2023-2024学年四川省成都市郫都区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市郫都区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.327的值为( )
A. ±3B. 3C. −3D. 9
2.要使二次根式 3−x有意义，则x的值不可以为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.平面直角坐标系中，点(−1,3)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.二元一次方程x+2y=0的一个解是( )
A. x=−2y=1B. x=2y=0C. x=−2 3y= 6D. x=2y=1
5.下列选项中，可以用来证明命题“若n2>1，则n>1”是假命题的反例是( )
A. n=−2B. n=−12C. n=12D. n=2
6.我国民间流传着许多趣味算题，他们多以顺口溜的形式表达，其中《孙子算经》中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组为( )
A. x−1=y2x+2=yB. x−1=y2x−2=yC. x+y=12x−y=2D. x+1=y2x−2=y
7.如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(3,0)，与y轴交于点(0,2)，下列结论正确的是( )
A. 当x=0时，y=3
B. 当y=0时，x=3
C. 当y=2时，x=3
D. 当x=3时，y=2
8.如图，显示某滑雪俱乐部甲、乙两组各六名会员的身高情况，则下列说法错误的是( )
A. 甲组的极差为13cmB. 甲组的众数为174cm
C. 乙组的中位数为176cmD. 甲组的方差小于乙组的方差
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(−3,−4)，则其关于y轴对称的点B的坐标为______ ．
10.若一次函数y=(m−3)x+m2−9是正比例函数，则m的值为______ ．
11.如图，△ABC中，AB=AC，过点C作CD/​/AB.若∠β=35°，则∠A的大小为______ ．
12.化简： 329= ______ ．
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°.按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若AC=1cm，则△ADC的周长为______ ．
14.如图，在数轴上点A表示的实数是______ ．
15.若x=2 3−1，则x2−2x+1的值为______ ．
16.已知x、y、z满足5x+y−4z=09x−y−3z=0，则x：y：z= ______ ．
17.如图，在平面直角坐标系中，图案由全等的4个长方形纸片摆成的.若点A(−3,7)，则点B的坐标为______ ．
18.如图，△ABC中，∠BAC=90°，且AB=4，AC=6 3.以BC为边在△ABC外部作等边△BCD点D，连接AD，则AD的长为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共78分。
19.计算：
(1)2 12÷ 6+ 6× 3− 8；
(2)( 5+3)2+( 5+3)( 5−3)−3．
20.按要求解方程组，(1)题用代入法，(2)题用加减法：
(1)2x−y=5①7x−3y=20②；(2)6x−5y=3①6x+y=−15②．
21.某校组织了一次“校徽设计“竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：
(专业评委给分统计表)
记“专业评委给分”的平均数为x−．
(1)求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；
(2)对于该作品，问x−的值是多少？
(3)记“民主测评得分”为y−，“综合得分”为S，若规定：
①y−=“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×(−1)分；
②S=0.7x−+0.3y−．
求该作品的“综合得分”S的值．
22.在△ABC中，∠ACB=90°，点D在△ABC内，连接DB、DC，延长DC到点E，使得EC=DC.延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF、EF.完成下列问题的证明，要求这写出每步的推导理由．
(1)求证：BD/​/EF；
(2)连接AE，延长BD交AE于H，连接CH.若CH=CD，求证：AE⊥EF．
23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴相交于A(12,0)、B(0,4)两点，点C在线段OA上，以CB为直角边作等腰直角△BCD，∠BCD=90°，点D恰好落在直线AB上．
(1)求k、b的值；
(2)求点D的坐标；
(3)若将△BCD沿直线AB翻折到直角坐标系平面得△BC′D，求过点C′且与直线AB平行的直线的解析式．
24.某商场投入资金购进甲、乙两种矿泉水共400箱，矿泉水的进价与售价(单位：元/箱)如下表：
