高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动2 简谐运动的描述导学案

简谐运动的描述

目标体系构建

明确目标·梳理脉络

【学习目标】

1．知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义。

2．了解初相位和相位差的概念以及相位的物理意义。

3．了解简谐运动表达式中各物理量的意义。

【思维脉络】

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课前预习反馈

教材梳理·落实新知

知识点 1　描述简谐运动的物理量

1．振幅

(1)定义：振动物体离开平衡位置的__最大距离__，用A表示，国际单位：m。

(2)振动范围：振动物体运动范围为__振幅__的两倍。

2．全振动：类似于O→B→O→C→O的一个__完整__的振动过程。

3．周期和频率

(1)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的__时间__，用T表示，国际单位： s。

(2)频率：单位时间内完成全振动的__次数__，用f表示，单位： Hz。

(3)周期T与频率f的关系：T＝____。

(4)物理意义：周期和频率都是表示物体__振动快慢__的物理量，周期越小，频率__越大__，表示物体振动越快。

4．相位

用来描述周期性运动在各个时刻所处的__不同状态__。

知识点 2　简谐运动的表达式

简谐运动的函数表达式为x＝__Asin(ωt＋φ)__。

1．A：表示简谐运动的__振幅__。

2．ω：是一个与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝____＝__2πf__。

3．ωt＋φ：代表简谐运动的__相位__。

4．φ：表示t＝0时的相位，叫作__初相__。

思考辨析

『判一判』

(1)周期、频率是表征物体做简谐运动振动快慢的物理量。(　√　)

(2)振幅就是指振子的位移。(　×　)

(3)振幅就是指振子的路程。(　×　)

(4)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过程。(　√　)

(5)两个振动物体相位相同，则其振动步调相反。(　×　)

(6)振子个周期通过的路程一定等于1个振幅。(　×　)

『选一选』

(多选)一个质点做简谐运动，其振动图像如图所示，下列说法中正确的是(　ABD　)

A．振动周期为4 s

B．振动频率为0.25 Hz

C．振动的振幅为10 cm

D．5 s末质点的位移为零

解析：由图像可看出，T＝4 s，f＝0.25 Hz，A＝5 cm,5秒末x＝0，故ABD正确，C错误。

『想一想』

振子完成一次全运动时走过的路程与振幅是什么关系？与起始位置有关系吗？

解析：完成一次全运动，路程为振幅的4倍，即s＝4A，与起始位置无关。

课内互动探究

细研深究·破疑解难

探究

描述简谐运动的物理量

┃┃情境导入__■

扬声器发声时，手摸喇叭的发音纸盆会感觉到它在振动，把音响声音调大，发觉纸盆的振动更加剧烈，想想这是为什么？

提示：扬声器发出的声音是由其喇叭的纸盆振动形成的，振动越剧烈，即振幅越大，纸盆振动的能量越大，喇叭越响，手感觉纸盆振动得越厉害，说明振幅是反映振动剧烈程度的物理量。

┃┃要点提炼__■

1．对全振动的理解

正确理解全振动的概念，应注意把握振动的五个特征。

(1)振动特征：一个完整的振动过程。

(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。

(3)时间特征：历时一个周期。

(4)路程特征：振幅的4倍。

(5)相位特征：增加2π。

2．振幅、位移和路程的关系

┃┃典例剖析__■

典例1

如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子首次由A到B的时间为 0.1 s，求：

(1)振子振动的振幅、周期和频率；

(2)振子由A到O的时间；

(3)振子在5 s内通过的路程及位移大小。

思路引导：振子完成一次全振动所需要的时间叫作振动的周期，周期和频率互为倒数关系。路程是振子在振动过程中实际通过的距离。要注意各物理量之间的区别与联系。

解析：(1)从题图可知，振子振动的振幅为10 cm，

t＝0.1 s＝，所以T＝0.2 s。由f＝得f＝5 Hz。

(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A到O的时间与振子由O到B的时间相等，均为0.05 s。

(3)设弹簧振子的振幅为A，A＝10 cm。

振子在1个周期内通过的路程为4A，

故在t＝5 s＝25T内通过的路程

s＝40×25 cm＝1 000 cm＝10 m。

5 s内振子振动了25个周期，5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm。

答案：(1)10 cm　0.2 s　5 Hz　(2)0.05 s　(3)10 m　10 cm

┃┃对点训练__■

1．一质点做简谐运动，其相对平衡位置的位移x与时间t的关系如图所示，由图可知(　C　)

