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人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程教学课件ppt
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这是一份人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了xx0，k-1，列表如下，第22章二次函数，答案显示，没有有一个有两个，见习题，ax2＋bx＋c＝0，y＝0，答案A等内容，欢迎下载使用。
1.一般地,已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程 .反之,解一元二次方程ax2+bx+c=m又可以看作求使已知二次函数y=ax2+bx+c的值为m的自变量x的值.特别地,如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当 时,函数值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根. 2.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是A(-1,0),B(2,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 .
ax2+bx+c=m
x1=-1,x2=2
3.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置关系(一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=b2-4ac):(1)当Δ=b2-4ac>0时⇔抛物线y=ax2+bx+c与x轴有 个公共点; (2)当Δ=b2-4ac=0时⇔抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有 个公共点; (3)当Δ=b2-4ac<0时⇔抛物线y=ax2+bx+c与x轴 公共点. 4.(2020·宁夏中考)若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是 .
二次函数与一元二次方程的关系
这两个二次函数的图象中有一条与x轴交于A,B两个不同的点.(1)试判断哪个二次函数的图象与x轴交于A,B两个不同的点;(2)若点A的坐标为(-1,0),试求出点B的坐标;(3)在(2)的条件下,对于图象经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,函数值y随x值的增大而减小?分析:利用一元二次方程根的判别式即可轻松判断抛物线与x轴的交点情况.同时利用函数图象与x轴的交点坐标可得方程的解,再通过解一元二次方程求其他点的坐标.
整理,得m2-2m=0,解得m=0或m=2.当m=0时,y=x2-1.令y=0,得x2-1=0,解得x1=-1,x2=1.此时点B的坐标是(1,0).当m=2时,y=x2-2x-3.令y=0,得x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3.此时点B的坐标是(3,0).
(3)当m=0时,二次函数的解析式为y=x2-1,此时函数图象开口向上,对称轴为直线x=0,所以当x<0时,函数值y随x值的增大而减小;当m=2时,二次函数关系式为y=x2-2x-3,即y=(x-1)2-4,此时函数图象开口向上,对称轴为直线x=1,所以当x<1时,函数值y随x值的增大而减小.点拨:该类题往往是函数、方程及几何图形等知识的综合应用,熟练掌握好相关基础知识是解决问题的关键.
1.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( )A.无解B.x=1C.x=-4D.x=-1或x=4
2.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是 ( )A.3B.2C.1D.0
3.(2020·四川眉山中考)已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4(a为常数)的图象与x轴有交点,且当x>3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是( )A.a≥-2B.a<3C.-2≤a<3D.-2≤a≤3
5.(1)已知二次函数y=kx2+3x+4图象的最低点在x轴上,则k= ;(2)已知抛物线y=x2+bx+2的顶点在x轴的正半轴上,则b= .
6.二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图所示,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是 .
22.2 二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系
ax2＋bx＋c＝0；y＝0；横
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标，就是求一元二次方程________________的两个根；一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线_______交点的______坐标．
2．(中考·苏州)若二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为( )
3．(2020·荆门)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根
*4.(2020·岳阳)对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝－x2－10x＋m(m≠0)有两个不相等的零点x1，x2(x1
6．(2020·大连)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是( )
7．(2020·阜新)已知二次函数y＝－x2＋2x＋4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是( )A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是(1，3)C．当x<1时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点
A．1 B．2 C．3 D．4
函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0，则ax2＋bx＋c＝0，∵b＝－2a，∴Δ＝b2－4ac＝(－2a)2－4ac＝4a(a－c)．∵a<0，c>a，∴Δ＝4a(a－c)>0.∴当c>a时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，故结论②错误．
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(1，c－a)．当x＝1时，y＝ax＋b＝a＋b＝a－2a＝－a.∵c＞0，∴c－a>－a.∴当c>0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在直线y＝ax＋b的上方，故结论③正确．
*9.(2020·宜宾)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(－1，n)，其中n>0.以下结论正确的是( )①abc>0；②函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝1和x＝－2处的函数值相等；③函数y＝kx＋1的图象与函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在－3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
∴无法判断函数y＝kx＋1的图象与函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的交点个数，故③错误．∵－3≤x≤3，∴当x＝－1时，y有最大值n；当x＝3时，y有最小值16a＋n，故④正确．
10．(2019·天门)在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，点A(－3，－3)，B(1，－1)均在直线l上．(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.∵a＜0，∴抛物线开口向下．当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3.①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；
②在直线x＝1右侧，y随x的增大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值－4.综上所述，m＝－3或m＝3.