(1)若该商场为购进甲、乙两种矿泉水共用11520元，则该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)若设购进甲种矿泉水m箱，甲、乙两种矿泉水全部售完后商场共获得利润为w元.直接写出w与m之间的函数关系式．
25.对于平面直角坐标系xOy中的点P、Q，给出如下定义：若P、Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高ℎ，满足ℎ=PQ，则称该三角形为点P、Q的“等值三角形”，已知点A(4,0)．
(1)若点E(1,0)，点F在y的正半轴上，且△AEF是点A、E的“等值三角形”，求F的坐标；
(2)若以线段OA为底的等腰三角形是点O、A的“等值三角形”，求该三角形的腰长；
(3)若Rt△ABC是点A、B的“等值三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y=2x−5上，求点B的坐标．
26.如图，在四边形ABCD中，AC是四边形ABCD的对角线，AB>AD，CB=CD，且∠ABC+∠ADC=180°．
(1)如图1，求证：AC平分∠BAD；
(2)如图2，若AB+AD=AC，求∠DAC的度数；
(3)如图3，延长AB、DC相交于点E，再过点E作射线EF交AD的延长线于点F.若∠DEF=∠DEA，求证：BE+DF=EF．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵33=27，
∴327=3，
故选：B．
根据立方根的定义即可求解．
此题主要考查了立方根的定义和性质，注意本题答案不唯一．求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
2.【答案】D
【解析】解：由题意得：3−x≥0，
解得：x≤3，
四个选项中，只有D选项不符合题意．
故选：D．
根据二次根式有意义的条件可得3−x≥0，再解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义．
3.【答案】B
【解析】解：∵该点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴所在象限为第二象限，
故选：B．
根据点的横纵坐标的符号可确定所在象限．
此题主要考查了点的坐标，用到的知识点为：第二象限点的符号特点为(−,+)．
4.【答案】A
【解析】解：∵将x=−2y=1代入原方程，左边=−2+2=0=右边，
∴A选项符合题意；
∵将x=2y=0代入原方程，左边=2+0=2≠右边，
∴B选项不符合题意；
将x=−2 3y= 6代入原方程，左边=−2 3+2 6≠0=右边，
∴C选项不符合题意；
∵将x=2y=1代入原方程，左边=2+2=4≠右边，
∴D选项不符合题意．
故选：A．
将四个选项分别代入原方程，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
本题主要考查了二元一次方程的解．正确利用二元一次方程的解的意义是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：用来证明命题“若n2>1，则n>1”是假命题的反例可以是：n=−2，
∵(−2)2>1，但是n=−2<1，∴A正确；
故选：A．
根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意有：x+1=y2x−2=y，
故选：D．
根据题意列出二元一次方程组，即可作答．
本题考查了二元一次方程组在古代问题中的应用，明确题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(3,0)，与y轴交于点(0,2)，
∴当x=0时，y=2；
当y=0时，x=3．
故选：B．
由一次函数y=kx+b的图象与两坐标轴的交点坐标，可找出当x=0时，y=2；当y=0时，x=3，再对照四个选项即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b”是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A.甲组的极差为13cm，故本选项不符合题意；
B.甲组的众数为174cm，故本选项不符合题意；
C.乙组的中位数为176cm，故本选项不符合题意；
D.由折线统计图可以看出，甲组的身高波动大，所以甲组的方差大于乙组的方差，故本选项符合题意；
故选：D．
分别根据极差、众数、中位数和方差的定义判断即可．
本题考查的是折线统计图、极差、众数、中位数和方差．读懂统计图并从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
9.【答案】(3,−4)
【解析】解：若点A的坐标为(−3,−4)，则其关于y轴对称的点B的坐标为(3,−4)．
故答案为：(3,−4)．
关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此即可得出答案．
本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10.【答案】−3
【解析】解：∵y=(m−3)x+m2−9是正比例函数，
∴m2−9=0m−3≠0．
解得m=−3．
根据一次函数和正比例函数的定义，可得出m的值．
