2021-2022学年四川省成都市双流实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省成都市双流实验中学八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 下列图标中，是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

2. 若分式有意义，则满足的条件是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是

A.  B.
C.  D.

4. 如果不等式的解集是，那么的取值范围是

A.  B.  C.  D.

5. 把函数的图象向上平移个单位，则下列各坐标所表示的点中，在平移后的直线上的是

A.  B.  C.  D.

6. 若等腰三角形有两条边的长度为和，则此等腰三角形的周长为

A.  B.  C. 或 D.

7. 如图，以点为中心，把逆时针旋转，得到点、的对应点分别为点、，连接，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴交于点，若正比例函数为常数，且的图象与一次函数的图象相交于点，且点的横坐标为，则关于的不等式的解集为

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共10小题，共40分）

9. 已知，，则______．
10. 计算的结果是______ ．
11. 当______时，分式的值等于零．
12. 一个等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______ 度．
13. 如图，在等腰中，，按以下步骤作图：
    分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作圆，相交于点和点；作直线交于点若，则______．

14. 已知，，则的值为______．
15. 已知，，则 ______ ．
16. 若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______．
17. 如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为______度．
     

18. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，点为线段中点，点是线段上的动点，将绕点按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点，则线段的最大值是______，最小值是______．

三．解答题（本题共8小题，共84分）

19. 计算：
    分解因式：
    ．
    ；
    解不等式组．
20. 先化简，再求代数式的值，且为满足的整数．
21. 若关于，的二元一次方程组的解满足且，求的取值范围．
22. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长个单位长度的正方形．
    将沿轴方向向左平移个单位，画出平移后得到的；
    将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的；直接写出点的坐标；
    作出关于原点成中心对称的，并直接写出的坐标．

23. 已知：如图，在中，，为边的垂直平分线，以为边作等边三角形，与在直线的异侧，直线交的延长线于点，连接交于点．
    求证：．
    求的度数．
    猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．

24. 某校服生产厂家计划在年底推出两款新校服和共套，预计前期投入资金不少于元，但不超过元，且所投入资金全部用于两种校服的研制，其成本和售价如表：

该厂家有几种生产新校服的方案可供选择？
该厂家要想获得最大的利润，最大利润为多少？
经市场调查，年底前每套款校服售价不会改变，而每套款校服的售价将会提高元，且所生产的两种校服都可以售完，该厂家又该如何安排生产校服才能获得最大利润呢？

25. 阅读材料：我们已经学习了二次根式和乘法公式，可以发现；当，时，有，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
    当时，的最小值为______；当时，的最大值为______．
    当时，求的最小值．
    如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为和，求四边形面积的最小值．
26. 一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，以为边在第二象限内作等边．
    求点的坐标；
    在第二象限内有一点，使，求点的坐标；
    将沿着直线翻折，点落在点处；再将绕点顺时针方向旋转，点落在点处，过点作轴于求的面积．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】

【解析】解：分式有意义，
，
，
故选：．
直接利用分式有意义的条件得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，因此选项A符合题意；
B.，因此选项B不符合题意；
C.，因此选项C不符合题意；
D.，而，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据完全平方公式的结构特征进行判断即可．
本题考查利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：不等式的解集是，
，
故选：．
根据不等式的解集中不等号的方向不变进而得出的取值范围．
此题主要考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出的符号是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：由“上加下减”的原则可知，把函数的图象向上平移个单位所得直线的解析式为：，
当时，，
所以在平移后的直线上的是，
故选：．
直接根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，然后把代入求得函数值即可判断．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：当为底时，其它两边都为，
，
不能构成三角形，故舍去，
当为腰时，
其它两边为和，
、、可以构成三角形，
周长为．
故选B．
因为已知长度为和两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：逆时针旋转，得到，
，，
，
，
，
，
故选：．
由逆时针旋转，得到，可得，，即得，而，得，从而．
本题考查三角形中的旋转变换，涉及平行线的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
 

8.【答案】

【解析】解：当时，，
所以关于的不等式的解集为．
故选：．
写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

9.【答案】

【解析】解：，，
原式，
故答案为：．
原式提取公因式，把各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了因式分解的应用利用因式分解解决求值问题．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
根据同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案．
本题考查的是分式的加减法，熟知分式的加减法则是解答此题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查的是对分式的值为 的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为 这个条件．
分式的值为 的条件是： 分子 ； 分母 两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】
解： ，
， ，
．
故答案为 ．   

12.【答案】

【解析】解：因为其底角为，所以其顶角．
故填．
已知给出了一个底角为，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为即可解本题．
此题主要考查了学生的三角形的内角和定理：三角形的内角和为利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．
 

13.【答案】

【解析】解：由作法得垂直平分，交于点，如图，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，为等腰直角三角形，
．
故答案为：．
由作法得垂直平分，交于点，如图，则，，再利用等腰直角三角形的性质得到，，所以，为等腰直角三角形，从而得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
14.【答案】

【解析】解：
，
当，时，原式．
故答案为．
首先提取公因式，然后利用完全平方差公式分解因式，最后利用整体代值的思想即可解决问题．
本题主要考查了因式分解的应用，也利用了整体代值的思想解决问题．
 