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
11．(2020·黑龙江龙东地区)如图，已知二次函数y＝－x2＋(a＋1)x－a与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知△ABC的面积是6.(1)求a的值．
(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．(2019·云南)已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．(1)求k的值；
解：∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，∴k2＋k－6＝0，解得k1＝－3，k2＝2.又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点，∴0－4×1×3k＝－12k＞0，即k＜0.∴k＝－3.
解：由(1)得y＝x2－9.∵点P在抛物线y＝x2－9上，且点P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2或－2.当x＝2时，y＝－5；当x＝－2时，y＝－5，∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5)．
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且点P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
13．(2019·威海)在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：
乙写错了常数项，列表如下：
解：由甲提供的数据，可知c＝3. ∴c＝3是正确的．由乙提供的数据，可知c＝－1，选x＝－1，y＝－2；x＝1，y＝2，
通过上述信息，解决以下问题：(1)求原二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式；
【思路点拨】由甲提供的数据易得c的值，由乙提供的数据选两组值代入解析式求出a，b的值．
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x__________时，y的值随x值的增大而增大；
解：∵方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，即x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4－4(3－k)＞0，解得k＞2.
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
22.2 二次函数与一元二次方程
第二十二章 二次函数
第2课时 利用函数的图象解一元二次方程
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为( )A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝x2＝－1C．x1＝x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3
2．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解是x1＝3，另一个解x2是( )A．1 B．－1 C．－2 D．0
3．已知二次函数y＝x2＋2x－10，小明利用计算器列出了下表：那么方程x2＋2x－10＝0的一个近似根是( )A．－4.1 B．－4.2 C．－4.3 D．－4.4
4．【中考·包头】已知一次函数y1＝4x，二次函数y2＝2x2＋2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1与y2，则下列关系正确的是( )A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2
∵C(0，c)，OA＝OC，∴A(－c，0)．把A(－c，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，得ac2－bc＋c＝0，∴ac－b＋1＝0，故③错误．∵A(－c，0)，对称轴为直线x＝1，∴B(2＋c，0)．∴2＋c是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，故④正确．
6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)．(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为______________；(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为______________；(3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为____________．
7．【中考·咸宁】如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是___________．
*8.【2019·济宁】如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是____________．
【答案】x＜－3或x＞1
【点拨】抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，∴抛物线y＝ax2＋c与直线y＝－mx＋n交于(1，p)，(－3，q)两点，由图可知当x＜－3或x＞1时，不等式ax2＋mx＋c＞n.
10．【2019·天门】在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，点A(－3，－3)，B(1，－1)均在直线l上．
(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1.∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1.当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3.①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；②在直线x＝1右侧，y随x的增大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值－4.综上所述，m＝－3或m＝3.
11．【2019·云南】已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．(1)求k的值；
解：∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，∴k2＋k－6＝0，解得k1＝－3，k2＝2.又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点，∴0－4×1×3k＝－12k＞0，即k＜0. ∴k＝－3.
解：由(1)得抛物线y＝x2－9.∵点P在抛物线y＝x2－9上，且P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2或－2.当x＝2时，y＝－5；当x＝－2时，y＝－5，∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5)．
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
12．【2019·威海】在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：乙写错了常数项，列表如下：
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x________时，y的值随x的值增大而增大；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：若方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，即x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝4－4(3－k)＞0，解得k＞2.
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程目标二 用二次函数的图象解一元二次方程
1．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解的范围是( )A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
2．【2020·毕节】已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，且x10
4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)．(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为______________；(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为____________；(3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为_____________．
6．可以用如下方法求方程x2－2x－2＝0的实数根的范围：利用函数y＝x2－2x－2的图象可知，当x＝0时，y<0，当x＝－1时，y>0，所以方程有一个根在－1和0之间． (1)参考上面的方法，求方程x2－2x－2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
解：利用函数y＝x2－2x－2的图象可知，当x＝2时，y<0，当x＝3时，y>0，所以方程的另一个根在2和3之间．
(2)若方程x2－2x＋c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
解：x1＝1，x2＝3.