A．质点振动的频率为1.6 Hz

B．质点振动的振幅为4.0 cm

C．在0.3 s和0.5 s两时刻，质点的速度方向相同

D．在0.3 s和0.5 s两时刻，质点的加速度方向相同

解析：由图读出周期T＝1.6 s，则频率为：f＝＝ Hz，故A错误；质点的振幅等于振子的位移最大值，由图直接读出振幅A＝2 cm，故B错误；在0.3 s时刻，质点正从正向最大位移向平衡位置运动，速度沿负方向；在0.5 s时刻，质点正从平衡位置向负向最大位移处运动，速度方向沿负方向，故这两个时刻的速度方向相同，故C正确；在0.3 s和0.5 s两时刻，质点的加速度方向相反，故D错误。

探究

对简谐运动表达式的理解

┃┃情境导入__■

简谐运动的函数表达式的一般形式为x＝Asin(ωt＋φ)，简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示？

提示：简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。

┃┃要点提炼__■

1．简谐运动的表达式

x＝Asin(ωt＋φ)

2．各量的物理含义

(1)圆频率：表达式中的ω称作简谐运动的圆频率，它表示简谐运动物体振动的快慢。与周期T及频率f的关系：ω＝＝2πf；

(2)φ表示t＝0时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相。ωt＋φ代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位。

3．从运动方程中得到的物理量

振幅、周期和圆频率、初相位，因此可应用运动方程和ω＝＝2πf对两个简谐运动比较周期、振幅和计算相位差。

特别提醒

关于相位差Δφ＝φ2－φ1的说明：

(1)取值范围：－π≤Δφ≤π。

(2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相。Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。

(3)Δφ>0，表示振动2比振动1超前。Δφ<0，表示振动2比振动1滞后。

┃┃典例剖析__■

典例2 有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有负向最大位移。

(1)求振子的振幅和周期。

(2)画出该振子的位移—时间图像。

(3)写出振子的振动方程。

思路引导：先根据题中条件确定振幅和周期，画图像时要注意计时起点，确定初相位。

解析： (1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动，BC＝20 cm，故振幅A＝10 cm；振子在2 s内完成了10次全振动，振子的周期T＝0.2 s，ω＝＝10π rad/s。

(2)振子经过平衡位置时开始计时，故t＝0时刻，位移是0，经周期，振子的位移为负向最大，故振子的位移—时间图像如图所示。

(3)由函数图像可知振子的位移与时间的函数关系式为x＝10sin(10πt＋π)cm。

答案：(1)10 cm　0.2 s　(2)图见解析

(3)x＝10sin(10πt＋π)cm

┃┃对点训练__■

2．一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin(2.5πt)，位移y的单位为m，时间t的单位为 s。则(　C　)

A．弹簧振子的振幅为0.2 m

B．弹簧振子的周期为1.25 s

C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零

D．弹簧振子的振动初相位为2.5π

解析：由表达式可知：A＝0.1 m，T＝＝＝0.8 s，φ＝0，所以A、B、D均错；t＝0.2 s时，振子在最大位移处，速度为零，C正确。

核心素养提升

以题说法·启智培优

简谐运动的周期性

简谐运动具有重复性和周期性，要比较两个时刻t1、t2做简谐运动的质点的振动情况，有以下规律。

1．若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体的运动情况完全相同。

2．若t2－t1＝nT＋T，则t1、t2两时刻物体的各矢量(x、F、a、v…)均大小相等，方向相反。

3．当t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T时，若t1时刻物体在平衡位置，则t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在最大位移处，则t2时刻物体到达平衡位置。

案例 一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则(　C　)

A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍

B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍

C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相等

D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等

解析：弹簧振子做简谐运动的图像如图所示，图中A点与B、E、F、I等点的振动位移大小相等，方向相同。由图可知，A点与E、I等点对应的时间差为T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为T或T的整数倍，因此A选项不正确。

图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等，方向相反，由图可知A点与C、G等点对应的时间差为或的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为或的整数倍，因此B选项不正确。如果t时刻和(t＋Δt)时刻相差一个周期T，则这两个时刻的振动情况完全相同，加速度一定相等，选项C正确。如果t时刻和(t＋Δt)时刻相差半个周期，则这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，弹簧的长度显然是不相等的，选项D也不正确。