此题综合考查一次函数和正比例函数的定义，注意：一次项系数不为0．
11.【答案】110°
【解析】解：∵CD//AB，
∴∠B=∠β=35°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=35°，
∴∠A=180°−∠B−∠ACB=110°，
故答案为：110°．
利用平行线的性质可得∠B=∠β=35°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB=35°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及平行线的性质是解题的关键．
12.【答案】4 23
【解析】解：原式= 16×23×3=4 23．
故答案为：4 23．
根据二次根式的性质解答即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
13.【答案】3cm
【解析】解：由作图可知MN垂直平分线段BC，
∴DB=DC，
∴∠B=∠DCB=30°，
∴∠CDA=∠B+∠DCB=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=90°−30°=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC=CD=AD=1cm，
∴△ADC的周长为3cm．
故答案为：3cm．
证明△ADC是等边三角形，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，
14.【答案】解：(1)原式=2 12÷6+ 2× 3× 3−2 2
=2 2+3 2−2 2
=3 2；
(2)原式=5+6 5+9+5−9−3
=7+6 5．
【解析】(1)先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可；
(2)先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
15.【答案】解：(1)2x−y=5①7x−3y=20②，
由①得，y=2x−5③，
把③代入②得，7x−3(2x−5)=20，
解得x=5，
把x=5代入③得，y=5，
∴方程组的解是x=5y=5；
(2)6x−5y=3①6x+y=−15②，
②−①得，6y=−18，
解得y=−3，
把y=−3代入②得，x=−2，
∴方程组的解是x=−2y=−3．
【解析】(1)根据代入消元法解二元一次方程组即可；
(2)根据加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
16.【答案】解：(1)该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数：50−40=10(张)，
答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张；
(2)x−=(88+87+94+91+90)÷5=90(分)；
答：x−的值是90分；
(3)①y−=40×3+10×(−1)=110(分)；
②∵S=0.7x−+0.3y−
=0.7×90+0.3×110
=96(分)．
答：该作品的“综合得分”S的值为96分．
【解析】(1)“不赞成”的票数=总票数−赞成的票；
(2)平均数=总分数÷总人数；
(3)根据y−=“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×(−1)分；S=0.7x−+0.3y−求出该作品的“综合得分”S的值．
本题考查了加权平均数、算术平均数，掌握这两种平均数的应用，其中读懂题意是解题关键．
17.【答案】(1)证明：在△BDC和△FEC中，
BD=CF∠BCD=∠FCEDC=CE，
∴△BDC≌△FEC(SAS)，
∴∠DBC=∠EFC(全等三角形的对应角相等)，
∴BD/​/EF(内错角相等，两直线平行)；
(2)证明：如图，

∵DC=CE=CH(已知)，
∴∠CHE=∠CEH，∠CDH=∠CHD(等边对等角)，
在△DHE中，∠CDH+∠CHD+∠CHE+∠CEH=180°(三角形内角和定理)，
∴2∠CHD+2∠CHE=180°(等量代换)，
∴∠CHD+∠CHE=∠DHE=90°(等式的性质)，
∵DB//EF(已证)，
∴∠DHE=∠AEF=90°(两直线平行，内错角相等)，
∴AE⊥EF(垂直定义)．
【解析】(1)利用SAS证明△BDC≌△FEC，得∠DBC=∠EFC，再根据平行线的判定即可证明结论；
(2)证出∠DHE=90°，则可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴相交于A(12,0)、B(0,4)两点，
∴12k+b=0b=4，
解得k=−13b=4，
即k=−13，b=4；
(2)过点D作DE⊥x轴于点E．

设C(m,0)，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BOC=∠BCD=∠CED=90°，BC=CD，
∴∠OCB+∠DCE=90°，∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠BCO=∠CDE，
∴△BOC≌△CED(AAS)；
∴CE=BO=4，DE=CO=m，