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
22.2 二次函数与一元二次方程目标一 二次函数与一元二次方程
1．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
2．【2020·荆门】若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根
【点拨】由抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过第四象限的点(1，－1)，画出函数的图象如图． 由图象可知：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根，故选C.
5．【中考·徐州】若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )A．b＜1且b≠0 B．b＞1C．0＜b＜1 D．b＜1
【点拨】根据函数的图象与坐标轴有三个交点，可得(－2)2－4b＞0，解得b＜1.但本题易忽略与x轴的交点不能在原点上，即b≠0.否则图象与坐标轴只有两个交点，故选A.
6．【2020·黑龙江】如图，已知抛物线y＝－x2＋(a＋1)x－a与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)， 与y轴交于点C，△BAC的面积是6. (1)求a的值．
(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC.若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
7．【2019·盐城改编】如图所示，二次函数y＝k(x－1)2＋2的图象与一次函数y＝kx－k＋2的图象交于A，B两点，点B在点A的右侧，其中k＜0. (1)求A，B两点的横坐标；
(2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值．
第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系
1．观察图象(如图)填空：
(1)二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有________个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式Δ________0；(2)二次函数y＝x2－6x＋9的图象与x轴有________个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式Δ________0；(3)二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________交点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式Δ________0.
2．【中考·柳州】小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )A．无解 B．x＝1C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
3．【2019·梧州】已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是( )A．x1＜－1＜2＜x2 B．－1＜x1＜2＜x2C．－1＜x1＜x2＜2 D．x1＜－1＜x2＜2
【点拨】关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解x1，x2可以看作二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象与直线y＝m(m＞0)的交点的横坐标．∵二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(2，0)，∴当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜－1或x＞2.又∵x1＜x2，∴x1＜－1＜2＜x2.
5．【2019·荆门】抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3
6．【2018·天津】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(－1，0)，(0，3)，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点(1，0)；②方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根；③－3＜a＋b＜3.其中，正确结论的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3
*7.【2019·杭州】在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有M个交点，函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有N个交点，则( )A．M＝N－1或M＝N＋1 B．M＝N－1或M＝N＋2C．M＝N或M＝N＋1 D．M＝N或M＝N－1
【点拨】∵y＝(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，a≠b，∴Δ＝(a＋b)2－4ab＝(a－b)2＞0.∴函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有2个交点，即M＝2.∵函数y＝(ax＋1)(bx＋1)＝abx2＋(a＋b)x＋1，∴当ab≠0时，Δ＝(a＋b)2－4ab＝(a－b)2＞0，此时函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有2个交点，即N＝2，则M＝N；
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，此时函数y＝(ax＋1)(bx＋1)＝bx＋1为一次函数，其图象与x轴有1个交点，即N＝1，则M＝N＋1.综上可知，M＝N或M＝N＋1.
9．【中考·徐州】若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )A．b＜1且b≠0 B．b＞1C．0＜b＜1 D．b＜1
【点拨】根据函数的图象与坐标轴有三个交点，可得Δ＝(－2)2－4b＞0，解得b＜1.但本题易忽略与x轴的交点不能在原点上，即b≠0.否则将与坐标轴只有两个交点，故选A.
