江苏省常州市五年（2018-2022）中考数学真题题型知识点汇编：03填空题中档题、提升题

江苏省常州市五年（2018-2022）中考数学真题题型知识点汇编：03填空题中档题、提升题

一．有理数的减法（共1小题）

1．（2018•常州）计算：|﹣3|﹣1＝　   　．

二．科学记数法—表示较大的数（共1小题）

2．（2020•常州）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为 　   　．

三．等边三角形的性质（共1小题）

3．（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝　   　°．

四．含30度角的直角三角形（共1小题）

4．（2021•常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是AB上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是 　   　．

五．勾股定理的应用（共2小题）

5．（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC　   　断裂（填“会”或“不会”，参考数据：≈1.732）．

6．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是 　   　．

六．三角形中位线定理（共1小题）

7．（2020•常州）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为　   　．

七．平行四边形的性质（共1小题）

8．（2018•常州）如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，则∠CDB＝　   　．

八．矩形的性质（共1小题）

9．（2019•常州）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝　   　．

九．三角形的外接圆与外心（共2小题）

10．（2022•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是 　   　．

11．（2018•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°，的长是，则⊙O的半径是　   　．

一十．切线的性质（共1小题）

12．（2019•常州）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝　   　．

一十一．图形的剪拼（共1小题）

13．（2021•常州）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC的面积是 　   　．

一十二．相似三角形的性质（共1小题）

14．（2018•常州）如图，在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是　   　．

一十三．概率公式（共1小题）

15．（2018•常州）中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称．在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是　   　．

参考答案与试题解析

一．有理数的减法（共1小题）

1．（2018•常州）计算：|﹣3|﹣1＝　2　．

【解答】解：原式＝3﹣1＝2．

故答案为：2

二．科学记数法—表示较大的数（共1小题）

2．（2020•常州）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为 　6.4×103　．

【解答】解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．

故答案为：6.4×103．

三．等边三角形的性质（共1小题）

3．（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝　30　°．

【解答】解：∵EF垂直平分BC，

∴BF＝CF，

∴∠B＝∠BCF，

∵△ACF为等边三角形，

∴∠AFC＝60°，

∴∠B＝∠BCF＝30°．

故答案为：30．

四．含30度角的直角三角形（共1小题）

4．（2021•常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是AB上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是 　＜AD＜2　．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，

∴AB＝2，

设Rt△ABC的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，

①当点D是直角顶点时，过点D作AB的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以AD长为直径的圆与直角边的交点，

如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意；

当以AD为直径的圆与BC相切时，如图所示，

设圆的半径为r，即AF＝DF＝EF＝r，

∵EF⊥BC，∠B＝30°，

∴BF＝2EF＝2r，

∴r+2r＝2，解得r＝；

∴AD＝2r＝；

综上，AD的长的取值范围为：＜AD＜2．

故答案为：＜AD＜2．

五．勾股定理的应用（共2小题）

5．（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC　不会　断裂（填“会”或“不会”，参考数据：≈1.732）．

【解答】解：设AC与BD相交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，

∵∠BAD＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD＝AB＝20cm，

∴DO＝BD＝10（cm），

在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），

∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），

∵34.64cm＜36cm，

∴橡皮筋AC不会断裂，

故答案为：不会．

6．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是 　21　．

【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．

在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，

∴DE＝＝＝5，

在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，

∴AB＝＝＝15，

∵•DF•EF＝•EF•GF，

∴FG＝，

∴BG＝＝＝，

∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，

∴F′H＝FG＝，

∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，

∵BF∥AC，

∴＝＝，

∴BM＝AB＝，

同法可证AN＝AB＝，

∴MN＝15﹣﹣＝，

∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，

故答案为：21．

六．三角形中位线定理（共1小题）

7．（2020•常州）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为　4或2　．

【解答】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．

∵DG⊥BF，BT⊥BF，

∴DG∥BT，

∵AD＝DB，AE＝EC，

∴DE∥BC，

∴四边形DGBT是平行四边形，

∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，

∵AD＝DB＝3，

∴BH＝DH＝3，

∵∠TBF＝∠BHF＝90°，

∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，

∴∠TBH＝∠F，

∴tan∠F＝tan∠TBH＝＝＝，

∴＝，

∴TH＝1，

∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，

∴BG＝4．

当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．

故答案为4或2．

七．平行四边形的性质（共1小题）

8．（2018•常州）如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，则∠CDB＝　40°　．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C＝70°，

∵DC＝DB，

∴∠C＝∠DBC＝70°，

∴∠CDB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，

故答案为40°．

八．矩形的性质（共1小题）

9．（2019•常州）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝　6或　．

【解答】解：分两种情况：

①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图1所示：

则∠PFM＝∠PFN＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，

∴AB＝CD＝，BD＝＝10，

∵点P是AD的中点，

∴PD＝AD＝，

∵∠PDF＝∠BDA，

∴△PDF∽△BDA，

∴＝，即＝，

解得：PF＝，

∵CE＝2BE，

∴BC＝AD＝3BE，

∴BE＝CD，

∴CE＝2CD，

∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，

∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，

∵∠PFN＝∠C＝90°，

∴△PNF∽△DEC，

∴＝＝2，

∴MF＝NF＝2PF＝3，

∴MN＝2NF＝6；

②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图2所示：

由①得：PF＝，MF＝3，

设MN＝PN＝x，则FN＝3﹣x，

在Rt△PNF中，（）2+（3﹣x）2＝x2，

解得：x＝，即MN＝；

综上所述，MN的长为6或；

故答案为：6或．

九．三角形的外接圆与外心（共2小题）

10．（2022•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是 　1　．

【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠ADC＝∠ABC＝45°，

∴AD＝＝＝2，

∴⊙O的半径是1，

故答案为：1．

11．（2018•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°，的长是，则⊙O的半径是　2　．

【解答】解：连接OB、OC．

∵∠BOC＝2∠BAC＝120°，的长是，

∴＝，

∴r＝2，

故答案为2．

一十．切线的性质（共1小题）

12．（2019•常州）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝　　．

【解答】解：连接OB，设切点为D，连接OD，则OD⊥BC，

∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，

∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，

∴tan∠OBC＝，

∴BD＝＝＝3，

∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，

∴tan∠OCB＝＝．

故答案为．

一十一．图形的剪拼（共1小题）

13．（2021•常州）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC的面积是 　12　．

【解答】解：由题意，BG＝CH＝AF＝2，DG＝DF，EF＝EH，

∴DG+EH＝DE＝3，

∴BC＝GH＝3+3＝6，

∴△ABC的边BC上的高为4，

∴S△ABC＝×6×4＝12，

解法二：证明△ABC的面积＝矩形BCHG的面积，可得结论．

故答案为：12．

一十二．相似三角形的性质（共1小题）

14．（2018•常州）如图，在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是　3≤AP＜4　．

【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，

此时0＜AP＜4；

如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，

此时0＜AP≤4；

如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，

此时，△CPG∽△CBA，

当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即22＝CP×4，

∴CP＝1，AP＝3，

∴此时，3≤AP＜4；

综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．

故答案为：3≤AP＜4．

一十三．概率公式（共1小题）

15．（2018•常州）中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称．在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是　　．

【解答】解：∵圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称，

∴圆中的黑色部分和白色部分面积相等，

∴在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是，

故答案为：．