2021-2022学年四川省成都市龙泉驿区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年四川省成都市龙泉驿区八年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共32分）

1. 数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案不考虑文字说明中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 有害垃圾 B. 可回收物
C. 厨余垃圾 D. 其他垃圾

2. 下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，数轴上表示不等式的解集正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列式子从左至右变形不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若一个正多边形的一个内角为，则这个图形为正边形．(    )

A. 八 B. 九 C. 十 D. 十一

6. 如图，，分别是线段，的垂直平分线，连接，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在平行四边形中，、相交于点，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是(    )

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共10小题，共40分）

9. 把多项式分解因式的结果是______．
10. 若分式值为，则的值为______．
11. 一次中学生宪法知识竞赛中共有道题，每一题答对得分，答错或不答都扣分．若小丽答了所有的题，要想获得优胜奖分及以上，则她至少要答对______道题．
12. 如图，直线和直线，分别与轴交于，两点，则关于的不等式组的解集是______ ．

13. 如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为______．

14. 已知，，则______．
15. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是______．
16. 关于的不等式组有且只有个整数解，则常数的取值范围是______．
17. 如图，等腰是由三块面向内的镜面组成的，其中，边上靠近点的三等分点处发出一道光线，经镜面两次反射后恰好回到点，若，则光线走过的路径是______．

18. 如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．

三．解答题（本题共8小题，共66分）

19. 分解因式：；
    解分式方程：．
20. 解不等式组：，
    化简求值：，．
21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，已知的顶点均在格点上．
    可以看作是由经过怎样的变换得到．写出变换过程；
    画出绕点逆时针旋转后的；
    直接写出中阴影部分的面积．

22. 在；；这三个条作中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
    已知，如图、四边形是平行四边形，对角线、相交于点，点、在上，______填写序号．
    求证：；
    连结、，求证：四边形是平行四边形．

23. 如图，，，，且点在内部，连接，，的延长交线段于点．
    求证：≌；
    判断与的位置关系并证明；
    连接，若，求四边形的面积．

24. 为了更好的宣传成都大运会，某学校预算元的资金购买甲，乙两种型号的大运会吉祥物“蓉宝”玩具摆放在学校各处，已知乙种比甲种每件便宜元，如果其中元购买甲种玩具，其余资金购买乙种玩具，刚好能将预算花完，且购买乙种的数量是甲种的倍．
    求甲，乙两种玩具的单价；
    购买当日，正逢“大运会走进群众”活动搞促销，所有玩具均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金，购买甲种玩具的数量不少于件，且甲，乙两种玩具数量之和不少于件；问购买甲，乙两种玩具有哪几种方案？
25. 直线：分别与，轴交于点，，线段中点．
    
    求，的值；
    在轴负半轴上有一点，连接交轴于点，若，求点坐标；
    在条件下，轴上一动点由点出发至点，同时轴上另一动点由点出发至点，两动点均以每秒个单位长的速度运动，设运动时间为，若某一动点到达终点，则另一动点同时停止运动，连接，求线段中点点的运动路程．
26. 如图，长方形，点，分别为边，上两动点，将长方形左侧部分沿所在直线折叠，点落在边上点处，点落在点处，连接，，，，
    若，求的度数；
    如图，若点与点重合，，求线段用含代数式表示；
    连接，若，且为等腰三角形，求的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，

数轴上表示不等式的解集为，
故选：．
根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：、不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项符合题意；
B、符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．
 

5.【答案】 

【解析】解：设这个正多边形的边数为，
，
．
故选：．
设这个正多边形的边数为，根据边形的内角和为得到，然后解方程即可．
本题考查了多边形内角与外角，熟记边形的内角和为及边形的外角和为是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，分别是线段，的垂直平分线，
，，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质求解判断即可．
此题考查了性质的垂直平分线的性质，熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
，
故选：．
由平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，，又由，根据勾股定理，即可求得的长．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
 

8.【答案】 

【解析】解：折线在平移过程中扫过的面积


，
故选：．
折线在平移过程中扫过的面积，再根据平行四边形的面积公式求解即可．
本题主要考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式．
 

9.【答案】． 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用平方差公式分解即可．
本题考查了用平方差公式进行因式分解，如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：；完全平方公式：．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
根据分式值为零及分式有意义的条件列方程及不等式求解．
本题考查分式值为零的条件，理解当分子为零且分母不等于零时分式的值为零是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设小丽答对了道题，则答错了道题，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为．
故答案为：．
设小丽答对了道题，则答错了道题，利用得分答对题目数答错题目数，结合得分不少于分，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
当时，对应的函数值大于，
当时，对应的函数值大于，
不等式组的解集是，
故答案为：．
根据函数图象，可以直接写出函数的函数值大于对应的的取值范围和函数的函数值大于对应的的取值范围，然后即可得到不等式组的解集．
本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，为的中点，，
，
为的中位线，，
，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14.【答案】 