10．【2019·黑龙江】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(3，0)、点B(－1，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点D(0，3)作直线MN∥x轴，点P在直线MN上且S△PAC＝S△DBC，直接写出点P的坐标．
解：点P的坐标为(4，3)或(8，3)．
(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)；
(2)求抛物线的对称轴；
解：∵点A与点B关于直线x＝1对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
12．【2019·荆州】若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点在一次函数y＝kx＋t(k≠0)的图象上，则称y＝ax2＋bx＋c(a≠0)为y＝kx＋t(k≠0)的伴随函数，如：y＝x2＋1是y＝x＋1的伴随函数．
(1)若y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，求直线y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数y＝mx－3(m≠0)的伴随函数y＝x2＋2x＋n的图象与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
(1)求直线BC的解析式；
(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
22.2 二次函数与一元二次方程第2课时 用二次函数的图象解一元二次方程 (不等式)
x1＜x＜x2；x
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为( )A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝x2＝－1C．x1＝x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3
3．(中考·兰州)下表是二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( )A．1 B．1.1C．1.2 D．1.3
4．(2020·毕节)已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，且x10
*5.(2020·昆明)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B(0，－2)，点A(－1，m)在抛物线上，则下列结论中错误的是( )
∴ab<0，即A选项的结论正确．∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在点(0，0)与点(－1，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(2，0)与点(3，0)之间．
6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，则当______________时，y<0；当________________时，y>0.
7．如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是( )A．－1≤x≤3 B．x≤－1C．x≥1 D．x≤－1或x≥3
8．如图，抛物线y＝－x2＋mx的对称轴为直线x＝2.若关于x的一元二次方程－x2＋mx－t＝0(t为实数)在1－5
*9.(2019·济宁)如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是____________．
【点拨】∵抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，∴由对称性知抛物线y＝ax2＋c与直线y＝－mx＋n交于P(1，p)，
Q(－3，q)两点．在题图中画出直线y＝－mx＋n.观察函数图象可知，当x＜－3或x＞1时，直线y＝－mx＋n在抛物线y＝ax2＋c的下方，∴不等式ax2＋mx＋c＞n的解集为x＜－3或x＞1.
10．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整．例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的两个根．(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解．
(2)解法二：利用二次函数的图象与坐标轴的交点求解．如图①，方程x2－x－1＝0的根是二次函数y＝______________的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解．
(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解．①方程x2－x－1＝0的根是二次函数y＝________的图象与直线y＝________的交点的横坐标；
(或x2；x＋1或x2－1；x)
②在图②中画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根：_______________;
(2)直接写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集：__________;
(3)直接写出使y随x的增大而减小的自变量x的取值范围：_____；
解：∵方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k有两个交点．由图象可知，k＜2.
(1)求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．
(2)把点B向上平移m个单位长度得点B1，若点B1向左平移n个单位长度，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位长度，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．
第3课时 二次函数图象信息题的四种常见类型
1．【2018·毕节】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＞0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4
2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1
4．如图，一次函数y1＝kx＋n与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( )A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥9
5．【中考·阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么关于x的一元二次方程ax2＋bx＝0的根是________________．
6．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象正确的是( )
7．【中考·广州】已知抛物线y1＝－x2＋mx＋n，直线y2＝kx＋b，y1的对称轴与y2交于点A(－1，5)，点A与y1的顶点B的距离是4.
(1)求y1的解析式；
(2)若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．
22.2 二次函数与一元二次方程第3课时 二次函数图象信息题的四种常见类型
1．(2020·常德)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③4a＋b＝0；④4a－2b＋c＞0.其中正确结论的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1
2．(2020·德州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是( )A．若(－2，y1)，(5，y2)是图象上的两点，则y1＞y2B．3a＋c＝0C．方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小
3．(2019·梧州)已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是( )A．x1＜－1＜2＜x2 B．－1＜x1＜2＜x2C．－1＜x1＜x2＜2 D．x1＜－1＜x2＜2
【点拨】关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解x1，x2，可以看作二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象与直线y＝m(m＞0)交点的横坐标．∵二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(2，0)，∴当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜－1或x＞2.又∵x1＜x2，∴x1＜－1＜2＜x2.
