出合适的的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想即转化、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
 

23.【答案】解：如图，即为所求，的坐标；
画出绕点顺时针旋转后的，的坐标；
，
点到点所经过的路径长
 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用弧长公式求解．
本题考查作图平移变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：设种防疫物品每件元，种防疫物品每件元，
依题意，得：，
解得：．
答：种防疫物品每件元，种防疫物品每件元．
设购买种防疫物品件，则购买种防疫物品件，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：种防疫物品最多购买件． 

【解析】设种防疫物品每件元，种防疫物品每件元，根据“如果购买种物品件，种物品件，共需元；如果购买种物品件，种物品件，共需元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买种防疫物品件，则购买种防疫物品件，根据总价单价购买数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：是等边三角形，
，
将绕点顺时针旋转得出，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，则是直角三角形；
；

如图，将绕点逆时针旋转得到，
与类似：可得：，，，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
；

由知，，，，≌，
，
与的面积之和为


；

由知，，，
过点作，交的延长线于点；
，
，
；
在中，由勾股定理，得；
正方形的面积为． 

【解析】将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形如图，连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形由勾股定理的逆定理可证，所以，而；
求出，根据勾股定理的逆定理求出，推出；
由知，，，，≌，即可求出答案．
过点作，交的延长线于点，求出，，关键勾股定理即可求出，即可求出答案．
本题主要考查勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．
 

26.【答案】解：设，两款汽车每辆售价分别万元和万元；
由题意：，解得，
答：，两款汽车每辆售价分别万元和万元；

设购进款汽车辆，购进资金，则：
．
当时，则，解得；
当时，则，解得；
，随的增大而增大，
时，，
的正整数解为，，．
共有种进货方案；

设总获利为万元，购进款汽车辆，则：
．
当时，中所有方案获利相同． 

【解析】本题考查二元一次方程组方程和一次函数的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设，两款汽车每辆售价分别万元和万元，构建方程组即可解决问题；
先根据购进资金款汽车总价款汽车总价列出一次函数解析式，再利用一次函数的性质得到答案．
方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数的系数为即可；
 

27.【答案】证明：如图，
，
，．
点为的中点，
．
在和中，
，
≌，
，
为的中点；

证明：如图，
和均为等腰直角三角形，
，，．
，
．
，
．
．
，，三点在同一直线上，
．
．
≌已证，
．
，
．
在和中，
，
≌．
，．
．
为等腰直角三角形；

仍为等腰直角三角形．
证明：如图，延长交于点，
，为中点，
易得≌，
．
，
．
，
，
在四边形中，
，
，
，
，
在和中，
，
≌．
，．
．
为等腰直角三角形． 

【解析】由和点为的中点可以证到≌，从而证到为的中点．
易证，，从而可以证到≌，进而可以证到，，则有为等腰直角三角形．
延长交于点，易得≌，根据四边形内角和，可得，从而可以证到≌，进而可以证到，，则有为等腰直角三角形．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题．
 

28.【答案】解：一次函数与坐标轴交于，两点，
故点、的坐标分别为、，
，
的面积，
解得或不合题意，舍去，
设点的坐标为，
将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，
，
则，
解得负值不合题意，舍去，
故点的坐标为，
设的表达式为，则，
解得，
故直线的表达式为；

过点作交于点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，

，，
令，解得，
设直线交轴于点，
，
，
为等腰直角三角形，则，，
，，
，
，，
≌，
，，
故点的坐标为，
设的表达式为，则，
解得，
直线的表达式为，
联立和并解得，
故点的坐标为；

设点的坐标为，
则的表达式为，
联立上式与并解得，
即点的横坐标为，
当点是中点时，
则点、的横坐标互为相反数，
即，
解得舍去或，
故点的坐标为，
当点是中点时，
同理可得：，
解得舍去或，
故点的坐标为；
当点是中点时，
同理可得，点，
综上，当点是中点时，点的坐标为；当点是中点时，点的坐标为；当点是中点时点的坐标为 

【解析】求出，两点的坐标，由的面积，求出，由，进而求解；
过点作交于点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，证明≌，得到点的坐标为，求出的解析式，进而求解；
分点是中点、点是中点、点是中点三种情况，利用一次函数的性质和中点坐标公式，即可求出点的坐标．
本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质、三角形的面积、等腰直角三角形的性质、勾股定理、两直线的交点、中点坐标公式等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．