数学人教版第二十三章 旋转综合与测试同步训练题

几何旋转综合题练习

1、如图，已知是等边三角形.

（1）如图（1），点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC.将绕点C顺时针旋转60°至,连接EF.猜想线段AB,DB,AF之间的数量关系;

（2）点E在线段BA的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB,DB,AF之间的数量关系;

（3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明.

2、如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED＝∠ACB＝90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点

(1) 求证：MN⊥CE

(2) 如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°，求证：CE＝2MN

3、在等腰Rt△ABC和等腰Rt△A1B1C1中,斜边B1C1中点O 也是BC的中点。

(1)如图1，则AA1与CC 1的数量关系是         ；位置关系是         。

(2)如图2，将△A1B1C1绕点O 顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。

(3)如图3，在（2）的基础上，直线AA1、CC1交于点P，设AB=4，则PB长的最小值是          。

4、已知，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD延长线上一点，AE＝BD．将△ABE绕点A顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB′E′，点B、E的对应点分别为B′、E′

(1) 如图1，当α＝30°时，求证：B′C＝DE

(2) 连接B′E、DE′，当B′E＝DE′时，请用图2求α的值

(3) 如图3，点P为AB的中点，点Q为线段B′E′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ长度的取值范围为_______________

5、如图P为等边△ABC外一点，AH垂直平分PC于点H，∠BAP的平分线交PC于点D

(1) 求证：DP＝DB

(2) 求证：DA＋DB＝DC

(3) 若等边△ABC边长为，连接BH，当△BDH为等边三角形时，请直接写出CP的长度为_________

6、如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=900，点B、E、F，按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF

    (1)如图①，点E在BC上，则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．

    (2)如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a(O<a<450)，则线段PC，PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．

    (3)如图③，若AB=1，△AEF为等腰直角三角形，且∠A EF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是________．

图①                  图②                           图③

7、已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDF，其中D、G分别为斜边AB、EF的中点，连CE，又M为BC中点，N为CE的中点，连MN、MG

(1) 如图1，当DE恰好过M点时，求证：∠NMG＝45°，且MG＝MN

(2) 如图2，当等腰Rt△EDF绕D点旋转一定的度数时，第(1)问中的结论是否仍成立，并证明

(3) 如图3，连BF，已知P为BF的中点，连CF与PN，直接写出＝______

8、已知：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于D，AB=10，将CD绕着D点顺时针旋转a（0°<a<90°）到DP的位置，作PQ⊥CD于Q，点I是△PQD角平分线的交点，连IP，IC，

（1）如图1，在PD旋转的过程中，线段IC与IP之间是否存在某种确定不变的关系？请证明你的猜想。

（2）如图2：连IA，当AI⊥DP时，求DQ的长。

（3）如图3，若取BC的中点M，连IM，当PD旋转过程中，线段IM的长度变不变？若不变请求出其值；若变化，求出其变化范围。

                          参考答案

1、答案：(1)AB=AF+BD;                         …………2分

      (2)如图（2）中的实线图，AB=AF-BD;           …………4分

(3)如图(1)，过点E作EG∥BC交AC于点G,得△AEG为等边三角形

∵DE=CE,∴∠CDE=∠ECD,

又∵∠CDE+∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+∠GCE，∴∠BED=∠GCE…………6分

又∵BE=CG,DE=CE

∴△BDE≌△GEC   ∴BD=EG=AE

又∵AF=BE ∴AB=BE+AE=AF+BD                                …………8分

如图（2），过点E作EG∥BC交AC于点G,得△AEG为等边三角形

∵DE=CE,∴∠CDE=∠ECD,

又∵∠CDE-∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD-∠GCE，∴∠BED=∠GCE   …………6分