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是( )A．x＜－1 B．x＞3C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3
5．如图，一次函数y1＝kx＋n与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( )A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥9
6．(中考·阜新)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么关于x的一元二次方程ax2＋bx＝0的根是__________________．
7．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象是( )
8．(中考·张家界)如图，已知抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)与y轴交于点A(0，－2)，顶点为B.(1)试确定a的值，并写出点B的坐标；
解：将点A(0，－2)的坐标代入抛物线对应的函数解析式，可得a＝1.∴抛物线对应的函数解析式为y＝(x－1)2－3，顶点B的坐标为(1，－3)．
(2)若一次函数的图象经过A，B两点，试求出其函数解析式；
1.一般地,已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程 .反之,解一元二次方程ax2+bx+c=m又可以看作求使已知二次函数y=ax2+bx+c的值为m的自变量x的值.特别地,如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当 时,函数值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根. 2.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是A(-1,0),B(2,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 .
ax2+bx+c=m
x1=-1,x2=2
3.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置关系(一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=b2-4ac):(1)当Δ=b2-4ac>0时⇔抛物线y=ax2+bx+c与x轴有 个公共点; (2)当Δ=b2-4ac=0时⇔抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有 个公共点; (3)当Δ=b2-4ac<0时⇔抛物线y=ax2+bx+c与x轴 公共点. 4.(2020·宁夏中考)若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是 .
二次函数与一元二次方程的关系
这两个二次函数的图象中有一条与x轴交于A,B两个不同的点.(1)试判断哪个二次函数的图象与x轴交于A,B两个不同的点;(2)若点A的坐标为(-1,0),试求出点B的坐标;(3)在(2)的条件下,对于图象经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,函数值y随x值的增大而减小?分析:利用一元二次方程根的判别式即可轻松判断抛物线与x轴的交点情况.同时利用函数图象与x轴的交点坐标可得方程的解,再通过解一元二次方程求其他点的坐标.
整理,得m2-2m=0,解得m=0或m=2.当m=0时,y=x2-1.令y=0,得x2-1=0,解得x1=-1,x2=1.此时点B的坐标是(1,0).当m=2时,y=x2-2x-3.令y=0,得x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3.此时点B的坐标是(3,0).
(3)当m=0时,二次函数的解析式为y=x2-1,此时函数图象开口向上,对称轴为直线x=0,所以当x<0时,函数值y随x值的增大而减小;当m=2时,二次函数关系式为y=x2-2x-3,即y=(x-1)2-4,此时函数图象开口向上,对称轴为直线x=1,所以当x<1时,函数值y随x值的增大而减小.点拨:该类题往往是函数、方程及几何图形等知识的综合应用,熟练掌握好相关基础知识是解决问题的关键.
1.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( )A.无解B.x=1C.x=-4D.x=-1或x=4
2.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是 ( )A.3B.2C.1D.0
3.(2020·四川眉山中考)已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4(a为常数)的图象与x轴有交点,且当x>3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是( )A.a≥-2B.a<3C.-2≤a<3D.-2≤a≤3
5.(1)已知二次函数y=kx2+3x+4图象的最低点在x轴上,则k= ;(2)已知抛物线y=x2+bx+2的顶点在x轴的正半轴上,则b= .
6.二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图所示,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是 .
22.2 二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系
ax2＋bx＋c＝0；y＝0；横
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标，就是求一元二次方程________________的两个根；一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线_______交点的______坐标．
2．(中考·苏州)若二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为( )
3．(2020·荆门)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根
*4.(2020·岳阳)对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝－x2－10x＋m(m≠0)有两个不相等的零点x1，x2(x1
6．(2020·大连)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是( )
7．(2020·阜新)已知二次函数y＝－x2＋2x＋4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是( )A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是(1，3)C．当x<1时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点
A．1 B．2 C．3 D．4
函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0，则ax2＋bx＋c＝0，∵b＝－2a，∴Δ＝b2－4ac＝(－2a)2－4ac＝4a(a－c)．∵a<0，c>a，∴Δ＝4a(a－c)>0.∴当c>a时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，故结论②错误．
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(1，c－a)．当x＝1时，y＝ax＋b＝a＋b＝a－2a＝－a.∵c＞0，∴c－a>－a.∴当c>0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在直线y＝ax＋b的上方，故结论③正确．
*9.(2020·宜宾)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(－1，n)，其中n>0.以下结论正确的是( )①abc>0；②函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝1和x＝－2处的函数值相等；③函数y＝kx＋1的图象与函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在－3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
∴无法判断函数y＝kx＋1的图象与函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的交点个数，故③错误．∵－3≤x≤3，∴当x＝－1时，y有最大值n；当x＝3时，y有最小值16a＋n，故④正确．
10．(2019·天门)在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，点A(－3，－3)，B(1，－1)均在直线l上．(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.∵a＜0，∴抛物线开口向下．当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3.①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；
②在直线x＝1右侧，y随x的增大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值－4.综上所述，m＝－3或m＝3.
