2021-2022学年四川省成都市金牛中学等五校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省成都市金牛中学等五校联考八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共32分）

1. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A. 戴口罩讲卫生 B. 勤洗手勤通风
C. 有症状早就医 D. 少出门少聚集

2. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下面给出了个式子：，，，，，其中不等式有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为(    )

A.  B.  C. 或 D.

5. 不等式组的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 下列分解因式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，沿直线边所在的直线向下平移得到，下列结论中不一定正确的(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点下面有四个结论：；  ；  当时，；当时，其中正确的是(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共7小题，共28分）

9. 语句“的倍与的和不大于”可以表示为______．
10. 不等式的解集为______．
11. 已知，，则______．
12. 如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为______．

13. 如图，在等腰中，，按以下步骤作图：
    分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作圆，相交于点和点；作直线交于点若，则______．

14. 已知，，为三边的长，当时，则的形状是______．
15. 若关于的不等式组无解，则的取值范围为______．
16. 多项式的最大值为______．
17. 如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为______．

18. 如图，是边长为的等边三角形：如图，取的中点，画等边三角形，连接；如图，取的中点；画等边三角形，连接；如图，取的中点画等边三角形，连接则的长为______若按照这种规律一直画下去，则的长为______用含的式子表示．
     

三．解答题（本题共8小题，共78分）

19. 解不等式与不等式组
    解不等式：；
    解不等式组：，并将解集表示在数轴上．
20. 因式分解：
    ；
    ；
    ．
21. 如图：在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
    画出向下平移个单位的图形；
    画出将绕原点逆时针方向旋转后的图形；
    求的面积．

22. 如图，直线与、轴分别交于点、，直与、轴分别交于点、，两直线交于点．
    求，的值；
    求四边形的面积；
    当时，根据图象，直接写出的取值范围．

23. 已知，如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
    在图中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
    如图，当绕点旋转到图位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？

24. 某蔬菜店计划购进蔬菜，第一次用每千克元的价钱购进一批蔬菜，第二次由于蔬菜批发市场促销，进货价每千克少了元，两次共计花费元．
    第一次购进的蔬菜是多少千克？
    蔬菜店在销售中，如果两次售价均相同，第一次购进的蔬菜有的损耗，第二次购进的蔬菜有的损耗，若该蔬菜店售完这些蔬菜获利不低于元，则该蔬菜每千克售价至少为多少元？
25. 由整式的果法运算灿由于我们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．
    通过观察可如可把中的着作是未知数．、、、在作常数的二次三项式：通过观察可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图，此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解，如图，则．
    根据阅读材料解决下列问题：
    用十字相乘法因式分解：；
    用十字相乘法因式分解：；
    结合本题知识，因式分解：．

26. 如图所示，腰长为的等腰的腰与坐标轴重合，直线与交于点．
    求点的坐标；
    如图，将直线沿轴正方向平移个单位长度得到直线其中、分别为新直线与轴、轴的交点，连接、，求的面积；
    如图，在第问的条件下，将沿轴平移得到，连接、，当为等腰三角形时，直接写出的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】
解：、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以为不等式，共有个．
故选B．
主要依据不等式的定义-----用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：、、、、．
 

4.【答案】 

【解析】解：当为腰时，三边为，，，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当为腰时，三边为，，，符合三角形三边关系定理，周长为：．
故选：．
根据和可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据，，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
 

5.【答案】 

【解析】解：
由得：；
由得：，
不等式组的解集为，
表示在数轴上，如图所示：

故选：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了在数轴上表示不等式组的解集，以及解一元一次不等式组，求出不等式组的解集是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、右边不是整式积的形式，故本选项错误；
D、应为，故本选项错误．
故选：．
根据提公因式法分解因式，公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

