人教A版（2019）高中数学必修第一册第五章《三角函数》单元测试卷（困难）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学必修第一册第五章《三角函数》单元测试卷

考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 给出下列命题：
   第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
   不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
   若，则与的终边相同；    若，则是第二或第三象限的角．
   其中正确说法的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知角的终边经过点则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，已知以直角边、为直径的半圆的面积之比为，记，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 关于函数，有下述四个结论：

是偶函数                                                   
在区间单调递增
在有个零点                                  
的最大值为

其中所有正确结论的编号是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若函数在上为增函数，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 将函数的图象先左移，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的，所得图象的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 已知函数，若方程在上有且只有三个实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有(    )

A.
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为

10. 下列说法中，正确的是(    )

A. 化简 的结果是
B. 若，则
C. 已知，则
D. 的值为

11. 如图，已知函数其中，，的图象与轴交于点，与轴交于点，，，则下列说法正确的有(    )

A. 的最小正周期为 B.
C. 的最大值为 D. 在区间上单调递增

12. 在中，若，角的平分线交于，且，则下列正确的是

A. 若，则的面积是
B. 若，的外接圆半径是
C. 若，则
D. 的最小值是

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 集合中，角所表示的取值范围阴影部分正确的是__________填序号．

14. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则等于__________
15. 计算：          ．
16. 给出下列个命题：

若是第二象限角，则是第一或第三象限角

若，则；

与角终边相同角的集合是；

将函数的图像向左平移个单位可得到函数的图像；

若是周期为的函数，则的周期为，

其中正确的命题是          写出所有正确命题的编号．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知半径为的圆中，弦的长为．

求弦所对圆心角的大小；
求所在的扇形的弧长及弧所在的弓形的面积．

18. 已知角的终边经过单位圆上的点

求的值

求的值．

19.  已知函数的最大值为，最小值为．

求，的值

求函数取得最大值时的值．

20. 已知向量，函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为． 求的解析式；
    若且，求的值．
21. 如图所示，一个水轮的半径为，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈，如果当水轮上的点从水中浮现图中点时开始计算时间．
    
    求动点距水面的高度单位：米与时间单位：秒的函数关系与满足正弦函数模型
    在水轮的一圈转动中，求点露出水面的时长？
22. 函数的部分图象如图所示．

求函数的解析式；

若将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递减区间．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了任意角的概念与三角函数的定义和应用问题，是基础题．根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：对于，根据任意角的概念知，
第二象限角不一定大于第一象限角，错误；
对于，三角形的内角，
是第一象限角或第二象限角，或轴正半轴角，错误；
对于，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，
它们与扇形所对半径的大小无关，正确；
对于，若，则与的终边相同，
或关于轴对称，错误；
对于，若，则是第二或第三象限的角，
或终边在负半轴上，错误；
综上，其中正确命题是，只有个．
故选A．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查任意角的三角函数，同角间的基本关系式．
利用三角函数的定义求出正切值，再利用同角间的基本关系式求解即可．

【解答】

解：由已知得，
故
．
故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题在实际问题背景下考查同角三角函数关系．
先根据面积比得到，从而得到，再根据同角三角函数关系求解，即可得到答案

【解答】

解：以直角边，为直径的半圆的面积分别为：
，
，
由面积之比为，得：，即，
在中，，
则，
故选A

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题先由已知求出，再利用三角函数的定义，即可求出结果．
【解答】
解：因为，，
所以，所以，
则．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象和性质，属于拔高题．
根据题意，得出函数是偶函数，判断；得出在区间为减函数，判断；
研究函数在上的零点个数，来判断；求出的最大值来判断；即可得解．

【解答】

解：，且的定义域为，
则函数是偶函数，故正确；
当时，，，
则当时，，则在区间为减函数，故错误；
画出函数的图象，
当时，，
由，得，即或，
由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在有个零点，故错误；
当且时，取得最大值，故正确，
故正确的是，
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的图象与性质，属基础题．
依题意，根据二倍角公式及辅助角公式得，结合三角函数的图象与性质即可求得结果．
【解答】
解：，
令，得，故．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：函数，其图象先左移个单位，得的图象；
再纵坐标不变，横坐标缩为原来的，得函数的图象；
所以函数的解析式为
故选：．
根据题意化函数，再进行图象平移变换，即可得出结论．
本题考查了三角恒等变换与三角函数图象与性质的应用问题，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的图象与性质，考查两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
根据两角和与差的三角函数公式将函数恒等变形，化为正弦型函数，进而根据函数的图象与性质即可求出结果．
【解答】
解：，
令得，
即，
所以或，
所以或，
当取正数时，从小到大依次为：

因为在上有且只有三个实数根，
所以，
所以，
故选A．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的性质以及对勾函数性质在解三角形中的综合应用，属于较难题目．
由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断；由题意可得范围，可得，即可判断；由正弦定理，二倍角公式可求，结合的范围，利用余弦函数的性质即可判断；
利用三角函数恒等变换的应用化简可得，结合角的范围，由对勾函数性质即可求解．

【解答】

解：，又由余弦定理，
即，
所以，所以，即，
由正弦定理可得，
又，
，
即，
，
，，为锐角，
，即，故选项A正确
，
，，故选项B错误
    ， ，故选项C正确；
    ，
又  ， ，
令， ，则 ， ，
由对勾函数性质可知， 在 ，上单调递增，
又    ， ，
   ，，故选项D错误．
故选AC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数化简求值，属于中档题．
利用诱导公式及同角三角函数关系式求解．

【解答】

解：当为偶数时，设，
则原式 
．
当为奇数时，设，
则原式 

，
 综上，原式的值为．
故A错误．
B.
．
故B正确．
C. 