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
11．(2020·黑龙江龙东地区)如图，已知二次函数y＝－x2＋(a＋1)x－a与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知△ABC的面积是6.(1)求a的值．
(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．(2019·云南)已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．(1)求k的值；
解：∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，∴k2＋k－6＝0，解得k1＝－3，k2＝2.又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点，∴0－4×1×3k＝－12k＞0，即k＜0.∴k＝－3.
解：由(1)得y＝x2－9.∵点P在抛物线y＝x2－9上，且点P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2或－2.当x＝2时，y＝－5；当x＝－2时，y＝－5，∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5)．
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且点P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
13．(2019·威海)在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：
乙写错了常数项，列表如下：
解：由甲提供的数据，可知c＝3. ∴c＝3是正确的．由乙提供的数据，可知c＝－1，选x＝－1，y＝－2；x＝1，y＝2，
通过上述信息，解决以下问题：(1)求原二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式；
【思路点拨】由甲提供的数据易得c的值，由乙提供的数据选两组值代入解析式求出a，b的值．
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x__________时，y的值随x值的增大而增大；
解：∵方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，即x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4－4(3－k)＞0，解得k＞2.
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
22.2 二次函数与一元二次方程
第二十二章 二次函数
第2课时 利用函数的图象解一元二次方程
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为( )A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝x2＝－1C．x1＝x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3
2．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解是x1＝3，另一个解x2是( )A．1 B．－1 C．－2 D．0
3．已知二次函数y＝x2＋2x－10，小明利用计算器列出了下表：那么方程x2＋2x－10＝0的一个近似根是( )A．－4.1 B．－4.2 C．－4.3 D．－4.4
4．【中考·包头】已知一次函数y1＝4x，二次函数y2＝2x2＋2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1与y2，则下列关系正确的是( )A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2
∵C(0，c)，OA＝OC，∴A(－c，0)．把A(－c，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，得ac2－bc＋c＝0，∴ac－b＋1＝0，故③错误．∵A(－c，0)，对称轴为直线x＝1，∴B(2＋c，0)．∴2＋c是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，故④正确．
6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)．(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为______________；(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为______________；(3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为____________．
7．【中考·咸宁】如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是___________．
*8.【2019·济宁】如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是____________．
【答案】x＜－3或x＞1
【点拨】抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，∴抛物线y＝ax2＋c与直线y＝－mx＋n交于(1，p)，(－3，q)两点，由图可知当x＜－3或x＞1时，不等式ax2＋mx＋c＞n.
10．【2019·天门】在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，点A(－3，－3)，B(1，－1)均在直线l上．
(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1.∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1.当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3.①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；②在直线x＝1右侧，y随x的增大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值－4.综上所述，m＝－3或m＝3.
11．【2019·云南】已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．(1)求k的值；
解：∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，∴k2＋k－6＝0，解得k1＝－3，k2＝2.又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点，∴0－4×1×3k＝－12k＞0，即k＜0. ∴k＝－3.
解：由(1)得抛物线y＝x2－9.∵点P在抛物线y＝x2－9上，且P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2或－2.当x＝2时，y＝－5；当x＝－2时，y＝－5，∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5)．
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
12．【2019·威海】在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：乙写错了常数项，列表如下：
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x________时，y的值随x的值增大而增大；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：若方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，即x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝4－4(3－k)＞0，解得k＞2.
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程目标二 用二次函数的图象解一元二次方程
1．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解的范围是( )A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
2．【2020·毕节】已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，且x1
4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)．(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为______________；(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为____________；(3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为_____________．
6．可以用如下方法求方程x2－2x－2＝0的实数根的范围：利用函数y＝x2－2x－2的图象可知，当x＝0时，y<0，当x＝－1时，y>0，所以方程有一个根在－1和0之间． (1)参考上面的方法，求方程x2－2x－2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
解：利用函数y＝x2－2x－2的图象可知，当x＝2时，y<0，当x＝3时，y>0，所以方程的另一个根在2和3之间．
(2)若方程x2－2x＋c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
解：x1＝1，x2＝3.
