粤教版 (2019)选择性必修 第一册第二节 简谐运动的描述学案及答案

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知识点一 简谐运动的函数描述
1．描述简谐运动位移—时间图像的函数表达式为x＝Acs(ωt＋φ)．式中A是简谐运动的振幅，ω为简谐运动的角频率．
2．ω与T、f的关系为：ω＝eq \f(2π,T)＝2πf．
知识点二 简谐运动的图像描述
1．相位、初相
位移—时间函数x＝cs(ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位，而对应t＝0时的相位φ叫作初相．
2．相位差
对于频率相同、相位不同的振子，相位差Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2，表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系．
3．图像信息
如图所示，从图像上可知周期和振幅．还可知道任一时刻的位移大小和方向．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)位移—时间图像表示振动质点的运动轨迹．(×)
(2)振动的位移为正时，速度也为正．(×)
(3)简谐运动图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移．(√)
(4)振动位移的方向总是背离平衡位置．(√)
2．一质点做简谐运动的图像如图所示，该质点在t＝3.5 s时刻( )
A．速度为正、加速度为正B．速度为负、加速度为负
C．速度为负、加速度为正D．速度为正、加速度为负
D [由图像可知，质点从正的最大位移处出发，向平衡位置运动，由此知3.5 s时，质点由平衡位置向正的最大位移处运动，所以此时速度为正，质点做减速运动，加速度为负，故选项D正确．]
3．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一个周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移与时间关系的图像是( )
A B C D
A [经eq \f(1,4)周期振子具有沿x轴正方向的最大加速度，故此时振子有负方向的最大位移，A图符合，故A项正确；B图中，经eq \f(1,4)周期振子位移为零，故B项错误；C图中，经eq \f(1,4)周期振子位移正向最大，故C项错误；D图中，经eq \f(1,4)周期振子位移为零，故D项错误．]
考点1 简谐运动的表达式
某弹簧振子的振动图像如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时，
讨论：(1)该振动的周期、频率分别是多少？
(2)写出该振动的正弦函数表达式．
提示：(1)周期T＝0.4 s 频率f＝2.5 Hz．
(2)x＝4sin(5πt＋eq \f(π,2)) cm．
1．简谐运动表达式x＝Asin ωt的理解
(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移．
(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱．
(3)ω：角频率，它与周期、频率的关系为ω＝eq \f(2π,Τ)＝2πf．可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．
2．简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ0)的理解
(1)式中(ωt＋φ0)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．
(2)式中φ0表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．
(3)相位差：即某一时刻的相位之差．两个具有相同ω的简谐运动，设其初相位分别为φ01和φ02；其相位差Δφ＝(ωt＋φ02)－(ωt＋φ01)＝φ02－φ01．当Δφ＝0时，两质点振动步调一致；当Δφ＝π时，两质点振动步调完全相反．
【典例1】 一物体沿x轴做简谐运动，振幅为12 cm，周期为2 s．当t＝0时，位移为6 cm，且向x轴正方向运动，求：
(1)初相位；
(2)t＝0.5 s时物体的位置．
[思路点拨] ①关键条件是：t＝0时，位移为6 cm，且向x轴正方向运动．
②先假设函数表达式，由t＝0时x＝6 cm求出初相φ．
[解析] (1)设简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)，
A＝12 cm，T＝2 s，ω＝eq \f(2π,T)，t＝0时，x＝6 cm，
代入上式得，6 cm＝12sin(0＋φ) cm，
解得sin φ＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6)或eq \f(5,6)π，
因这时物体向x轴正方向运动，故应取φ＝eq \f(π,6)，即其初相为eq \f(π,6)．
(2)由上述结果可得：
x＝Asin(ωt＋φ)＝12sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πt＋\f(π,6)))cm，
所以x＝12sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,6))) cm＝12sineq \f(4,6)π cm＝6eq \r(3) cm．
[答案] (1)eq \f(π,6) (2)6eq \r(3) cm处
初相位的两种求解方法
(1)确定振幅A、角频率ω及t＝0时刻的位移x，然后利用x＝Asin(ωt＋φ)，求出初相位φ．
(2)设平衡位置处的质点向正方向运动n(n<1)个周期可到达t＝0时刻质点所在处，则初相位φ＝n·2π．
[跟进训练]
1．弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝ 8×10－3 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt＋\f(π,2)))( m )
B．x＝4×10－3 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(π,2)))( m )
C．x＝8×10－3 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,2)))( m )
D．x＝4×10－3 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt－\f(π,2)))( m )
B [振子振动范围0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期为0.5 s，所以ω＝eq \f(2π,T)＝4π rad/s，而初始时刻具有正向最大加速度，即在波谷位置，综上可得：x＝4×10－3·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4πt－\f(π,2)))( m )，B正确，A、C、D错误．]
考点2 简谐运动的图像
如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹．
讨论：(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
(2)振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？
提示：(1)是一条平行于小球运动方向的线段．
(2)是一条正弦曲线．
1．图像形状
正(余)弦曲线．
2．物理意义
表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律．
3．图像应用
(1)任意时刻质点位移的大小和方向．如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2．
甲
