高中人教版 (2019)第二章 机械振动4 单摆习题

第4节 单摆

1.图中 点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至 点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的 、 之间来回摆动， 点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(      )

A.摆球在 点和 点处，速度为零，合力也为零

B.摆球在 点和 点处，速度为零，回复力也为零

C.摆球在 点处，速度最大，回复力也最大

D.摆球在 点处，速度最大，细线拉力也最大

答案：

解析：摆球在摆动过程中，最高点 、 处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点 处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大。

2.发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大(      )

A.增大摆球质量B.缩短摆长

C.减小单摆振幅D.将单摆由山下移到山顶

答案：

解析：由单摆的周期公式 可知， 减小时周期会变大。

3.如图所示，图甲是利用沙摆演示简谐运动图像的装置。当盛沙漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的沙在板上形成的曲线显示出沙摆的振动位移随时间的变化关系。已知木板被水平拉动的速度为 ，图乙所示的一段木板的长度为 ，则这次实验沙摆的摆长约为（ 取 ， ）(      )

A. B.

C. D.

答案：

解析： ， ，故选 。

4.摆长为 的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时（即取作 ），当振动至 时，摆球恰具有负向最大速度，则单摆的振动图像是(      )

A. B. C. D.

答案：

解析： ，最大速度时，单摆应在平衡位置， ， 方向为 轴负方向，故 正确。

5.一个摆长为 的单摆，在地球表面上做简谐运动，周期为 ，已知地球的质量为 、半径为 ，另一摆长为 的单摆，在质量为 、半径为 的星球表面做简谐运动，周期为 。若 ， ， ，则地球半径与此星球半径之比 为(      )

A. B.

C. D.

答案：

解析：在地球表面单摆的周期

在星球表面单摆的周期

由万有引力定律得

联立解得 。

6.将单摆和弹簧振子都放在竖直向上做匀加速运动的电梯中，则(      )

A.两者的振动周期都不变

B.两者的振动周期都变小

C.单摆的振动周期变小，弹簧振子的振动周期不变

D.单摆的振动周期变小，弹簧振子的振动周期变大

答案：

解析：弹簧振子的振动周期只与其本身的因素有关，与振子的运动状态无关，所以弹簧振子的周期不变；当电梯向上加速运动时，单摆的等效重力加速度变大，单摆的周期变小， 正确。

7.将秒摆的周期变为 ，下面哪些措施是正确的(      )

A.只将摆球质量变为原来的

B.只将振幅变为原来的2倍

C.只将摆长变为原来的4倍

D.只将摆长变为原来的16倍

答案：

解析：单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关， 、 错；对秒摆， ，对周期为 的单摆， ，故 ， 正确， 错误。

8.有一单摆，在地球表面的周期为 ，已知月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的 。 取 ，结果均保留2位有效数字）

（1）将该单摆置于月球表面，其周期为多大？

（2）若将摆长缩短为原来的 ，在月球表面时此摆的周期为多大？

（3）该单摆的摆长为多少？

答案：（1） （2） （3）

解析：（1）由单摆的周期公式 知， ，所以

则 。

（2）根据周期公式 知， ，所以

则 。

（3）根据周期公式 知 。

素养提升练

9.已知在单摆 完成10次全振动的时间内，单摆 完成6次全振动，两摆长之差为 。则两单摆摆长 与 分别为 (      )

A. ， B. ，

C. ， D. ，

答案：

解析：设两个单摆的周期分别为 和 ，由题意知 ，得 。根据单摆的周期公式 ，可知 ，由此得 ，则 ， 。选项 正确。

10.（多选）如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图像，下列说法中正确的是(      )

A.甲、乙两单摆的摆长相等

B.甲摆的振幅比乙摆的振幅大

C.甲摆的机械能比乙摆的机械能大

D.在 时有正向最大加速度的是乙摆

答案： ; ;

解析：可从题图上看出甲摆振幅大，选项 正确；两摆周期相等，则摆长相等，选项 正确。因质量关系不明确，无法比较机械能，选项 错误； 时乙摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度，选项 正确。

11.（2021山东潍坊高二期末）如图所示，一根不可伸长的细绳下端拴一小钢球，上端系在位于光滑斜面 处的钉子上，小球处于静止状态，细绳与斜面平行。现使小球获得一平行于斜面底边的初速度，使小球偏离平衡位置，最大偏角小于 。已知斜面倾角为 ，悬点到小球球心的距离为 ，重力加速度为 。则小球回到最低点所需的最短时间为(      )

A. B.

C. D.

答案：

解析：因为小球偏离平衡位置，最大偏角小于 ，小球的运动可以看作单摆，根据牛顿第二定律得 ，由单摆的周期公式有 ，小球回到最低点所需的最短时间为 ，解得 ，故选 。

12.如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从 、 、 三点由静止同时释放，最后都到达竖直面内圆环的最低点 ，其中甲是从圆心 出发做自由落体运动，乙沿弦轨道从一端 到达另一端 ，丙沿圆弧轨道从 点运动到 点，且 点很靠近 点。如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（重力加速度为 ）(      )

A.甲球最先到达 点，乙球最后到达 点

B.甲球最先到达 点，丙球最后到达 点

C.丙球最先到达 点，乙球最后到达 点

D.甲球最先到达 点，无法判断哪个球最后到达 点

答案：

解析：设圆环的半径为 ， 与竖直方向夹角为 ，甲、乙、丙三球到达 点所需时间分别为 、 、 ，对甲球， ;对乙球， ， 长为 ，故 ，则 ;丙球做简谐运动，故 。可知 正确， 、 、 错误。

创新拓展练

13.摆长为 的单摆在平衡位置 的左右做摆角小于 的简谐运动，当摆球经过平衡位置 （ 在 点正上方）向右运动的同时，另一个以速度 在光滑水平面上运动的小滑块，恰好经过 点向右运动，如图所示，小滑块与竖直墙面 碰撞后以原来的速率返回，忽略碰撞所用的时间，试问：（重力加速度为 ）

（1） 、 间的距离满足什么条件，才能使小滑块刚好返回 点时，摆球也同时到达 点且向左运动？

（2）在（1）的条件下， 、 间的最小距离是多少？

答案：（1） （2）

解析：（1）设 、 间距离为 ，小滑块做匀速直线运动的往返时间为 ，则

设单摆做简谐运动回到 点且向左运动所需时间为 ，则 ，其中

由题意可知 ，所以

解得

（2）由（1）知，当 时， 、 间的距离最小

思路导引 单摆做简谐运动，经过半个周期的奇数倍的时间时，摆球到达 点且向左运动， 、 间的最小距离应是小球半周期时间内小滑块所运动距离一半。

技巧点拨 此题属于单摆简谐运动与其他运动形式相结合的情形。解决此类问题的关键是找到这两种运动间的联系桥梁——等时性。