∴D(m+4,m)，
∵k=−13，b=4，
∴直线AB的解析式为y=−13x+4，
∵点D恰好落在直线AB上，
∴m=−13(m+4)+4，
解得m=2，
∴D(6,2)；
(3)连接C′C交AB于H，

由翻折得C′C⊥AB，CH=C′H，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BH=DH，
∵B(0,4)，D(6,2)，C(2,0)，
∴C′(4,6)，
设过点C′且与直线AB平行的直线的解析式为y=−13x+n，
将C′(4,6)代入得6=−13×4+n，
解得n=223，
∴过点C′且与直线AB平行的直线的解析式为y=−13x+223．
【解析】(1)将A(12,0)、B(0,4)两点代入y=kx+b即可求解；
(2)过点D作DE⊥x轴于点E.设C(m,0)，根据AAS可证明△BOC≌△CED，可得CE=BO=4，DE=CO=m，由点D恰好落在直线AB上即可求解；
(3)连接C′C交AB于H，由翻折得C′C⊥AB，CH=C′H，根据等腰三角形的性质可得BH=DH，可得C′(4,6)，设过点C′且与直线AB平行的直线的解析式为y=−13x+n，将C′(4,6)代入即可求解．
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，两直线平行问题，等腰直角三角形的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
19.【答案】 5
【解析】解：如图，
在Rt△BCD中，由题意得，CD=1，BC=2，∠BCD=90°，
根据勾股定理得：BD= CD2+BC2= 12+22= 5，
由图可知AD=BD= 5，
∴点A表示的实数为 5，
故答案为： 5．
根据勾股定理求出BD的长度，即可求得点A表示的实数．
本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
20.【答案】3
【解析】解：∵x=2 3−1=2( 3+1)( 3−1)( 3+1)= 3+1，
∴x2−2x+1=(x−1)2=( 3+1−1)2=3．
故答案为：3．
先通过分母有理化得到x= 3+1，再利用完全平方公式把所求的代数式变形得到x2−2x+1=(x−1)2，然后把x的值代入计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
21.【答案】1：3：2
【解析】解：5x+y−4z=0①9x−y−3z=0②，
①+②，得14x−7z=0，
即14x=7z，
∴x：z=1：2；
①×3−②×4，得−21x+7y=0，
即21x=7y，
∴x：y=1：3，
∴x：y：z=1：3：2．
故答案为：1：3：2．
把两个方程相加，可得14x=7z，据此可得x：z=1：2；①×3−②×4，可得21x=7y，据此可得x：y=1：3，进而得出答案．
本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键．
22.【答案】(7,2)
【解析】解：设小长方形纸片的长为x，宽为y，
依题意得：x−y=3x+y=7，
解得：x=5y=2，
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为(7,2)，
故答案为：(7,2)．
设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，列出二元一次方程组，解之得出x、y的值，结合点B所在的象限，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23.【答案】14
【解析】解：∵△BCD为等边三角形，
∴∠BDC=60°，DB=DC，
将△DAB绕点A顺时针旋转60°得到△DEC，如图，
∴DA=DE，∠ADE=60°，CE=AB=4，∠DCE=∠DBA，
∴△DAE为等边三角形，
∴AD=AE，
∵∠BAC=90°，∠BDC=60°，
∴∠DBA+∠ACD=360°−90°−60°=210°，
∴∠DCE+∠ACD=360°−90°−60°=210°，
∴∠ACE=150°，
过E点作EH⊥AC于H点，如图，
∵∠ECH=180°−∠ACE=30°，
∴EH=12CE=2，
∴CH= 3EH=2 3，
∴AH=AC+CH=6 3+2 3=8 3，
在Rt△AEH中，AE= EH2+AH2= 22+(8 3)2=14，
∴AD=14．
故答案为：14．
∠BDC=60°，DB=DC，
将△DAB绕点A顺时针旋转60°得到△DEC，如图，根据旋转的性质的DA=DE，∠ADE=60°，CE=AB=4，∠DCE=∠DBA，则△DAE为等边三角形，所以AD=AE，再计算出∠ACE=150°，过E点作EH⊥AC于H点，如图，利用含30度角的直角三角形三边的关系求出EH=2，CH=2 3，然后在Rt△AEH中利用勾股定理可计算出AE的长．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．构建等边△ADE是解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)设购进甲种矿泉水x箱，乙种矿泉水y箱，
依题意，得：x+y=40024x+32y=11520，
解得：x=160y=240，