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
22.2 二次函数与一元二次方程目标一 二次函数与一元二次方程
1．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
2．【2020·荆门】若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根
【点拨】由抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过第四象限的点(1，－1)，画出函数的图象如图． 由图象可知：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根，故选C.
5．【中考·徐州】若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )A．b＜1且b≠0 B．b＞1C．0＜b＜1 D．b＜1
【点拨】根据函数的图象与坐标轴有三个交点，可得(－2)2－4b＞0，解得b＜1.但本题易忽略与x轴的交点不能在原点上，即b≠0.否则图象与坐标轴只有两个交点，故选A.
6．【2020·黑龙江】如图，已知抛物线y＝－x2＋(a＋1)x－a与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)， 与y轴交于点C，△BAC的面积是6. (1)求a的值．
(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC.若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
7．【2019·盐城改编】如图所示，二次函数y＝k(x－1)2＋2的图象与一次函数y＝kx－k＋2的图象交于A，B两点，点B在点A的右侧，其中k＜0. (1)求A，B两点的横坐标；
(2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值．
第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系
1．观察图象(如图)填空：
(1)二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有________个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式Δ________0；(2)二次函数y＝x2－6x＋9的图象与x轴有________个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式Δ________0；(3)二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________交点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式Δ________0.
2．【中考·柳州】小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )A．无解 B．x＝1C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
3．【2019·梧州】已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是( )A．x1＜－1＜2＜x2 B．－1＜x1＜2＜x2C．－1＜x1＜x2＜2 D．x1＜－1＜x2＜2
【点拨】关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解x1，x2可以看作二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象与直线y＝m(m＞0)的交点的横坐标．∵二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(2，0)，∴当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜－1或x＞2.又∵x1＜x2，∴x1＜－1＜2＜x2.
5．【2019·荆门】抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3
6．【2018·天津】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(－1，0)，(0，3)，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点(1，0)；②方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根；③－3＜a＋b＜3.其中，正确结论的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3
*7.【2019·杭州】在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有M个交点，函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有N个交点，则( )A．M＝N－1或M＝N＋1 B．M＝N－1或M＝N＋2C．M＝N或M＝N＋1 D．M＝N或M＝N－1
【点拨】∵y＝(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，a≠b，∴Δ＝(a＋b)2－4ab＝(a－b)2＞0.∴函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有2个交点，即M＝2.∵函数y＝(ax＋1)(bx＋1)＝abx2＋(a＋b)x＋1，∴当ab≠0时，Δ＝(a＋b)2－4ab＝(a－b)2＞0，此时函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有2个交点，即N＝2，则M＝N；
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，此时函数y＝(ax＋1)(bx＋1)＝bx＋1为一次函数，其图象与x轴有1个交点，即N＝1，则M＝N＋1.综上可知，M＝N或M＝N＋1.
9．【中考·徐州】若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )A．b＜1且b≠0 B．b＞1C．0＜b＜1 D．b＜1
【点拨】根据函数的图象与坐标轴有三个交点，可得Δ＝(－2)2－4b＞0，解得b＜1.但本题易忽略与x轴的交点不能在原点上，即b≠0.否则将与坐标轴只有两个交点，故选A.
10．【2019·黑龙江】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(3，0)、点B(－1，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点D(0，3)作直线MN∥x轴，点P在直线MN上且S△PAC＝S△DBC，直接写出点P的坐标．
解：点P的坐标为(4，3)或(8，3)．
(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)；
(2)求抛物线的对称轴；
解：∵点A与点B关于直线x＝1对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
12．【2019·荆州】若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点在一次函数y＝kx＋t(k≠0)的图象上，则称y＝ax2＋bx＋c(a≠0)为y＝kx＋t(k≠0)的伴随函数，如：y＝x2＋1是y＝x＋1的伴随函数．
(1)若y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，求直线y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数y＝mx－3(m≠0)的伴随函数y＝x2＋2x＋n的图象与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
(1)求直线BC的解析式；
(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
22.2 二次函数与一元二次方程第2课时 用二次函数的图象解一元二次方程 (不等式)
x1＜x＜x2；x
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为( )A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝x2＝－1C．x1＝x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3
3．(中考·兰州)下表是二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( )A．1 B．1.1C．1.2 D．1.3
4．(2020·毕节)已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，且x1
*5.(2020·昆明)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B(0，－2)，点A(－1，m)在抛物线上，则下列结论中错误的是( )
∴ab<0，即A选项的结论正确．∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在点(0，0)与点(－1，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(2，0)与点(3，0)之间．
6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，则当______________时，y<0；当________________时，y>0.
