2022年四川省成都市郫都区中考数学二诊试卷-（含解析）

2022年四川省成都市郫都区中考数学二诊试卷

一．选择题（本题共8小题，共32分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图摆放的圆柱、球、圆锥、长方体中，主视图与左视图有可能不同的是

A.  B.
C.  D.

3. 要使分式有意义，应满足的条件是

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 若函数是一次函数，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 年月日，中国航天员再次进行太空授课，此时空间站距离地球约米．数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，跷跷板的支柱经过它的中点，且垂直于地面于点，当它的一端着地时，另一端离地面的高度为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是

1. 
    B.
   C.  D.

二．填空题（本题共10小题，共40分）

9. 如图所示的四角风车至少旋转______就可以与原图形重合．
   
   
    

10. 某班男生在体育课上进行投篮测试，每人投次．他们投中的次数统计如表：

则该班级男生在此次测试中投中次数的中位数、众数分别是______．

11. 如图，若“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点______．

12. 一元一次不等式组的解集为______．
13. 如图，▱的顶点，按下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作
    弧，分别交、于点、；分别以点、为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点；作射线，交边于点则的长度为______．
14. 若要使有意义，则的取值范围为______．
15. 在中，，，是斜边上的中线．将沿折叠，使点落在点处，线段交于点则的大小为______．
16. 如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为和，则因变量与自变量的函数关系式为______．

17. 骰子的六个面上分别标记六个数：、、、、、掷一次骰子，掷得的数字记为，则使得关于的分式方程有正整数解的概率为______．
18. 从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的华丽分割线．如图，是的华丽分割线，且，若点的坐标为，则点的坐标为______．

三．解答题（本题共8小题，共78分）

19. 计算：；
    先化简，再求值：，其中．
20. 某校七年级举办了“古诗词背诵比赛“活动，并进行了评比：为优秀；为良好；为合格；为不合格．九班的语文老师对本班学生的成绩做了统计，绘制了下列两幅尚不完整的统计图，请根据下列所给信息回答问题：
    
    该班共有______人，扇形统计图中的所对应的圆心角为______度；
    请根据以上信息补全条形统计图；
    老师准备从类学生中随机抽取人再次背诵．已知类学生中有名男生，名女生，求恰好选中名男生和名女生的概率．
21. 如图，桥是水平并且笔直的，无人机飞悬停在桥正上方米的点处，此时测得桥两端、两点的俯角分别为和，求桥的长度．参考数据：，结果精确到米
22. 如图，是的直径，与相切于点，且连接，过点作于点，交于点，连接．
    求证：≌；
    连接交于点若，求的长．

23. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，与反比例函数的图象交于点、点．
    直接写出点的坐标；
    作轴于，作轴于连接，求证：；
    若点在轴上，且满足的点有且只有一个，求的值．

24. 某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为万元，销售单价万元与销售量件的关系如表所示：

求与的函数关系式；
当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？

25. 如图，边长为的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线段上一动点，过点作于点，点，连接、．
    求抛物线的解析式；
    当，求点的坐标；
    求周长的取值范围．

如图，矩形中，点为对角线上一点，过点作交边于点．

如图，当时，求证：；
如图，当：：时，连接，探究线段、、的数量关系；
如图，在的条件下，连接，若面积的最大值为，求的长．
答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
根据乘积是 的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】
解： 的倒数是 ，
故选： ．   

2.【答案】

【解析】解：、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意；
B、主视图是矩形，左视图是正方形，故选项符合题意；
C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；
D、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；
故选：．
分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断．
本题考查了简单几何体的三视图，确定三视图是关键．
 

3.【答案】

【解析】解：要使分式有意义，
则，
解得：．
故选：．
直接利用分式有意义则分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义分母不为零是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别判断，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
一次函数解析式的特征：；自变量的次数为；常数项可以为任意实数．根据一次函数的定义即可列方程求解．
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．
 

6.【答案】

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

7.【答案】

【解析】解：过点作交的延长线于，
，，
，
，
，
故选：．
过点作交的延长线于，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：第一幅图阴影部分面积，
第二幅图阴影部分面积，
，
故选：．
根据阴影部分面积相等得到恒等式即可．
本题考查了平方差公式的几何背景，根据阴影部分面积相等得到恒等式是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：，
四角风车至少旋转就可以与原图形重合．
故答案为：．
直接利用旋转对称图形的性质得出旋转角．
此题主要考查了旋转对称图形，正确掌握旋转对称图形的性质是解题关键．
 

10.【答案】、

【解析】解：由题知，人中投中次数按从大到小的顺序排列后排在中间的是次，
故中位数为，
人中投中次数最多的为次，
故众数为，
故答案为：、．
根据中位数和众数的概念得出结论即可．
本题主要考查中位数和众数的概念，熟练掌握中位数和众数的概念是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：根据“帅”位于点，“马”位于点，建立平面直角坐标系如下图：

根据坐标系可知，“兵”位于点，
故答案为：．
根据“帅”位于点，“马”位于点，建立平面直角坐标系，结合坐标系可得答案．
此题主要考查了坐标确定位置，解题的关键是正确得出原点的位置．
 