答：购进甲种矿泉水160箱，乙种矿泉水240箱；
(2)购进甲种矿泉水m箱，则购进乙种矿泉水(400−m)箱，
∴w=(36−24)m+(48−32)(400−m)=−4m+6400(0≤m≤400)，
答：w与m的函数关系式为：w=−4m+6400(0≤m≤400)．
【解析】(1)设购进甲种矿泉水x箱，乙种矿泉水y箱，根据该商场用11520元购进甲、乙两种矿泉水共400箱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)根据购进甲种矿泉水m箱，则购进乙种矿泉水(400−m)箱，利润=每箱的利润×销售数量，总利润=购进甲种矿泉水利润+购进乙种矿泉水利润，进而得出函数关系式．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
25.【答案】解：(1)∵A、E的坐标分别为A(4,0)，E(1,0)，
∴AE=3，
∵△AEF是点A、E的“等值三角形”，
∴OF=AE=3，
又∵点F在y的正半轴上，
∴点F的坐标为(0,3)；
(2)如图1，

设满足条件的三角形为等腰△OAR，则OR=AR.过点R作RH⊥OA于点H，
∴OH=HA=2，
∵以线段OA为底的等腰△OAR恰好是点O，A的“等值三角形”，
∴RH=OA=4，
∴OR= OH2+RH2= 22+42=2 5，
故该三角形的腰长为2 5；
(3)如图2所示：若A为直角顶点时，

∵Rt△ABC是点A，B的“等值三角形”，
∴AC⊥AB，AC=AB，
∵点C在直线y=2x−5上，
∴AC=AB=2×4−5=3，
∵点A(4,0)，
∴点B的坐标为(1,0)或(7,0)；
若B为直角顶点时，

∵Rt△ABC是点A，B的“等值三角形”，
∴BC⊥AB，BC=AB，
∵点C在直线y=2x−5上，
∴设点C(x,2x−5)，则B(x,0)，
∴2x−5=|4−x|，解得x=3或1，
∴点B的坐标为(1,0)或(3,0)
综上，点B的坐标为(1,0)，(3,0)或(7,0)．
【解析】(1)求得AE的长度，依据等值三角形定义得到OF=AE，进一步解答即可；
(2)画图，不妨设满足条件的三角形为等腰△OAR，则OR=AR.过点R作RH⊥OA于点H，由勾股定理可求得其腰长；
(3)分点A为直角顶点和点B为直角顶点两种情况，结合图形可得结论．
本题属于一次函数综合题，主要考查了等腰三角形的性质、新定义“等值三角形”的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，将定义与所学的一次函数的知识结合解题是关键．
26.【答案】(1)证明：过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于E，CF⊥AB于点F，

∵CF⊥AB，CE⊥AD，
∴∠BFC=∠CED=90°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠B=∠EDC，
∵CB=CD，
∴△CFB≌△CED(AAS)，
∴CF=CE，
∵CF⊥AB，CE⊥AD，
∴AC平分∠BAD；
(2)解：延长AD，使DE=AB，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠B=∠EDC，
∵CB=CD，
∴△CBA≌△CDE(AAS)，
∴CA=CE，
∵AD+AB=AC，AD+DE=AE，
∴AC=AE，
∴AC=AE=CE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠DAC=60°；
(3)证明：由(1)可知，AC平分∠EAF，
∵∠DEF=∠DEA，
∴FC平分∠AFE，
∴∠AFC=∠EFC，
在EF上截取EM=BE，连接CM，

∵BE=EM，∠BEC=∠MEC，EC=EC，
∴△BEC≌△MEC(SAS)，
∴BC=CM，∠EBC=∠EMC，
∵BC=CD，
∴CM=CD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠FDC=180°，
∴∠ABC=∠FDC，
∵∠EBC=∠EMC，
∴∠ABC=∠CMF，
∴∠CDF=∠CMF，
∵CF=CF，
∴△CDF≌△CMF(AAS)，
∴DF=MF，
∴EF=EM+MF=BE+DF．
【解析】(1)过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于E，CF⊥AB于点F，证明△CFB≌△CED(AAS)，由全等三角形的性质得出CF=CE，则可得出结论；
(2)延长AD，使DE=AB，证明△CBA≌△CDE(AAS)，由全等三角形的性质得出CA=CE，证明△ACE是等边三角形，得出∠DAC=60°；
(3)证出∠AFC=∠EFC，在EF上截取EM=BE，连接CM，证明△BEC≌△MEC(SAS)，得出BC=CM，∠EBC=∠EMC，证明△CDF≌△CMF(AAS)，得出DF=MF，则可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质，解本题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形．专业评委
给分(单位：分)
①
88
②
87
③
94
④
91
⑤
90
矿泉水类别
进价(元/箱)
售价(元/箱)
甲
24
36
乙
32
48