故C正确．
D.


．
故D正确．
故选BCD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象和性质，涉及向量的坐标运算，属于中档题．
由函数的图象以及，，，，求出，，坐标，代入解析式，求出，，的值，再利用正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：由题意可得：，
，，
，，，．
，，
，，
把代入上式可得：，．
解得，，可得周期，故A正确．
，，解得，故B错误．
，，解得．
函数，故C正确．
时，，，可得：函数在单调递增．
综上可得：ACD正确．
故选ACD．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角的正弦定理、三角形面积的应用，以及三角的两角和差公式、二倍角公式以及三角函数的性质，属于较难题．
先根据题意以及三角形的正弦定理和面积公式，即可判断前三个选项的正误，再根据三角函数的正弦定理以及三角函数的性质、两角和差公式、二倍角公式即可判断最后一个选项的正误．
【解答】
解：由题意得若，
是的平分线，
，
在中，
，
，
由正弦定理得：

，
即，
，
在中，
，
由正弦定理得，
即，
，

，故A正确；
的外接圆的直径为，故B错误；
，故C正确；
对于，设，，
则，
由正弦定理得：
，
，

，

令
，



即，故D正确．
故选ACD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了任意角的概念，是基础的概念题．
分为偶数、奇数即可得答案．

【解答】

解：集合中，
当为偶数时，集合为 ，
当为奇数时，集合为 ，
符合题意的只有 
故答案为 ．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查诱导公式的应用、三角函数的定义及同角三角函数之间的关系，考查计算能力，属于基础题．

利用已知条件求出的正切函数值，通过诱导公式及同角三角函数之间的关系即可求出结果． 

【解答】

解：因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，
所以，

因此．

故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．
将所求式子中的角变形为，然后利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．

【解答】

解：．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数中的相关概念的运用，涉及了象限角，终边相同的角，诱导公式等概念，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
根据题中各个选项所给出的命题，利用所学过的象限角，终边相同的角，诱导公式，图像变换，周期等相关知识进行分析判断，即可得到答案．

【解答】

解：角是第二象限的角，，，，
故是第一象限或第三象限的角，故正确
当为奇数时，，，则，
当为偶数时，，，，故正确
根据终边相同的角的定义，是整数，不正确， 不正确
将函数的图像向左平移个单位可得，故正确
若是周期为的函数，则的周期为，故错误
故正确的命题为．
故答案为：．

17.【答案】解：由圆的半径，知是等边三角形，
．
由可知，，弧长，
，而，
． 

【解析】本题考查扇形弧长公式，以及扇形面积公式，考查计算能力．属于基础题．
通过三角形的形状判断圆心角的大小，即可求弦所对的圆心角的大小；
直接利用弧长公式求出所在的扇形的弧长，利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得到所在的弓形的面积．
 

18.【答案】解：点在单位圆上，
由正弦的定义得．

原式，

由余弦的定义得，
故原式．

【解析】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题．
利用任意角的三角函数的定义，求得的值．
利用三角函数的诱导公式进行化简，再根据已知求出、，代入即可求解．
 

19.【答案】解：函数，定义域为，
，
当时，，
；
当时，，
；
故，或，
由可知，
则函数，定义域为，
则当时，．
故函数取得最大值时的值为． 

【解析】本题考查了三角函数的最值问题，属于基础题．
根据正弦函数的值域，讨论的范围即可求解；
由可知函数的解析式，即可求解．
 

20.【答案】解：


，
，
即


，




． 

【解析】本题考查两角和与差的三角函数及二倍角公式，同时考查数量积的运算及正弦函数的性质．
由图象相邻两条对称轴之间的距离为可得，利用两个向量的数量积公式，可求得函数的解析式．
利用中的函数解析式得到时，利用两角和与差的余弦公式解答即可．
 

21.【答案】解：建立如图所示的直角坐标系，设角是以为始边，为终边的角，
每秒钟所转过的角为，则在时间内所转过的角为，
由题意可知水轮逆时针转动，得，
当时，，得，即，
故所求的函数关系式为．

由点露出水面，即．
即，
可得
解得：，
，，
．
在水轮转动的一圈内，有的时间点露出水面． 

【解析】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，考查三角函数的最值，周期，解析式，为中档题．
先建立直角坐标系，则，根据的最大和最小值求得和，利用周期求得，当时，，进而求得的值，则函数的表达式可得；
由于最大值为，即可求得的范围，得到所求．
 

22.【答案】解：由图可知，，所以．
因为，所以，所以
又，所以，
即，，因为，
所以，故
由题可知，
令，，
所以，，
即，，
所以单调递减区间为，， 

【解析】本题主要考查了的图象与性质，属于基础题．
由图象求得，再由求得，代点求．
先由平移变换求得的解析式，再由的性质求得单调递减区间．