初中数学人教版九年级上册24.2 点和圆、直线和圆的位置关系综合与测试导学案

设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：

二．切线的性质及判定

1. 切线的性质

（1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心

①过圆心，过切点垂直于切线．过圆心，过切点，则．

②过圆心，垂直于切线过切点．过圆心，，则过切点．

③过切点，垂直于切线过圆心．，过切点，则过圆心．

2. 切线的判定

（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

（2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

（3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．

3. 切线长和切线长定理

（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

（2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

三．三角形的内切圆

1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系

设．．分别为中．．的对边，面积为，则内切圆半径为，其中．若，则．

1．理解直线与圆的位置关系；

2．能够证明切线及利用切线解决相关问题．

切线（tangent line ）

几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确的说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的，此时，“切线在切点附近的部分”最接近“曲线在切点附近的部分”（无限逼近思想）。tangent在拉丁语中就是to touch的意思。类似的概念也可以推广到平面相切等概念中。

曲线切线和法线的定义

P和Q是曲线C上邻近的两点，P是定点，当Q点沿着曲线C无限地接近P点时，割线PQ的极限位置PT叫做曲线C在点P的切线，P点叫做切点；经过切点P并且垂直于切线PT的直线PN叫做曲线C在点P的法线（无限逼近的思想）

说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，但它却不是曲线C的切线．

模版一  直线与圆位置关系的确定

【例1】         已知的面积为，若点到直线的距离为，则直线与的位置关系是（  ）

A．相交    B．相切    C．相离    D．无法确定

【巩固】如果一个圆的半径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（  ）

A．相离    B．相交    C．相切    D．不能确定

【巩固】已知⊙O的半径为，点是直线上一点，长为，则直线与的位置关系为（  ）

    A．相交    B．相切    C．相离    D．相交．相切．相离都有可能

【巩固】中，，，．给出下列三个结论：

（1）以点为圆心，2.3 cm长为半径的圆与相离；

（2）以点为圆心，2.4 cm长为半径的圆与相切；

（3）以点为圆心，2.5 cm长为半径的圆与相交；

则上述结论中正确的个数是（  ）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

【拓展】已知：点到直线的距离为，以点为圆心，为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线的距离均为，则半径的取值范围是（  ）

A．    B．    C．    D．

【例2】         如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）

A．相离    B．相切    C．相交    D．无法确定

【巩固】如图，在直角梯形中，，，且，是的直径，则直线与的位置关系为（   ）

 A．相离    B．相切    C．相交    D．无法确定

【巩固】正方形中，点是对角线上的任意一点（不包括端点），以为圆心的圆与相切，则与的位置关系是（   ）

A．相离    B．相切    C．相交    D．不确定

【拓展】如图，矩形（）与矩形全等，点在同一条直线上，的顶点在线段上移动，使为直角的点的个数是（   ）

A．0    B．1    C．2    D．3

【巩固】已知在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径作，则直线（）与的位置关系是（   ）

A．相切    B．相交    C．相离    D．与值有关

【例3】         如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为1，为轴上一动点，切点，则当最小时，点的坐标为（   ）

A．（﹣4，0）               B．（﹣2，0）    

C．（﹣4，0）或（﹣2，0）    D．（﹣3，0）

【巩固】如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与、分别相交于点、，则线段长度的最小值是（     ）

A．    B．    C．    D．8

【巩固】如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是

A．2        B．1              C．            D．

模版二  切线的性质及判定

☞切线的性质

【例4】         如图，与相切于点，线段与弦垂直于点，，，则切线________．

【巩固】如图，若的直径与弦的夹角为，切线与的延长线交于点，且的半径为2，则的长为（    ）

A．  B．  C．2  D．4

【巩固】如图，是半圆的直径延长线上一点，切半圆于点，于，若，，则___________．

☞切线的判定

【例5】         如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，若．

判断直线和的位置关系，并给出证明；

【巩固】如图，已知的弦垂直于直径，垂足为，点在上，且，延长到点，连结，若，试判断与的位置关系，并说明理由．

【巩固】已知：如图，内接于，是过的一条射线，且．求证：是的切线．

【巩固】已知：如图，是的直径，为上一点，过点，于，平分．求证：为的切线．

☞求线段长

【例6】         已知：如图，中，，是的切线，以为直径的交于点，于点．若，，求的值．

【巩固】如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，连接，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，求的长．

【巩固】如图，的直径，弦．过点作直线，使．延长交于点，求的长．

1．     如图所示在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，以的长为半径画圆．求证：（1）是的切线；（2）．

2．     已知：如图，为上一点，交于，连结，且．

求证：（1）为的切线；（2）．

3．     如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的长．

4．          已知，点在的平分线上，，以为圆心3cm为半径作圆，则与的位置关系是________．

5．          如图，以等腰中的腰为直径作，交于点．过点作，垂足为．

（1）求证：为的切线；

（2）若的半径为5，，求的长．