高中人教A版 (2019)4.1 指数学案

  4．1　指数

最新课程标准：通过对有理数指数幂a (a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．

知识点一　n次方根及根式的概念

1．a的n次方根的定义

如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

2．a的n次方根的表示

(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为，a∈R.

(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为±，其中－表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．

3．根式

式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

　根式的概念中要求n>1，且n∈N*.

知识点二　根式的性质

(1)()n＝a(n∈R＋，且n>1)；

(2)＝

　()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R.

知识点三　分数指数幂的意义及有理数指数幂的运

算性质

1．分数指数幂的意义

2.有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s；(a>0，r，s∈Q)

(2)(ar)s＝ars；(a>0，r，s∈Q)

(3)(ab)r＝arbr.(a>0，b>0，r∈Q)

3．无理数指数幂

无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．

[教材解难]

1．教材P105思考

可以，把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把，，等写成下列形式：

＝a (a>0)，

＝b (b>0)，

＝c (c>0)．

2．教材P108思考

无理数指数幂2的含义：就是一串以的不足近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂和另一串同样以的过剩近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂无限逼近的结果，故2是一个确定的实数．

[基础自测]

1.＋π等于(　　)

A．4　　　　　B．2π－4

C．2π－4或4  D．4－2π

解析：＋π＝4－π＋π＝4.故选A.

答案：A

2．b4＝3(b>0)，则b等于(　　)

A．34  B．3

C．43  D．35

解析：因为b4＝3(b>0)，∴b＝＝3.

答案：B

3．下列各式正确的是(　　)

A.＝－3    B.＝a

C．()3＝－2  D.＝2

解析：由于＝3，＝|a|，＝－2，故选项A，B，D错误，故选C.

答案：C

4.的值是________．

解析：＝＝ ＝＝ ＝.

答案：

题型一　利用根式的性质化简求值[经典例题]

例1　(1)下列各式正确的是(　　)

A.＝a        B．a0＝1

C. ＝－4  D. ＝－5

(2)计算下列各式：

① ＝________.

② ＝________.

③ －－＝________.

【解析】　(1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.

(2)① ＝－a.

② ＝＝π－3.

③ －－＝－－＝－－＝.

首先确定式子中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．

【答案】　(1)D　(2)①－a　②π－3　③

方法归纳

根式化简或求值的策略

(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．

(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．

跟踪训练1　求下列各式的值：

(1) ；　　　　　　(2) ；

(3) ；  (4) ＋ .

解析：(1) ＝－2；

(2) ＝ ＝ ；

(3) ＝|3－π|＝π－3；

(4)原式＝ ＋y－x＝|x－y|＋y－x.

当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；

当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．

所以原式＝

由根式被开方数正负讨论x≥y，x<y两种情况．

题型二　根式与分数指数幂的互化[经典例题]

例2　(1)将分数指数幂a (a>0)化为根式为________．

(2)化简：(a2·)÷(·)＝________.(用分数指数幂表示)．

利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．

①a3·.

② (a>0，b>0)．

【解析】　(1)a＝＝

(2)(a2·)÷(·)＝(a2·a)÷(a·a)＝a÷a＝a＝a

【答案】　(1)　(2)a　(3)①a3·＝a3·a＝a＝a.　② ＝ ＝ ＝ ＝ab.

方法归纳

根式与分数指数幂互化的方法及思路

(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．

(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．

跟踪训练2　下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)

A.－＝(－x) (x>0)

B.＝y (y<0)

C．x＝ (x>0)

D．x＝－(x≠0)

解析：－＝－x (x>0)；＝(y2)＝－y (y<0)；

x＝(x－3) ＝(x>0)；x＝＝(x≠0)．

答案：C

A：－先把 ＝x再加上－.

B：注意y<0.

C：负指数次幂运算．

题型三　分数指数幂的运算与化简[教材P106例4]

例3　计算下列各式(式中字母均是正数)：

(1)（2ab）（－6ab）÷（－3ab）；

(2)（mn）8；

(3)(－)÷.

【解析】　(1) （2ab）（－6ab）÷（－3ab）

  ＝[2×(－6)÷(－3)]ab

  ＝4ab0

  ＝4a；

(2) （mn）8＝88

  ＝m2n－3

  ＝；

(3)(－)÷＝（a－a）÷a

  ＝a÷a－a÷a

  ＝a－a

  ＝a－a

  ＝－a.

　①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．

教材反思

利用指数幂的运算性质化简求值的方法

(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．

(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．

跟踪训练3　计算：

(1)(－1.8)0＋－2·－＋；

(2)·(a>0，b>0)．

解析：(1)原式＝1＋2·－10＋9＝1＋2·2－10＋27＝29－10＝19.

(2)原式＝4·0.12·＝2××8＝.

　先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算．

一、选择题

1．将化为分数指数幂，其形式是(　　)

A．2　　B．－2

C．2  D．－2

解析： ＝(－2)＝(－2×2)＝(－2)＝－2.

答案：B

2．若a (a－2)0有意义，则a的取值范围是(　　)

A．a≥0  B．a＝2

C．a≠2  D．a≥0且a≠2

解析：要使原式有意义，只需，

∴a≥0且a≠2.

答案：D

3．化简的结果是(　　)

A．－  B.

C．－  D.

解析：依题意知x<0，所以＝－＝－.

答案：A

4．化简()4·()4的结果是(　　)

A．a16  B．a8

C．a4   D．a2

解析：()4·()4

＝()·()

＝(a)·(a)＝a·a＝a4.

答案：C

二、填空题

5. －＋的值为________．

解析：原式＝ － ＋

  ＝－＋＝.

答案：

6．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则α＋β＝____________________.

解析：由根与系数关系得α＋β＝－，所以α＋β＝＝(2－2) ＝23＝8.

答案：8

7．若 ＋＝0，则(x2019)y＝________.

解析：∵＋＝0，

∴＋＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，

∴x＝－1，y＝－3.

∴(x2019)y＝[(－1)2019]－3＝(－1)－3＝－1.

答案：－1

三、解答题

8．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)：

(1)a2；　　　 (2)·；

(3)()2·；  (4) .

解析：(1)原式＝a2a＝a＝a.

(2)原式＝a·a＝a＝a.

(3)原式＝(a)2·(ab3) ＝a·ab＝ab＝ab.

(4)原式＝a2·a＝a＝a.

9．计算下列各式：

(1)0.064－0＋[(－2)3]＋16－0.75；

(2) －(－9.6)0－＋(－1.5)－2；

(3) ＋0.002－10(－2)－1＋(－)0.

解析：(1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.

(2)原式＝－1－＋－2＝－1－－2＋2＝.

(3)原式＝(－1) ·＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1

＝＋10－10－20＋1＝－.

[尖子生题库]

10．已知a＋a＝，求下列各式的值：

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2.

解析：(1)将a＋a＝两边平方，

得a＋a－1＋2＝5，

则a＋a－1＝3.

(2)由a＋a－1＝3两边平方，

得a2＋a－2＋2＝9，

则a2＋a－2＝7.

(3)设y＝a2－a－2，两边平方，

得y2＝a4＋a－4－2

＝(a2＋a－2)2－4

＝72－4

＝45，

所以y＝±3，

即a2－a－2＝±3.