江苏省常州市五年（2018-2022）中考数学真题题型知识点汇编：07解答题压轴题

这是一份江苏省常州市五年（2018-2022）中考数学真题题型知识点汇编：07解答题压轴题，共29页。试卷主要包含了阅读材料，【阅读】，，连接AC、BC等内容，欢迎下载使用。

江苏省常州市五年（2018-2022）中考数学真题题型知识点汇编：07解答题压轴题
一．一元二次方程的应用（共1小题）
1．（2018•常州）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　 　，x3＝　 　；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．

二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2021•常州）【阅读】
通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：CE　 　CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q＝，记l＝pq．
①当m＝1，n＝2时，l＝　 　；当m＝3，n＝3时，l＝　 　；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是 　 　．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

三．二次函数综合题（共2小题）
3．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）和二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作▱DEGF．
（1）填空：k＝　 　，b＝　 　；
（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；
（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S▱DEGF，求OD的长．

4．（2019•常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．
（1）b＝　 　；
（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．

四．圆的综合题（共3小题）
5．（2022•常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．
（1）沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是 　 　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．

6．（2020•常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点　 　（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为　 　；
②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．

7．（2019•常州）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆：　 　；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　 　；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．

五．几何变换综合题（共1小题）
8．（2021•常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．
（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是 　 　（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 　 　；
（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；
（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．


参考答案与试题解析
一．一元二次方程的应用（共1小题）
1．（2018•常州）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　﹣2　，x3＝　1　；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．

【解答】解：（1）x3+x2﹣2x＝0，
x（x2+x﹣2）＝0，
x（x+2）（x﹣1）＝0
所以x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0
∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；
故答案为：﹣2，1；
（2）＝x，
方程的两边平方，得2x+3＝x2
即x2﹣2x﹣3＝0
（x﹣3）（x+1）＝0
∴x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1，
当x＝﹣1时，＝＝1≠﹣1，
所以﹣1不是原方程的解．
所以方程＝x的解是x＝3；
（3）因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m
设AP＝xm，则PD＝（8﹣x）m
因为BP+CP＝10，
BP＝，CP＝
∴+＝10
∴＝10﹣
两边平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣20+9+x2
整理，得5＝4x+9
两边平方并整理，得x2﹣8x+16＝0
即（x﹣4）2＝0
所以x＝4．
经检验，x＝4是方程的解．
答：AP的长为4m．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2021•常州）【阅读】
通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：CE　＞　CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q＝，记l＝pq．
①当m＝1，n＝2时，l＝　　；当m＝3，n＝3时，l＝　1　；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是 　1　．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

【解答】解：（1）①如图1中，

∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，
∴CD2＝AD•DB，
∵AD＝a，DB＝b，CD＞0，
∴CD＝，
∵∠ACB＝90°，AE＝EB，
∴EC＝AB＝（a+b），

②∵CD⊥AB，
∴根据垂线段最短可知，CD＜CE，即（a+b）＞，
∴a+b＞2，
故答案为：＞．

（2）①当m＝1，n＝2时，l＝；当m＝3，n＝3时，l＝1，
故答案为：，1．

②猜想：l的最小值为1．
故答案为：1．
理由：如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J（，），

∵当m≠n时，点J在反比例函数图象的上方，
∴矩形JCOG的面积＞1，
当m＝n时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积＝1，
∴矩形JCOG的面积≥1，
∴•≥1，
即l≥1，
∴l的最小值为1．
三．二次函数综合题（共2小题）
3．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）和二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作▱DEGF．
（1）填空：k＝　　，b＝　1　；
（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；
（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S▱DEGF，求OD的长．

【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过A（4，3），
∴3＝4k，
∴k＝，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（4，3），
∴3＝﹣×42+4b+3，
∴b＝1，
故答案为：，1．

（2）如图1中，过点E作EP⊥DF于P，连接EF．

∵四边形DEGF是平行四边形，
∴∠G＝∠EDF
∵∠EGF＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∵EP⊥DF，
∴PD＝PF，
∵D（t，t），
∴OD＝AE＝t，
∵AC⊥AB，
∴∠OAC＝90°，
∴tan∠AOC＝，
∵OA＝＝5，
∴AC＝OA•tan∠AOC＝，OC＝AC÷＝，
∴EC＝AC﹣AE＝﹣t，
∵tan∠ACO＝，
∴点E的纵坐标为3﹣t，
∵F（t，﹣t2+t+3），PF＝PD，
∴＝3﹣t，
解得t＝或（舍弃）．
∴满足条件的t的值为．

