人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数导学案

4.1  指 数

【学习目标】

【自主学习】

一．    n次方根、n次根式

1.a的n次方根的定义

一般地，如果     ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

2.a的n次方根的表示

3.根式：式子叫做根式，这里n叫做      ，a叫做被开方数．

二．    根式的性质

(1)＝   (n∈N*，且n>1)；

(2)( )n＝    (n∈N*，且n>1)；

(3)＝a(n为大于1的奇数)；

(4)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．

三．分数指数幂

(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

(3)0的正分数指数幂等于  ,0的负分数指数幂     ．

四．有理数指数幂的运算性质

整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

(1)aras＝    (a>0，r，s∈Q)；     (2)(ar)s＝    (a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝    (a>0，b>0，r∈Q)．

五．无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的      ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

【小试牛刀】

思辨解析 (正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任意实数的奇次方根只有一个．(　　)

(2)当n∈N*时，()n都有意义．(　　)

(3)＝π－3.(　　)

(4)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．(　　)

(5)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　)

(6)0的任何指数幂都等于0.(　　)

【经典例题】

题型一　根式的化简和运算

点拨：

【跟踪训练】1 设－3<x<3，求－的值．

题型二　根式与分数指数幂的互化

点拨：(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.

(2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出.

例2 用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)．

   ； （3）

【跟踪训练】2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：

(1)a2；  (2)；   (3)·；  (4)()2·.

题型三  分数指数幂的运算

点拨：进行指数幂运算时，有根式的，先将根式化成分数指数幂的形式，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．

例3 计算下列各式：

（1）     (2)

【跟踪训练】3 计算下列各式

(1)2××；  (2)＋0.1－2＋－－3π0＋；  (3).

题型四  指数幂运算中的条件求值

例4 已知a＋a＝4，求下列各式的值：

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.

【跟踪训练】4（1）已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．

（2）已知67x＝27,603y＝81，求－的值．

【当堂达标】

1.以下说法正确的是(　　)

A.正数的n次方根是正数       B.负数的n次方根是负数

C.0的n次方根是0(n∈N*)      D.a的n次方根是

2.把根式a化成分数指数幂是(　　)

3.(多选)设，，，且，则下列等式中一定正确的是（    ）

A. B. C. D.

4.已知＝－4a－1，则实数a的取值范围是________．

5.计算：0.25×－4÷20－－＝________.

6.已知求的值．

【参考答案】

【自主学习】

一．xn＝a   根指数   二.  0   a   三. 0 没有意义    四.ar＋s   ars   arbr    五.实数

【小试牛刀】

(1)√　(2)×　(3)√  (4)√　(5)×　(6)×　

【经典例题】

例1

【跟踪训练】1  解：原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，

∵－3<x<3，

∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；

当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.

∴原式＝

例2 解：(1) ＝.  （2）＝. （3）

【跟踪训练】2 解：(1)原式＝a2a＝a2＋＝a.

(2)原式＝＝＝a.

(3)原式＝a·a＝a＋＝a.

(4)原式＝·(ab3)＝a·ab＝a＋b＝ab.

例 3 解（1）原式＝

（2）　

【跟踪训练】3 解 (1)原式＝2×3××12＝21＋＋×3＋＋＝2×3＝6.

(2)原式＝＋＋－－3×1＋＝＋100＋－3＋＝100.

(3)原式＝＝6×a＋－×b＋－＝6ab－.

例4  解：(1)将a＋a＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.

(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.

【跟踪训练】4（1） 解　∵a>0，b>0，又ab＝ba，

（2）由67x＝33，由603y＝81，

＝＝9＝32，∴－＝2，故－＝－2.

【当堂达标】

1.C 解析：当n为偶数时，正数的n次方根为一正一负，故A错误；当n为偶数时，负数的n次方根无意义，故B错误；当n∈N*时，0的n次方根为0，故C正确；当n为偶数，a<0时，无意义，故D错误．

2.D解析：由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.

3.AD 解析：由指数幂的运算公式可得，，，所以AD正确，B错误，对于C，当n为奇数时，，当n为偶数时， ，所以C错误。

4.  解析：∵＝|4a＋1|＝－4a－1，∴4a＋1≤0，∴a≤－.

5.－4 解析：原式＝×16－4÷1－＝4－4－4＝－4.

6.解：由两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理，得x＋x－1＝23，则有＝23.