12.【答案】

【解析】解：解不等式，得，
解不等式，得，
此不等式组的解集：；
故答案为：．
求不等式组中每个不等式的解集，根据同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到找公共的解集．
本题主要考查了一元一次不等式组，掌握求不等式组中每个不等式的解集，根据同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到找公共的解集是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，则，然后求出，从而得到的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了坐标与图形性质、平行四边形的性质．
14.【答案】且

【解析】解：要使有意义，则且，
解得：且．
故答案为：且．
直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握相关性质是解题关键．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，

，是斜边上的中线，
，
，
，
，
，
将沿折叠，
，
．
故答案为：．
由直角三角形的性质可得，由折叠的性质可得，即可求解．
本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：由题意得：
圆柱的上下底面圆的半径为，
圆柱的侧面展开图的长为：，
圆柱的侧面展开图的长底面圆的周长，
，
，
故答案为：
利用图示数据列出等式即可得出结论．
本题主要考查了函数关系式，圆柱体的展开图，准确利用图示数据列出等式是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：方程两边同乘以，
，
，
有正整数解，
当时，原分式方程无解，且，
，
使关于的分式方程有正整数解的有：，，
使关于的分式方程有正整数解的概率为：．
故答案为：．
由使关于的分式方程有正整数解，可求得的值，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用以及分式方程的整数解．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】

【解析】解：如图，过点作于点．

∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
，
故答案为：
如图，过点作于点利用相似三角形的性质证明，求出，，可得结论．
本题考查作图相似三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

19.【答案】解：原式

；

原式

，
当时，
原式．

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案；
首先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，进而代入已知数据求出答案．
此题主要考查了实数的运算以及分式的化简求值，正确掌握相关运算法则化简是解题关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：调查的总人数为人，
扇形统计图中的所对应的圆心角为；
故答案为：，；
组人数为人，
条形统计图为：

画树状图为：

共有种等可能的结果，其中恰好选中名男生和名女生的结果数为，
所以恰好选中名男生和名女生的概率．
用组的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用乘以组的频率得到扇形统计图中的所对应的圆心角；
先计算出组人数，然后补全条形统计图；
画树状图展示所有种等可能的结果，找出恰好选中名男生和名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

21.【答案】解：如图，过点作，垂足为．

．
在中，，米，
米，
在中，，米，
米，
米．
答：桥的长度约为米．

【解析】过点作，垂足为，根据锐角三角函数即可求出结果．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
 

22.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
．
与相切于点，
．
在和中，
，
≌；
解：连接，如图，

是的直径，
，
．
，
．
，为圆心，
．
≌，
，，
，，
，
，
，
．
，
在中，
，
，
，
，
，
．

【解析】利用角边角定理判定即可；
连接，利用等腰三角形的三线合一可得，利用垂径定理和结论可得线段，，，的长，利用平行线分线段成比例定理可得，的长，利用勾股定理可求，再利用平行线线段成比例定理求得，则可得，结论可求．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，圆的切线的性质，弦切角定理，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
 

23.【答案】解：当时，，
，
；
证明：连接，，

，，
，
；
解：直线与双曲线的交点为，点，
，
，
设、两点的横坐标为、，
则，，

作轴于，轴于，
，
当时，，
∽，
，
设，
则，，，，
，
，
当时，
时，存在唯一的点，满足．

【解析】令时，得，可得点的坐标；
连接，，根据，，得，可证明结论；
联立两个函数解析式，设、两点的横坐标为、，则，，再根据∽，得，设，若要存在唯一的，则当时，从而得出答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，一元二次方程等知识，利用代数方法解决几何问题是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：由表格中数据可知，与之间的函数关系式为一次函数关系，
设，
则，
解得：，
与的函数关系式；
设该产品的销售利润为，
由题意得：，
，
当时，最大，最大值为万元，
答：当销售单价为万元时，有最大利润，最大利润为万元．

【解析】通过表格数据可以判断与之间的函数关系式为一次函数关系，设出函数解析式用待定系数法求函数解析式即可；
根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数的性质及待定系数法求函数解析式，关键是根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积，列出函数关系式．
 

25.【答案】解：抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，
，
；

边长为的正方形的两边在坐标轴上，
，，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
解得，
，
点在第一象限内，
，
；

当点与重合时，的周长最大，此时，，，
，，，
的周长的最小值为．
当点与重合时，，，
，此时三角形不存在，
的周长．

【解析】设抛物线的解析式为，将点代入，即可求解；
先判断是等边三角形，则，求出，即可求；
求出的周长的最大值和最小值可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】证明：如图，

连接，
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在四边形中，
，
，
，
，
，
；
如图，

作于，作于，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
即：，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
在中，设，，
，
：：：：，
∽，
：：：：，
，，
，
；
如图，

作于，
设，，，，
，
，
，
，


，
，
，
，
．

【解析】连接，证明≌，得出，再证明是等腰三角形，得出，进而得出；
作于，作于，可证得∽，从而，证明∽，，进一步可得，，进而得出，消去，从而得出结果；
作于，设，，，，表示出和，进而得出，进一步求得结果．
本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，图形的旋转等知识，本题十分复杂，解决问题的关键是关注特殊性，添加辅助线，需要十分扎实的基础和很强的计算能力．