人教A版高中数学必修第一册章末质量检测(四)指数函数与对数函数含答案

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  章末质量检测(四)　指数函数与对数函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.等于(　　)A．lg 9－1　 B．1－lg 9C．8        D．2解析：因为lg 9＜lg 10＝1，所以＝1－lg 9.答案：B2．函数y＝的定义域是(　　)A．(－∞，2)        B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞)  D．(2,4)∪(4，＋∞)解析：由得x＞2且x≠3，故选C.答案：C3．函数f(x)＝的值域是(　　)A．(－∞，1)  B．(0,1)C．(1，＋∞)  D．(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：∵3x＋1＞1，∴0＜＜1，∴函数值域为(0,1)．答案：B4．函数f(x)＝xln x的零点为(　　)A．0或1  B．1C．(1,0)   D．(0,0)或(1,0)解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝0得x＝0或ln x＝0，即x＝0或x＝1.又因为x∈(0，＋∞)，所以x＝1.故选B.答案：B5．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是(　　)A．0个  B．1个C．2个  D．3个解析：设f(x)＝0.9x－x，则f(x)为减函数，值域为R，故f(x)有1个零点，∴方程0.9x－x＝0有一个实数解．答案：B6．已知log32＝a,3b＝5，则log3用a，b表示为(　　)A.(a＋b＋1)  B.(a＋b)＋1C.(a＋b＋1)  D.a＋b＋1解析：因为3b＝5，所以b＝log35，log3＝log330＝(log33＋log32＋log35)＝(1＋a＋b)．答案：A7．已知a＝5，b＝5，c＝()，则(　　)A．a＞b＞c  B．b＞a＞cC．a＞c＞b  D．c＞a＞b解析：c＝5log3只需比较log23.4，log43.6，log3的大小，又0＜log43.6＜1，log23.4＞log33.4＞log3＞1，所以a＞c＞b.答案：C8．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)解析：方法一　当a＞1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0＜a＜1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，排除A.由于y＝xa递增较慢，所以选D.方法二　幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知0＜a＜1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D对；C项中由对数函数f(x)＝logax的图象知a＞1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．答案：D9．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)A．y＝a(1＋5%x)   B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1  D．y＝a(1＋5%)x解析：经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.答案：D10．设函数f(x)＝x与g(x)＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间为(　　)A．(0,1)  B．(1,2)C．(2,3)  D．(3,4)解析：令h(x)＝x－(3－x)，则f(0)＝－2，f(1)＝－，f(2)＝－，f(3)＝.故h(x)的零点在(2,3)内，因此两函数图象交点在(2,3)内．选C.答案：C11．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：x1357911y151356251 7153 6356 655y25292452 18919 685177 149y356.106.616.957.207.40则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)A．y1，y2，y3  B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1  D．y3，y1，y2解析：三种常见增长型函数中，指数型函数呈爆炸式增长，而对数型函数增长越来越慢，幂函数型函数介于两者之间，结合题表，只有C符合上述规律，故选C.答案：C12．已知函数f(x)＝|x|＋1，g(x)＝k(x＋2)．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)A.  B.C．(1,2)  D．(2，＋∞)解析：作出f(x)，g(x)图象，如图．因为A(0,1)，B(－2,0)，kAB＝＝，要使方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，由图可知，＜k＜1.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．设f(x)＝则f(f(2))＝________.解析：因为f(2)＝log3(22－1)＝1，所以f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.答案：214．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.答案：－15．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．解析：由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝e，∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.答案：2ln 2　1 02416．已知0<a<1，k≠0，函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．解析：函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点，分k>0和k<0作出函数f(x)的图象．当0<k<1时，函数y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点；当k＝1时，有一个交点；当k>1或k<0时，没有交点，故当0<k<1时满足题意．答案：(0,1)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)计算：(1) －(－0.96)0－＋1.5－2＋[(－)－4]；(2)÷100＋7.解析：(1)原式＝－1－＋－2＋[()－4] ＝－1－－2＋－2＋()3＝＋2＝.(2)原式＝－(lg 4＋lg 25)÷100＋14＝－2÷10－1＋14＝－20＋14＝－6.18．(12分)设函数f(x)＝求函数g(x)＝f(x)－的零点．解析：求函数g(x)＝f(x)－的零点，即求方程f(x)－＝0的根．当x≥1时，由2x－2－＝0得x＝；当x<1时，由x2－2x－＝0得x＝(舍去)或x＝.所以函数g(x)＝f(x)－的零点是或.19．(12分)已知f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)．(1)求函数f(x)的定义域．(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以说明．(3)求f的值．解析：(1)由得即－1<x<1.所以函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}．(2)函数f(x)为偶函数．证明如下：因为函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，又因为f(－x)＝log2[1＋(－x)]＋log2[1－(－x)]＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝f(x)，所以函数f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)为偶函数．(3)f＝log2＋log2＝log2＝log2＝log2＝－1.20．(12分)已知函数f(x)＝a3－ax(a>0且a≠1)．(1)当a＝2时，f(x)<4，求x的取值范围．(2)若f(x)在[0,1]上的最小值大于1，求a的取值范围．解析：(1)当a＝2时，f(x)＝23－2x<4＝22,3－2x<2，得x>.(2)y＝3－ax在定义域内单调递减，当a>1时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，f(x)min＝f(1)＝a3－a>1＝a0，得1<a<3.当0<a<1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)min＝f(0)＝a3>1，不成立．综上：1<a<3.21．(12分)若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．解析：(1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，函数必有一个零点－1.(2)若a≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax2－x－1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.综上，当a＝0或－时，函数只有一个零点．22．(12分)某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四月的污染度如下表：月数1234…污染度6031130…污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．(1)选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60?解析：(1)用h(x)模拟比较合理，理由如下：因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5，由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．(2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，又因为h(16)＝60，故整治后有16个月的污染度不超过60.