（3）如图2中，因为点D在线段AB上，S△DFP＝S▱DEGF，所以DP＝2PE，观察图象可知，点D只能在第一象限，

设PF交AB于J，
∵AC⊥AB，PF⊥AB，
∴PJ∥AE，
∴DJ：AJ＝DP：PE＝2，
∵D（t，t），F（t，﹣t2+t+3），
∴OD＝t，DF＝﹣t2+t+3﹣t＝﹣t2+t+3，
∴DJ＝DF＝﹣t2+t+，AJ＝DJ＝﹣t2+t+，
∵OA＝5，
∴t﹣t2+t+﹣t2+t+＝5，
整理得9t2﹣59t+92＝0，
解得t＝或4（4不合题意舍弃），
∴OD＝t＝．
4．（2019•常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．
（1）b＝　2　；
（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）
∴﹣1﹣b+3＝0
解得：b＝2
故答案为：2．

（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．
∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3
当x＝0时y＝3，
∴C（0，3）
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0
解得：x1＝﹣1，x2＝3
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3
∵点D为OC的中点，
∴D（0，）
∴直线BD的解析式为y＝﹣+，
设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，﹣t+），H（t，0）
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（﹣t+）＝﹣t+，NH＝﹣t+
∴MN＝NH
∵PM＝MN
∴﹣t2+3t＝﹣t+
解得：t1＝，t2＝3（舍去）
∴P（，）
∴P的坐标为（，），使得PM＝MN＝NH．

（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E
∵OB＝3，OD＝，∠BOD＝90°
∴BD＝＝
∴cos∠OBD＝
∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F
∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°
∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°
∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD＝
在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝
∴PQ＝PE
在Rt△PFR中，cos∠RPF＝
∴PR＝PF
∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB＝BQ•PQ，S△QRB＝BQ•QR
∴PQ＝2QR
设直线BD与抛物线交于点G
∵﹣+＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2＝﹣
∴点G横坐标为﹣
设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，﹣t+）
∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）|＝|﹣t2+t+|
①若﹣＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，
∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+t+
∵PQ＝2QR
∴PQ＝PR
∴PE＝•PF，即6PE＝5PF
∴6（﹣t2+t+）＝5（﹣t2+2t+3）
解得：t1＝2，t2＝3（舍去）
∴P（2，3）
②若﹣1＜t＜﹣，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，
此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立．
③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，
∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE＝﹣t+﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣
∵PQ＝2QR
∴PQ＝2PR
∴PE＝2•PF，即2PE＝5PF
∴2（t2﹣t﹣）＝5（t2﹣2t﹣3）
解得：t1＝﹣，t2＝3（舍去）
∴P（﹣，﹣）
综上所述，点P坐标为（2，3）或（﹣，﹣）．




四．圆的综合题（共3小题）
5．（2022•常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．
（1）沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是 　直角　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．

【解答】解：（1）∵AB是直径，直径所对的圆周角是直角，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角；

（2）如图，四边形EFHG或四边形EFG′H即为所求．


（3）小明的猜想正确．
理由：如图2中，当点C靠近点A时，设CM＝CA，AN＝CB，

∴＝，
∴MN∥AB，
∴＝＝，
∵AB＝12cm，
∴MN＝4cm，
分别以M，N为圆心，MN为半径作弧交AB于点P，Q，则四边形MNQP是边长为4cm的菱形．
如图3中，当点C靠近点B时，同法可得四边形MNQP是菱形．

综上所述，小明的猜想正确．
6．（2020•常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点　D　（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为　10　；
②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．

【解答】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝10，
故答案为：D，10．

②如图1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．

设直线y＝x+4交x轴于F（﹣，0），交y轴于E（0，4），
∴OE＝4，OF＝，
∴tan∠FEO＝＝，
∴∠FEO＝30°，
∴OH＝OE＝2，
∴PH＝OH+OP＝3，
∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．

（2）如图2中，设直线l的解析式为y＝kx+b．

当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．
由题意，EN＝2，EN•NH＝4，
∴NH＝，
∵N（﹣1，0），M（1，4），
∴MN＝＝2，
∴HM＝＝＝，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∵MN的中点K（0，2），
∴KN＝HK＝KM＝，
∴H（﹣2，3），
把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x+，
当k＜0时，同法可知直线l′经过H′（2，1），可得直线l′的解析式为y＝﹣3x+7．
综上所述，满足条件的直线l的解析式为y＝x+或y＝﹣3x+7．
7．（2019•常州）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆：　2　；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　1+　；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．

【解答】解：（1）①半径为1的圆的宽距离为2，
故答案为2．
②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．

