江苏省常州市五年（2018-2022）中考数学真题题型知识点汇编：06解答题提升题

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（1）求点A的坐标；
（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y＝kx+b的表达式．
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；
（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图像向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图像，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝ ，实数k的取值范围是 ；
（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图像上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求∠ACB的度数．
3．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝ ；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．
4．（2018•常州）如图，二次函数y＝﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．
（1）b＝ ，点B的坐标是 ；
（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．
三．作图—复杂作图（共1小题）
5．（2018•常州）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE＝∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M＝90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM＝∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G＝60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？
四．作图-旋转变换（共1小题）
6．（2020•常州）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．
（1）点F到直线CA的距离是 ；
（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为 ；
②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．
五．解直角三角形的应用（共1小题）
7．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160m，CD＝40m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．
六．列表法与树状图法（共1小题）
8．（2018•常州）将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）．
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2018•常州）如图，已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC＝OC．一次函数y＝kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．
（1）求点A的坐标；
（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y＝kx+b的表达式．
【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴，AC＝OC，
∴AC•OC＝4，
∴AC＝OC＝2，
∴点A的坐标为（2，2）；
（2）∵四边形ABOC的面积是3，
∴（OB+2）×2÷2＝3，
解得OB＝1，
∴点B的坐标为（0，1），
依题意有，
解得．
故一次函数y＝kx+b的表达式为y＝x+1．
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；
（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图像向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图像，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝ y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一） ，实数k的取值范围是 4≤k≤5 ；
（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图像上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求∠ACB的度数．
【解答】解：（1）将（﹣1，4），（1，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图：
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图像向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象，
∴新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，
∵当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，
∴3≤k﹣1≤4，
解得4≤k≤5，
∴符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式可以是y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，
故答案为：y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一），4≤k≤5；
（3）如图：
∵点A、B的横坐标分别是m、m+1，
∴yA＝﹣m2﹣2m+3，yB＝﹣（m+1）2﹣2（m+1）+3＝﹣m2﹣4m，
∴A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，m2﹣m），
∵点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴＝﹣1，AC∥x轴，
∴xC＝﹣2﹣m，
∴C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），
过B作BH⊥AC于H，
∴BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m3|，
∴BH＝CH，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴∠HCB＝45°，即∠ACB＝45°．
3．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝ ﹣4 ；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），
∴0＝1+b+3，
∴b＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）∵b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3
∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，
∴点A（0，3），3＝x2﹣4x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝4，
∴点B（4，3），
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点D坐标（2，﹣1），
如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，
∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，
∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，
∴∠BCF＝45°，
∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），
∴BC＝＝3，CD＝＝，BD＝＝2，
∵BC2+CD2＝20＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴tan∠DBC＝＝＝＝tan∠ACE，
∴∠ACE＝∠DBC，
∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，
∴∠ACB＝∠CFD，
又∵∠CQD＝∠ACB，
∴点F与点Q重合，
∴点P是直线CF与抛物线的交点，
∴0＝x2﹣4x+3，
∴x1＝1，x2＝3，
∴点P（3，0）；
当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，
∵CH⊥DB，HF＝QH，
∴CF＝CQ，
∴∠CFD＝∠CQD，
∴∠CQD＝∠ACB，
∵CH⊥BD，
∵点B（4，3），点D（2，﹣1），
∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，
∴点F（，0），
∴直线CH解析式为：y＝﹣x+，
∴，
解得，
∴点H坐标为（，﹣），
∵FH＝QH，
∴点Q（，﹣），
∴直线CQ解析式为：y＝﹣x+，
联立方程组，
解得：或，
∴点P（，﹣）；
综上所述：点P的坐标为（3，0）或（，﹣）；
（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，
∵点A（0，3），点C（1，0），
∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，
∴，
∴，
∴点N坐标为（，﹣），
∵点H坐标为（，﹣），
∴CH2＝（﹣1）2+（）2＝，HN2＝（﹣）2+（﹣+）2＝，
∴CH＝HN，
∴∠CNH＝45°，
∵点E关于直线BD对称的点为F，
∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，
∴∠ENF＝90°，
∴∠ENM+∠FNM＝90°，
又∵∠ENM+∠MEN＝90°，
∴∠MEN＝∠FNM，
∴△EMN≌△NKF（AAS）
∴EM＝NK＝，MN＝KF，
∴点E的横坐标为﹣，
∴点E（﹣，），
∴MN＝＝KF，
∴CF＝+﹣1＝6，
∵点F关于直线BC对称的点为G，
∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，
∴∠GCF＝90°，
∴点G（1，6），
∴AG＝＝．
4．（2018•常州）如图，二次函数y＝﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．
（1）b＝ ﹣ ，点B的坐标是 （，0） ；
（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在二次函数y＝﹣+bx+2的图象上，
∴﹣﹣4b+2＝0，
∴b＝﹣．
当y＝0时，有﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝，
∴点B的坐标为（，0）．
故答案为：﹣；（，0）．
（2）（方法一）当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线AC的解析式为y＝kx+c（k≠0），
将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y＝kx+c中，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+2．
假设存在，设点M的坐标为（m，m+2）．
①当点P、B在直线AC的异侧时，点P的坐标为（m﹣，m+3），
∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣x+2上，
∴m+3＝﹣×（m﹣）2﹣×（m﹣）+2，
整理，得：12m2+20m+9＝0．
∵△＝202﹣4×12×9＝﹣32＜0，
∴方程无解，即不存在符合题意得点P；
②当点P、B在直线AC的同侧时，点P的坐标为（m+，m+1），
∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣x+2上，
∴m+1＝﹣×（m+）2﹣×（m+）+2，
整理，得：4m2+44m﹣9＝0，
解得：m1＝﹣，m2＝，
∴点P的横坐标为﹣2﹣或﹣2+．
综上所述：存在点P，使得PM：MB＝1：2，点P的横坐标为﹣2﹣或﹣2+．
（方法二）当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线AC的解析式为y＝kx+c（k≠0），
将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y＝kx+c中，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+2．
过点B作BB′∥y轴交直线AC于点B′，过点P作PP′∥y轴交直线AC于点P′，如图1﹣1所示．
∵点B的坐标为（，0），
∴点B′的坐标为（，），
∴BB′＝．
∵BB′∥PP′，
∴△PP′M∽△BB′M，
∴＝＝，
∴PP′＝．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则点P′的坐标为（x，x+2），
∴PP′＝|﹣x2﹣x+2﹣（x+2）|＝|x2+x|＝，
解得：x1＝﹣2﹣，x2＝﹣2+，
∴存在点P，使得PM：MB＝1：2，点P的横坐标为﹣2﹣或﹣2+．
（3）（解法一）∠CBA＝2∠CAB，理由如下：
作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，如图2所示．
∵点B（，0），点C（0，2），
∴OB＝，OC＝2，BC＝．
设OE＝n，则CE＝2﹣n，EF＝n，
由面积法，可知：OB•CE＝BC•EF，即（2﹣n）＝n，
解得：n＝．
∵＝＝，∠AOC＝90°＝∠BOE，
∴△AOC∽△BOE，
∴∠CAO＝∠EBO，
∴∠CBA＝2∠EBO＝2∠CAB．
（解法二）∠CBA＝2∠CAB，理由如下：
将BC沿y轴对折，交x轴于点B′，如图3所示．
∵点B（，0），点C（0，2），点A（﹣4，0），
∴点B′（﹣，0），
∴AB′＝﹣﹣（﹣4）＝，B′C＝＝，
∴AB′＝B′C＝BC，
∴∠CAB＝∠ACB′，∠CBA＝∠CB′B．
∵∠AB′B＝∠CAB+∠ACB′，
∴∠CBA＝2∠CAB．
三．作图—复杂作图（共1小题）
5．（2018•常州）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE＝∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M＝90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM＝∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G＝60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？
【解答】（1）证明：如图1中，
∵EK垂直平分线段BC，
∴FC＝FB，
∴∠CFD＝∠BFD，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠CFD．
（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．
理由：∵GN垂直平分PP′，
∴QP′＝QP，∠KQP′＝∠KQP，
∵∠GQM＝∠KQP′，
∴∠GQM＝∠PQK，
∴点P即为所求．
②结论：Q是GN的中点．
理由：设PP′交GN于K．
∵∠G＝60°，∠GMN＝90°，
∴∠N＝30°，
∵PK⊥KN，
∴PK＝KP′＝PN，
∴PP′＝PN＝PM，
∴∠P′＝∠PMP′，
∵∠NPK＝∠P′+∠PMP′＝60°，
∴∠PMP′＝30°，
∴∠N＝∠QMN＝30°，∠G＝∠GMQ＝60°，
∴QM＝QN，QM＝QG，
∴QG＝QN，
∴Q是GN的中点．
四．作图-旋转变换（共1小题）
6．（2020•常州）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．
（1）点F到直线CA的距离是 1 ；
（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为 ；
②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．
【解答】解：（1）如图1中，作FD⊥AC于D，
∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．
∴∠ACB＝60°，∠FCE＝∠BAC＝30°，AC＝CF，
∴∠ACF＝30°，
∴∠BAC＝∠FCD，
在△ABC和△CDF中，
，
∴△ABC≌△CDF（AAS），
∴FD＝BC＝1，
法二：∵∠ECF＝∠FCD＝30°，FD⊥CD，FE⊥CE，
∴DF＝EF，
∵EF＝BC＝1，
∴DF＝1．
故答案为1；
（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．
S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH＝﹣＝．
故答案为．
（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．
在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，
∴EC＝EF＝，EH＝，CH＝EH＝，
在Rt△BOC中，OC＝＝，
∴OH＝CH﹣OC＝﹣，
在Rt△EOH中，则有x2＝（）2+（﹣）2，
解得x＝或﹣（不合题意舍弃），
∴OC＝＝，
∵CF＝2EF＝2，
∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．
解法二：作OG⊥EC于G，设OG＝x，则OC＝2x，CG＝x，
在Rt△OBC中，利用勾股定理，构建方程，求出x，可得结论．
五．解直角三角形的应用（共1小题）
7．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160m，CD＝40m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．
【解答】解：过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，
∴HE＝CD＝40m，
设CH＝DE＝xm，
在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，
∴BE＝xm，
在Rt△ACH中，∠BAC＝30°，
∴AH＝xm，
由AH+HE+EB＝AB＝160m，得到x+40+x＝160，
解得：x＝30，即CH＝30m，
则该段运河的河宽为30m．
六．列表法与树状图法（共1小题）
8．（2018•常州）将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）．
【解答】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能结果，
所以摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率为；
（2）画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果，
所以2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为＝．x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
0
﹣5
﹣12
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
0
﹣5
﹣12
…