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点此刻沿x轴正方向振动．图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b此刻沿x轴正方向振动．
乙
(3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断：先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化．如图甲所示，质点在t1时刻到t0时刻这段时间内，离平衡位置的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；质点在t0时刻到t2时刻这段时间内，质点远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大．
【典例2】 如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为m＝1 kg的小球，小球静止时弹簧伸长量为10 cm．现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间t变化的规律如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2．
(1)写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；
(2)求出小球在0～12.9 s内运动的总路程和12.9 s时刻的位置；
(3)小球运动到最高点时加速度的大小．
甲 乙
[解析] (1)由振动图像可知：A＝5 cm，T＝1.2 s，则ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(5π,3) rad/s，
小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式：
y＝Acs ωt(cm)＝5cs eq \f(5π,3)t(cm)．
(2)12.9 s＝10eq \f(3,4)T，则小球在0～12.9 s内运动的总路程：43A＝215 cm；12.9 s时刻的位置：y＝0，即在平衡位置．
(3)小球在平衡位置时弹簧伸长量10 cm，则：k＝eq \f(mg,Δx)＝eq \f(10,0.1) N/m＝100 N/m，
小球在最高点时，弹簧伸长5 cm，则mg－kΔx′＝ma，
解得a＝5 m/s2．
[答案] (1)y＝5cseq \f(5π,3)t(cm) (2)215 cm 平衡位置 (3)5 m/s2
简谐运动图像的应用技巧
(1)判断质点任意时刻的位移大小和方向．
质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图像中纵坐标值的大小．方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断．
(2)判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向．
由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可．
[跟进训练]
2．(多选)弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，则( )
A．t＝0时，振子位移为零，速度为零，加速度为零
B．t＝1 s时，振子位移最大，速度为零，加速度最大
C．t1和t2时刻振子具有相同的速度
D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度
BD [t＝0时刻，振子位于平衡位置O，位移为零，加速度为零，但速度为最大值，选项A错误；t＝1 s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，加速度最大，而速度为零，选项B正确；t1和t2时刻振子位于正向同一位置，t1时刻是经此点向正方向运动，t2时刻回到此点向负方向运动，两时刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，选项C错误；t3和t4时刻振子位移相同，即处在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，选项D正确．]
1．物理观念：利用简谐运动的函数表达式分析振幅、周期、频率．
2．科学方法：简谐运动的图像．
3．科学思维：简谐运动的位移公式与图像的综合应用．
1．两个简谐运动的表达式分别为x1＝4sin 4πt(cm)和x2＝2sin 2πt(cm)，它们的振幅之比、各自的频率之比是( )
A．2∶1 2∶1 B．1∶2 1∶2
C．2∶1 1∶2D．1∶2 2∶1
A [由题意知A1＝4 cm，A2＝2 cm，ω1＝4π rad/s，ω2＝2π rad/s，则A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1．故A正确，B、C、D错误．]
2．一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点通过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
B [根据振动图像可知，该简谐运动的周期T＝4 s，所以频率f＝eq \f(1,T)＝0.25 Hz，A错；10 s内质点通过的路程s＝eq \f(10,4)×4A＝10A＝10×2 cm＝20 cm，B对；第4 s末质点经过平衡位置，速度最大，C错；在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，D错．]
3．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
A [由图像可知从P→Q物体远离平衡位置向外运动，位移增大，速度减小，A正确，B错误；由M→N，物体由正位移处向平衡位置移动，速度增大，位移减小，再由平衡位置沿负方向运动，位移增大，速度减小，选项C、D错误．]
4．(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )
A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
B．t2时刻振子的位移最大
C．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
D．该图像是从平衡位置计时画出的
BC [从图像可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图像，D项错误；t1时刻以后振子的位移为负，t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，A项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是在最大位移处，B项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，C项正确．]
5．如图所示是某质点做简谐运动的图像，根据图像中的信息，回答下列问题：
(1)质点离开平衡位置的最大距离有多大？
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？
(3)质点在第2 s末的位移是多少？在前4 s内的路程是多少？
[解析] 由图像上的信息，结合质点的振动过程可作出以下回答：
(1)质点离开平衡位置的最大距离就是x的最大值10 cm．
(2)在1.5 s以后的时间质点位移减小，因此是向平衡位置运动，在2.5 s以后的时间位移增大，因此是背离平衡位置运动．
(3)2 s末时质点在平衡位置，因此位移为零．质点在前4 s内完成一个周期性运动，其路程10×4 cm＝40 cm．
[答案] (1)10 cm (2)向平衡位置运动 背离平衡位置运动 (3)0 40 cm
核心素养
学习目标
科学思维
能从简谐运动的函数表达式分析简谐运动的振幅、周期、频率等
科学方法
掌握简谐运动图像的物理意义和应用
物理观念
知道简谐运动的数学描述，了解相位的概念