【解析】解：

，
当，时，
原式

，
故答案为：．
先将原式进行因式分解，再代入计算即可．
此题考查了利用整体思想求代数式的值的能力，关键是能准确进行因式分解和计算．
 

15.【答案】且 

【解析】解：关于的分式方程的解为：，
分式方程有可能产生增根，
，
；
关于的分式方程的解是非负数，
，
解得：，
综上，的取值范围是且．
故答案为：且．
求得分式方程的解，依据题意列出不等式，解不等式即可得出结论．
本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要考虑可能产生增根的情形，这是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
不等式组有且只有个整数解，
，
，
故答案为：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，

可得，，，，，
的方程为：，
设，分别是点关于直线和轴的对称点，
则，，
由光的反射原理可知，、、、四点共线，，，
光线走过的路径，
，
即光线走过的路径是．
故答案为：．
根据题意，建立直角坐标系，写出对应点坐标与直线方程，利用光的反射原理与对称性，求出点、的坐标，再计算、、的值，求和即可．
本题考查三角形的性质与轴对称图形的灵活应用问题，关键在于正确建立直角坐标系并求解．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，延长到，使得，连接，过点作于点．

四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，
在中，，，，
，
．
的最小值为．
故答案为：．
如图，延长到，使得，连接，过点作于点首先证明四边形是平行四边形，推出，推出点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，求出的长，可得结论．
本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形度角的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
 

19.【答案】解：

；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集为：；
原式

，
当时，原式． 

【解析】分别解出两个不等式，找出解集的公共部分，得到不等式组的解集；
根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、一元一次不等式组的解法，掌握分式的混合运算法则、解不等式组的一般步骤是解题的关键．
 

21.【答案】解：由图形可知，可以看作是由向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得；
如图，即为所求；

由图形可知，阴影部分的面积为． 

【解析】根据图形的位置可得变换过程；
根据旋转的性质画出图形；
由图形可知，阴影部分的面积为，利用割补法求出的面积即可．
本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，三角形的面积等知识，熟练掌握几何变换的性质是解题的关键．
 

22.【答案】或或 

【解析】解：若，
连接，，

证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
若，
证明：四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
≌，
；
若，
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：或或．
证明：四边形是平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形．
由平行四边形的性质可得，，，由全等三角形的判定和性质可得结论；
由的结论及平行四边形的判定可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
．
在和中，
，
≌；
解：，
证明：如图，和交于点，

≌，
，
，，
，
；
解：过点作于点，，交的延长线于点，

，
四边形为矩形，
，，，
≌，
，
四边形为正方形，
又，
，
，
，
，
，
≌，
，
． 

【解析】证出，根据证明≌；
和交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
过点作于点，，交的延长线于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出四边形为正方形，证明≌，得出，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：设乙种玩具的单价为元，则甲种玩具的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
元，
答：甲种玩具的单价为元，乙种玩具的单价为元；
设购买甲种玩具件，则购买乙种玩具件，
根据题意，得，
解得，
为正整数，
的值为，，
有两种购买方案：
方案一：购买甲种玩具件，乙种玩具件；
方案二：购买甲种玩具件，乙种玩具件． 

【解析】设乙种玩具的单价为元，则甲种玩具的单价为元，根据“预算资金为元，其中元购买种商品，其余资金购买乙种玩具，且购买乙的数量是甲种的倍”列分式方程，解方程即可；
设购买甲种玩具件，则购买乙种玩具件，根据“购买甲种玩具的数量不少于件”列一元一次不等式组，求出的取值范围，取整即可确定购买方案．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式组的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
 

25.【答案】解：在中，令得，令得，
，，
线段中点，
，
解得，
答：的值为，的值是；
连接，如图：

，为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
由知，
，
，
设直线解析式为，将代入得：
，
解得，
直线解析式为，
令的，
；
根据题意知，，
，
，，
当与重合时，，
，
，
为的中点，，，
，
设，，则，
即是直线上的点，
当时，，，
当时，，，
的路程是以，为端点的线段的长，
的路程为． 

【解析】由得，，而线段中点，有，可解得的值为，的值是；
连接，根据，为的中点，，可得，知，用待定系数法可得直线解析式为，即可得；
根据题意得，，，因为的中点，，，得，从而知是直线上的点，当时，，，当时，，，的路程是以，为端点的线段的长，故的路程为．
本题考查一次函数的综合应用，涉及线段中点坐标公式，等腰三角形判定与性质，待定系数法等知识，解题的关键是求出点是直线上的点．
 

26.【答案】解：由翻折变换的性质可知，，，
，
，
，
，
，
；
如图，连接，

，，
，
，
，
，
由翻折变换的性质可知，，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
；

如图中，连接．

线段，线段关于对称，
与的交点在对称轴上，，设交点为，．
，
，
，
，
，
若，
，
，
，，
≌，
与已知，矛盾．
若，
，
，
中，，
，
此种情形不存在．
若，
，
，
解得负根已经舍去，
综上所述，的值为． 

【解析】由折叠的性质可得，，由余角的性质和等腰三角形的性质可求解；
先证四边形是菱形，由菱形的面积公式可求解；
因为与，与关于对称，所以与的交点在对称轴上，，设交点为，由，推出，，分三种情形：若若若，分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．