又∵BE=CG,DE=CE

∴△BDE≌△GEC   ∴BD=EG=AE

又∵AF=BE  ∴AB=BE-AE=AF-BD                                ………8分

2、答案：（1）连EM并延长，使MF=EM，连BF，易证△EDM≌△FBM，从而易证等腰Rt△EAC≌Rt△FBC，易得Rt△ECF，∴MN⊥CE

(2)同样，证△EDM≌△FBM，∴∠EAC+∠EDB+∠DBC=360°，∠MBF+∠FBC+∠DBC=360°，而∠EDB=∠MBF，∴∠EAC=∠FBC，易证△EAC≌△FBC，易得等腰Rt△ECF，CE=2MN

3、答案：（2）中点连顶点，易证△≌△

(3)易得PC⊥，∴以AC为斜边的Rt△，斜边不变，取AC中点，BP最小=PM-AC=2-2

4、答案：

证明：(1) 连接EC

    由正方形的对称性可知，EA＝EC

    连接AC、B′C

    ∴EA＝AC

    ∴△ACE为等边三角形

    ∴∠DAE＝60°－45°＝15°

    由旋转可知，∠BAB′＝30°

    ∴∠B′AC＝15°

    ∴△ADE≌△AB′C（SAS）

    ∴B′C＝DE

    (2) 由旋转可知，AB′＝AD＝AB，AE＝AE′

    在△AB′E和△ADE′中

    ∴△AB′E≌△ADE′（SSS）

    ∴∠B′AE＝∠DAE′

    ∴∠EAE′＝∠DAB′

    由旋转可知：∠BAB′＝∠EAE′

    ∴∠ADB′＝∠BAB′＝45°

    即α＝45°

    (3) 过点A作AM⊥B′E′

    由(1)可知：∠B′＝45°，∠E＝30°

    ∴AM＝，AE′＝

    ∴－2≤PQ≤＋2

5、答案：

证明：(1) ∵AH是PC的垂直平分线

    ∴PA＝PC＝AB

    ∵AD平分∠PAB

    ∴∠PAD＝∠BAD

    在△PAD和△BAD中

    ∴△PAD≌△BAD（SAS）

    ∴DP＝DB

    (2) 在CP上截取CQ＝PD，连接AQ

    ∵AP＝AC

    ∴∠APD＝∠ACQ

    在△APD和△ACQ中

    ∴△APD≌△ACQ（SAS）

    ∴AD＝AQ，∠CAQ＝∠PAD

    ∴∠BAC＝∠CAQ＋∠BAQ＝∠PAD＋∠BAQ＝∠BAD＋∠BAQ＝∠DAQ＝60°

    ∴△ADQ为等边三角形

    ∴AD＝DQ

    ∴CD＝DQ＋CQ＝AD＋DB

    (3) （提示：设DP＝DB＝DH＝x，则CH＝2x，CD＝3x，AD＝CD－DB＝2x）

6、答案：（1）FP=PC，FP⊥PC(用Rt△的中线及换角得出)

（2）方法一：（中点+中点构造中位线）

如图，构造以B点为直角的等腰Rt△BEG和Rt△BHD

易证△BDG≌△BEH,FPGD,PCEH，∵GD⊥EH，∴FP=PC，FP⊥PC

方法二：（中线倍长，构造全等）

延长CP至H，使PH=PC，连HE，HF，FC

易证△HEP≌△CDP，∴HECD，由“X”型易得∠FBC=∠FEH，∴△FBC≌△FBH，∴FH=FC，∠BFC=∠EFH，∠BFC-∠EFC=∠EFH-∠EFC=90°，∴Rt△HFC中FP⊥PC

（3）面积法

x=3x2x    ∴x=

7、答案：（1）连DG，由对称性可知（中垂线上的点）D、C、G三点共线，Rt△CME中，MN=EC，NG=EC，∠MNG=2∠MEG=90°，∴△MNG为等腰Rt△，即证.

（2）连DC、CF、BE、NG，易证△DBE≌△DCF，BE=CF，CF⊥BE（垂直交叉“X” 型得），

∴MNBE，NGCF，MN=NG，MN⊥NG，∴△MNG为等腰Rt△

（3）取BC的中点M，连PM、MN、DC，同样证△DBE≌△DCF，易得△PMN为等腰Rt△，PM=CF，

8、答案：（1）垂直且相等

 连DI，易证△DIC≌△DIP，∴IP=IC. 过I作IE⊥QP于E，IF⊥CD于F，∵IE=IF，∴Rt△CIF≌Rt△PIE，易证CI⊥PI

（2）由等腰得AD=AI=5，设IH=x，则AH=5-x，DH=AD+2x-AH=3x，∴+=，

     ∴x=0（舍去），x=1，∴AH=4，∴DQ=4

(3)                  互补，三点一线