15.【答案】

【解析】解：，，



．
故答案为：．
直接利用完全平方公式以及分母有理化，分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确分母有理化是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组只有个整数解，
，
解得，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：分别连接，，如图所示，
，为的平分线，
．
又，
．
是的垂直平分线，
；
．
．
是的垂直平分线，为的平分线，
点是的外心，
；
；
将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，
．
；
在中，
，
故答案为：．
如图，作辅助线，首先求出；进而求出；求出问题即可解决．
该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，为垂足，

在中，
，，
，
设，
在中，
，，，
，
，
，
解得，
，，，
当在上运动，与垂直的时候，绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小，如图：

此时最小值为：．
当在上运动至点，绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大，如图：

此时最大值为：，
故答案为：，．
过点作，为垂足，当在上运动，与垂直的时候，绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小．当在上运动至点，绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大，分别求出最大值，最小值即可．
本题考查旋转变换，解直角三角形，最短问题等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：

；
；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．

【解析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
利用平方差公式，继续分解即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式
．
且为整数，
故或，
又，即，
，
原式．

【解析】先算括号里的分式减法，再将除法转化为乘法计算，最后代入合适的求值即可．
本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则．
 

21.【答案】解：解方程组得，
，
，
解得．

【解析】解方程组得出，根据知，解之即可．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式，正确求出方程组的解，并结合条件得出关于的不等式是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，点的坐标为；
如图，为所作，点的坐标为．
 

【解析】利用点平移的坐标变换规律得到、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点即可；
利用关于原点对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

23.【答案】证明：为边的垂直平分线，
，
为等边三角形，
，
，
；
解：，
，
，
直线垂直平分，
，
，
，
即，
，
，
，
，
等边三角形中，，
．
解：，
证明：在上截取，使，连接，如图，

，，
，
，
等边三角形中，，
，
，
是等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，
．

【解析】由等边三角形的性质及等腰三角形的性质可得出答案；
证出，由等边三角形的性质可得出答案；
在上截取，使，连接，求出，根据等边三角形的性质得出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，求出，，求出，根据推出≌，根据全等得出，求出，即可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

24.【答案】解：设生产校服套，则生产校服套，根据题意得：
，
解得：，
为整数，
只能取、、，
厂家共有三种方案可供选择，分别是：
方案一、生产校服套，生产校服套；
方案二、生产校服套，生产校服套；
方案三、生产校服套，生产校服套；
答：厂家共有三种方案可供选择，分别是：方案一、生产校服套，生产校服套；方案二、生产校服套，生产校服套；方案三、生产校服套，生产校服套；
设总利润为，则，
，
随的增大而减小，
当取最小值时，最大，
当取时，取得最大值为元，
答：该厂家采用生产方案一可以获得最大的利润，最大利润为元；
总利润，
分为三种情况：当时，安排生产校服套，可获得最大利润，
当时，生产利润总是定值元，
当时，安排生产校服套，可获得最大利润．
答：当时，安排生产校服套，可获得最大利润，当时，怎么安排生产利润总是定值元，当时，安排生产校服套，可获得最大利润．

【解析】设生产校服套，则生产校服套，根据题意得出不等式组，求出不等式组的整数解，即可得出答案；
根据得出随的增大而减小，推出当取最小值时，最大，把代入求出即可；
设总利润为，根据题意得出总利润，分为三种情况：当时，安排生产校服套，可获得最大利润，当时，怎么安排生产利润总是定值元，当时，安排生产校服套，可获得最大利润．
本题考查了一次函数的应用，关键是能根据题意得出函数式，主要考查学生分析问题和解决问题的能力和转化思想．
 

25.【答案】 

【解析】解：当时，，
，
当时，，
时，，
，
，
即，
故答案为：；；
当时，
，
的最小值为；
设，
，，
由等高三角形可得：
：：，
：：，
，
四边形面积，
四边形面积的最小值为．
当时，根据公式直接计算即可，当时，先将化为，再根据公式直接计算即可；
将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式计算的形式，计算即可；
根据等高三角形的性质计算即可．
本题考查配方法的运用，分式化简，等高三角形的性质，解题的关键是读懂材料的方法并灵活运用．
 

26.【答案】解：当时，，
，
当时，，
，
，，
，
，，
为等边三角形，
，
，
；
过点作，如图：

，
，
设直线的解析式为，将点的坐标代入得：，解得，
直线的解析式为，
将代入的解析式得：，解得：，
；
取上取一点使，，连接，如图：

由知，，
，
为等边三角形，
，
由折叠知，，
由旋转知，，，
，
设，
，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
．

【解析】先求得、的坐标，然后可得到，依据含直角三角形的性质可得到，则，然后依据勾股定理求得的长，从而可得到点的坐标；
过点作，则设直线的解析式为，将点的坐标代入求得的值，然后将代入的解析式可求得点的横坐标；
先求出，进而表示出，，用勾股定理建立方程求出，最后用面积公式即可得出结论．
本题是一次函数的综合题，主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、轴对称路径最短问题，构造出特殊直角三角形是解本题的关键．