7.【答案】 

【解析】解：沿直线边所在的直线向下平移得到，
，≌，
，，
，
故选：．
根据平移的性质逐一判断即可．
本题考查了平移的性质，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
【解答】
解：因为正比例函数经过二、四象限，所以，正确；
一次函数经过一、二、三象限，所以，错误；
由图象可得：当时，，错误；
当时，，正确；
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
故答案为：．
首先表示的倍与的差为，再表示“不大于”，即可得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于小于、不超过不低于、是正数负数”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
则，
解得：．
故答案为：．
直接利用一元一次不等式的解法进而分析得出答案．
此题主要考查了解一元一次不等式，正确掌握解题方法是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
原式，
故答案为：．
原式提取公因式，把各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了因式分解的应用利用因式分解解决求值问题．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
由翻折可得，
，
，
∽，
，
，
，
．
故答案为：
由对顶角相等可得，由两角对应相等可得∽，那么的度数，则．
本题考查了翻折变换问题，得到所求角与所给角的度数的关系是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，交于点，如图，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，为等腰直角三角形，
．
故答案为：．
由作法得垂直平分，交于点，如图，则，，再利用等腰直角三角形的性质得到，，所以，为等腰直角三角形，从而得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
 

14.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

15.【答案】解：原式；
原式；
原式

． 

【解析】利用提公因式法分解；
利用平方差公式分解；
先重新分组，再套用完全平方公式，最后利用平方差公式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
 

16.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；

的面积为． 

【解析】利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
根据关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了作图旋转变换：记住关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键．也考查了平移变换．
 

17.【答案】解：把点代入得，，
点，
把代入得，，
；
在中，令，解得，
，
在中，令得，令得，
，，
四边形的面积；
由图象知，当时，的取值范围为． 

【解析】把点代入求得，把代入求得；
解方程得到，，，于是得到结论；
根据函数的图象即可得到结论．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
 

18.【答案】证明：如图中，

由旋转可得，，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．

解：结论：，
理由：如图中，把绕点逆时针旋转到，交于点，

同可证得≌，
，且，
． 

【解析】利用旋转的性质，证明≌即可；
把绕点逆时针旋转到，交于点，证明≌即可求得．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形．
 

19.【答案】等边三角形 

【解析】解：，
，
，即，
，，
，，
，
是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
首先分组因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是对原式正确的因式分解．
 

20.【答案】 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
因为不等式组无解，
，
解得，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：

，
故当时，多项式有最大值，最大值为．
故答案为：．
应用完全平方公式，判断出当取何值时，多项式有最大值，最大值是多少即可．
此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，

，，
，
是等边三角形，，
，，，
，
将绕点顺时针方向旋转得到，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
当有最小值时，有最小值，
由垂线段最短可得：当时，有最小值，
此时，，，，
四边形是矩形，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可得：当时，有最小值，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线，证明≌是解题的关键．
 

23.【答案】  

【解析】解：如图，
过点作于点，
是边长为的等边三角形，是的中点，
．
是等边三角形，
，，
，
，
，
同理可得，，．
．
故答案为：，．
过点作于点，根据含度角的直角三角形得出的长，进而得出的长，同理可得出和的长，找出规律即可得出结论．
本题考查的是等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，求出的长，找出规律是解答此题的关键．
 

24.【答案】解：设第一次购进蔬菜千克，则第二次购进蔬菜千克，
依题意得：，
解得：．
答：第一次购进的蔬菜是千克．
设该蔬菜每千克售价为元，
依题意得：，
解得：．
答：该蔬菜每千克售价至少为元． 

【解析】设第一次购进蔬菜千克，则第二次购进蔬菜千克，利用总进价进货单价进货数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设该蔬菜每千克售价为元，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合该蔬菜店售完这些蔬菜获利不低于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：；
；




． 

【解析】利用十字相乘法进行求解即可；
利用十字相乘法进行求解即可；
利用十字相乘法进行求解即可；
本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
 

26.【答案】解：是等腰三角形，腰长为，
，即点，点，
设直线的解析式为：，代入点，得，
，解得，
直线的表达式为：，
联立，得，
点坐标；
沿轴正方向平移个单位，
点，
设直线的解析式为：，把代入得，
直线的解析式为：，
令，得，则点，
；
将沿轴平移得到，
，，，
设，连接，则，，
则，，
当时，即，解得：，即；
当时，即，解得：，舍去，即；
当时，即，解得：，，即；
综上所述点坐标为：，，． 

【解析】先利用待定系数法，得到直线的解析式，联立方程组，可求解；
先求出直线的解析式，再求出，最后利用，可求解；
设，连接，分别用表示出、的长，再分类列出方程，可求解，
本题主要考查一次函数与几何的综合，掌握等腰三角形的性质、待定系数法、勾股定理是解题的关键．