7．如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是( )A．－1≤x≤3 B．x≤－1C．x≥1 D．x≤－1或x≥3
8．如图，抛物线y＝－x2＋mx的对称轴为直线x＝2.若关于x的一元二次方程－x2＋mx－t＝0(t为实数)在1
*9.(2019·济宁)如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是____________．
【点拨】∵抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，∴由对称性知抛物线y＝ax2＋c与直线y＝－mx＋n交于P(1，p)，
Q(－3，q)两点．在题图中画出直线y＝－mx＋n.观察函数图象可知，当x＜－3或x＞1时，直线y＝－mx＋n在抛物线y＝ax2＋c的下方，∴不等式ax2＋mx＋c＞n的解集为x＜－3或x＞1.
10．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整．例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的两个根．(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解．
(2)解法二：利用二次函数的图象与坐标轴的交点求解．如图①，方程x2－x－1＝0的根是二次函数y＝______________的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解．
(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解．①方程x2－x－1＝0的根是二次函数y＝________的图象与直线y＝________的交点的横坐标；
(或x2；x＋1或x2－1；x)
②在图②中画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根：_______________;
(2)直接写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集：__________;
(3)直接写出使y随x的增大而减小的自变量x的取值范围：_____；
解：∵方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k有两个交点．由图象可知，k＜2.
(1)求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．
(2)把点B向上平移m个单位长度得点B1，若点B1向左平移n个单位长度，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位长度，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．
第3课时 二次函数图象信息题的四种常见类型
1．【2018·毕节】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＞0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4
2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1
4．如图，一次函数y1＝kx＋n与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( )A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥9
5．【中考·阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么关于x的一元二次方程ax2＋bx＝0的根是________________．
6．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象正确的是( )
7．【中考·广州】已知抛物线y1＝－x2＋mx＋n，直线y2＝kx＋b，y1的对称轴与y2交于点A(－1，5)，点A与y1的顶点B的距离是4.
(1)求y1的解析式；
(2)若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．
22.2 二次函数与一元二次方程第3课时 二次函数图象信息题的四种常见类型
1．(2020·常德)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③4a＋b＝0；④4a－2b＋c＞0.其中正确结论的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1
2．(2020·德州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是( )A．若(－2，y1)，(5，y2)是图象上的两点，则y1＞y2B．3a＋c＝0C．方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小
3．(2019·梧州)已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是( )A．x1＜－1＜2＜x2 B．－1＜x1＜2＜x2C．－1＜x1＜x2＜2 D．x1＜－1＜x2＜2
【点拨】关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解x1，x2，可以看作二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象与直线y＝m(m＞0)交点的横坐标．∵二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(2，0)，∴当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜－1或x＞2.又∵x1＜x2，∴x1＜－1＜2＜x2.
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是( )A．x＜－1 B．x＞3C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3
5．如图，一次函数y1＝kx＋n与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( )A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥9
6．(中考·阜新)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么关于x的一元二次方程ax2＋bx＝0的根是__________________．
7．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象是( )
8．(中考·张家界)如图，已知抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)与y轴交于点A(0，－2)，顶点为B.(1)试确定a的值，并写出点B的坐标；
解：将点A(0，－2)的坐标代入抛物线对应的函数解析式，可得a＝1.∴抛物线对应的函数解析式为y＝(x－1)2－3，顶点B的坐标为(1，－3)．
(2)若一次函数的图象经过A，B两点，试求出其函数解析式；
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