充分条件与必要条件 充要条件

[A级　新教材落实与巩固]

一、选择题

1．“x≠0”是“x>0”的(　B　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】 x>0⇒x≠0，反之不一定成立．因此“x≠0”是“x>0”的必要不充分条件．故选B.

2．设p：－1<x<1，q：－2<x<1，则p是q的(　A　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】 由－1<x<1可得－2<x<1，反之不一定成立，因此p是q的充分不必要条件．故选A.

3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的(　B　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】 因为NM，所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．故选B.

4．已知a∈R，则“a>1”是“<1”的(　A　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】 若a>1，则<1；反之，若<1，则a可能为负值．所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件．故选A.

5．若x，y∈R，则下列各式中是“xy≠0”的必要条件的是(　B　)

A．x＋y＝0

B．x2＋y2>0

C．x－y＝0

D．x3＋y3≠0

【解析】 必要条件就是可以被结论“xy≠0”推出的条件，显然选B.

6．下列各选项中，p不是q的充分条件的是(　D　)

A．p：x>0，q：x≥－1

B．p：x<－1，q：x2＋x>0

C．p：x＝2，q：x2－x－2＝0

D．p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是等边三角形

【解析】 由x>0可推出x≥－1，所以p是q的充分条件；由x<－1可推出x2＋x>0，所以p是q的充分条件；由x＝2可推出x2－x－2＝0，所以p是q的充分条件；因为等腰三角形不一定是等边三角形，所以选项D中，p不是q的充分条件．故选D.

二、填空题

7．设p：x>m，q：|x|≤4，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是__m<－4__．

【解析】 依题意{x||x|≤4}⊆{x|x>m}，即{x|－4≤x≤4}⊆{x|x>m}，所以m<－4.

8．“a＝5且b＝3”是“a＋b＝8”成立的__充分不必要__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个)

【解析】 若a＝5且b＝3，则一定有a＋b＝8，反之则未必，所以“a＝5且b＝3”是“a＋b＝8”成立的充分不必要条件．

9．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是__m＝－2__．

【解析】 若函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．

10．已知p：x>2，q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是__{a|a≤2}__；若p是q的必要条件，则a的取值范围是__{a|a≥2}__．

【解析】 因为由p可推出q，则p是q的充分条件，所以a≤2；由q推出p，则p是q的必要条件，所以a≥2.

11．已知p，q都是r的必要条件， s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s是q的__充要__条件，r是q的__充要__条件，p是q的__必要不充分__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

三、解答题

12．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．

(1)p: 同位角相等；q: 两直线平行；

(2)p: x＝3；q: x2＝9；

(3)p: (x－2)(x－3)＝0；q: x－2＝0；

(4)p: x＋y>2, xy>1; q: x>1，y>1；

(5)p：x≠3或y≠4；q：x＋y≠7.

解：(1)p是q的充要条件．

(2)p是q的充分不必要条件．

(3)p是q的必要不充分条件．

(4)p是q的必要不充分条件．

(5)p是q的必要不充分条件．

[B级　素养养成与评价]

13．p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实数根，则p是q的(　A　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】 若方程x2－x－m＝0无实数根，则Δ＝1＋4m<0，即m<－.因为m<－1⇒m<－，而m<－⇒/ m<－1，

所以p是q的充分不必要条件．故选A.

14．p：b2－4ac<0，q：a3＋ab＋c≠0，则p是q的(　A　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】 充分性：记y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R).

由于b2－4ac<0⇒Δ<0且a≠0⇒ax2＋bx＋c＝0无解

⇒当x＝a时，＝a·a2＋b·a＋c≠0⇒a3＋ab＋c≠0.

必要性：反例a＝0，b＝2，c＝1满足a3＋ab＋c≠0，

但有b2－4ac>0，故p是q的充分不必要条件．

15．设 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是__m≥9__．

16．已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求m的取值范围．

解：记A＝，

B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0(m>0)}，

化简可得，A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m(m>0)}．

由q是p的充分不必要条件可得BA，从而有(等号不同时成立)，解得0<m≤3.

17．已知y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0恰有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x0∈R，使a(ax＋bx0＋c)<0.

证明：充分性：a(ax2＋bx＋c)＝－(b2－4ac)，

由a(ax＋bx0＋c)<0⇒－(b2－4ac)<0⇒b2－4ac>4≥0⇒ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．

必要性：由ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根⇒b2－4ac>0⇒存在x0＝－，使得a(ax＋bx0＋c)＝－<0.

所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0恰有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x0∈R，使a(ax＋bx0＋c)<0.