在Rt△ODC中，OC＝＝＝
∴OP+OC≥PC，
∴PC≤1+，
∴这个“窗户形“的宽距为1+．
故答案为1+．

（2）①如图2﹣1中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S1和S2（分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域）．

∴点C所在的区域的面积为S1+S2＝π﹣2．

②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．

设M点坐标为（x，2）（x＞0），
由题意可知：AC＝d，MC＝1，
由图象可知：AM﹣MC≤AC≤AM+MC，
又∵对于⊙M上任意点C，5≤d≤8恒成立，
∴AM﹣MC≥5，AM+MC≤8，
∴6≤AM≤7，
在Rt△AMT中，根据勾股定理得：AM2＝MT2+AT2＝22+（x+1）2，
∴62≤22+（x+1）2≤72，
∴32≤（x+1）2≤45，
∵x＞0，
∴4≤x+1≤3，
∴4﹣1≤x≤3﹣1，
∴满足条件的点M的横坐标的范围为4﹣1≤x≤3﹣1．
当点M在y轴的左侧时，同理可得，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣3+1≤x≤﹣4+1．
综上所述，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣3+1≤x≤﹣4+1或4﹣1≤x≤3﹣1．
五．几何变换综合题（共1小题）
8．（2021•常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．
（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是 　B　（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 　（﹣2，0）　；
（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；
（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．

【解答】解：（1）如图1中，

①如图1中，取点T（0，2），连接MT，BT，
∵M（﹣2，0），B（2，0），
∴OT＝OM＝OB＝2，
∴△TBM是等腰直角三角形，
∴在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是点B，
故答案为：B．
②取点T（0，﹣1），连接MT，PT，则△MTB是等腰直角三角形，
∴线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 （﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．

（2）如图2﹣1中，当M，Q是互相关联点，设Q（m，﹣2m+1），△MTQ是等腰直角三角形，

过点Q作QH⊥y轴于H，
∵∠QHT＝∠MOT＝∠MTQ＝90°，
∴∠MTO+∠QTH＝90°，∠QTH+∠TQH＝90°，
∴∠MTO＝∠TQH，
∵TM＝TQ，
∴△MOT≌△THQ（AAS），
∴QH＝TO＝﹣m，TH＝OM＝2，
∴﹣2m+1＝2﹣m，
∴m＝﹣1．

如图2﹣2中，当N，Q是互相关联点，△NOQ是等腰直角三角形，此时m＝0，

观察图象可知，当﹣1≤m≤0时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，

如图2﹣3中，当N，Q是互相关联点，△NTQ是等腰直角三角形，设Q（m，﹣2m+1），

过点Q作QH⊥y轴于H，同法可证△NOT≌△THQ（AAS），
∴QH＝TO＝m，TH＝ON＝1，
∴1﹣2m+1＝m，
∴m＝．

如图2﹣4中，当M，Q是互相关联点，△MTQ是等腰直角三角形，同法可得m＝1，

观察图象可知，当≤m≤1时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，
解法二：在MN上任取一点Q'，然后作出Q‘的两个关联点Q1和Q2，其中Q1在第二象限，Q2在第四象限，则可以求出Q'的坐标是分别是（m﹣1，0）、（1﹣3m，0），再根据﹣2≤x≤﹣1可以求出m的取值范围．
综上所述，满足条件的m的值为﹣1≤m≤0或≤m≤1．
（3）如图3﹣1中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EK⊥OH于K．设Q（t，﹣2t+1）．

∵∠QHT＝∠EKT＝∠QTE＝90°，
∴∠QTH+∠ETK＝90°，∠ETK+∠KET＝90°，
∴∠HTQ＝∠KET，
∵TQ＝TE，
∴△THQ≌△EKT（AAS），
∴QH＝TK＝﹣t，TH＝EK＝4，
∵OH＝﹣2t+1，OK＝2，
∴﹣2t+1﹣4＝2+t，
∴t＝﹣，
∴Q（﹣，）．

如图3﹣2中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EK⊥OH于K．
设Q（t，﹣2t+1）．

∵∠QHT＝∠EKGT＝∠QTE＝90°，
∴∠QTH+∠ETK＝90°，∠ETK+∠EKT＝90°，
∴∠HTQ＝∠KET，
∵TQ＝TE，
∴△THQ≌△EKT（AAS），
∴QH＝TK＝t，TH＝EK＝4，
∵OH＝2t﹣1，OK＝2，
∴2t﹣1﹣4＝t﹣2，
∴t＝3，
∴Q（3，﹣5）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣，）或（3，﹣5）．