4.1.1实数指数幂及其运算（课件+学案+练习）
展开4．1.1 实数指数幂及其运算
通过对有理数指数幂(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． |
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知识点一 n次方根及根式的概念
1．a的n次方根的定义
如果______________，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为__________________，a∈____________．
(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为______________，其中________表示a的负的n次方根，a∈________．
3．根式
式子____________叫做根式，这里n叫做__________，a叫做__________．
状元随笔 根式的概念中要求n>1，且n∈N*.
知识点二 根式的性质
(1)()n＝________(n∈R＋，且n>1)；
(2)＝
状元随笔 ()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R.
知识点三 分数指数幂的意义及有理数指数幂的
运算性质
1．分数指数幂的意义
分数指数幂 |
|
正分数 指数幂 | 规定：＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1) |
负分数 指数幂 | 规定：＝＝____________(a>0，m，n∈N*，且n>1) |
性质 | 0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂______ |
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝________；(a>0，r，s∈Q)
(2)(ar)s＝________；(a>0，r，s∈Q)
(3)(ab)r＝________．(a>0，b>0，r∈Q)
3．无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个__________．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
基础自测
1.＋π等于( )
A．4 B．2π－4
C．2π－4或4 D．4－2π
2．b4＝3(b>0)，则b等于( )
C．43 D．35
3．(多选)下列各式错误的是( )
A．＝－3 B．＝a
C．()3＝－2 D．＝2
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利用根式的性质化简求值[经典例题]
例1 (1)下列各式正确的是( )
A．＝a B．a0＝1
C. ＝－4 D.＝－5
(2)计算下列各式：
①＝________．
② ＝________．
③ ＝________．
首先确定式子中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．
方法归纳
根式化简或求值的策略
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ＋ .
由根式被开方数正负讨论x≥y，x<y两种情况．
根式与分数指数幂的互化[经典例题]
例2 (1)将分数指数幂(a>0)化为根式为________．
(2)化简：(a2·÷(·)＝________(用分数指数幂表示)．
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．
①a3·.
② (a>0，b>0)．
利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．
方法归纳
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．
跟踪训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A.－＝ (x>0)
B．＝(y<0)
＝ (x>0)
＝－(x≠0)
A：－先把 ＝再加上－.
B：注意y<0.
C：负指数次幂运算．
分数指数幂的运算与化简[教材P7例3]
例3 化简下列各式：
；.
【解析】 (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＝
＝.
状元随笔 ①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．
教材反思
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪训练3 计算：
(1)(－1.8)0＋·；
(a>0，b>0)．
状元随笔 先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算．
4．1.1 实数指数幂及其运算
新知初探·自主学习
知识点一
1．xn＝a
2．(1) R (2)± － [0，＋∞)
3. 根指数 被开方数
知识点二
(1)a (2)a |a|
知识点三
1. 0 无意义
2．(1)ar＋s (2)ars (3)arbr
3．确定的实数
[基础自测]
1．解析：＋π＝4－π＋π＝4.故选A.
答案：A
2．解析：因为b4＝3(b>0)，∴b＝＝.
答案：B
3．解析：由于＝3，＝|a|， ＝－2，故选项A，B，D错误．
答案：ABD
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.
(2)①＝－a.
②＝＝π－3.
③＝－－＝－－＝.
【答案】 (1)D (2)①－a ②π－3 ③
跟踪训练1 解析：(1) ＝－2；
(2) ＝＝；
(3) ＝|3－π|＝π－3；
(4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x).
所以原式＝
例2 【解析】 (1)＝＝
(2) (a2·÷(·)＝(a2·)÷(·)＝÷＝＝
(3)①a3·＝a3·＝＝. ②＝ ＝ ＝ ＝.
【答案】 (1) (2) (3)① ②
跟踪训练2 解析：－－ (x>0)；＝＝－ (y<0)；
＝＝ (x>0)；
＝＝ (x≠0).
答案：C
跟踪训练3 解析：(1)原式＝1＋·－10＋＝1＋·－10＋27＝29－10＝19.
(2)原式＝·0.12·＝2××8＝.
