2021-2022学年山东省临沂市滨河高级中学高二（上）第三次调研数学试卷（10月份）

2021-2022学年山东省临沂市滨河高级中学高二（上）第三次调研数学试卷（10月份）

1. 已知向量，，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，，，若，，共面，则x等于

A.  B. 1 C. 1或 D. 1或0

3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是

A.  B.  C.  D.

4. 已知直线：与直线：垂直，则

A. 3 B. 1或 C.  D. 3或

5. 设直线l：与直线平行，则点到l的距离的最小值为

A.  B. 1 C.  D.

6. 已知直线恒过定点M，则点M的坐标为

A.  B.  C.  D.

7. 过点的直线l的倾斜角是直线：的倾斜角的2倍，则直线l的方程是

A.  B.
C.  D.

8. 如图所示，已知空间四边形OABC，，且，则，的值为
   
    

A.  B. 0 C.  D.

9. 设是空间的一组基底，则下列结论正确的是

A. ，，可以为任意向量
B. 对空间任一向量，存在唯一有序实数组，使
C. 若，，则
D. 可以作为构成空间的一组基底

10. 下面四个结论正确的是

A. 向量，，若，则
B. 若空间四个点，则A，B，C三点共线
C. 已知向量，，若，则⟨，为钝角
D. 任意向量，，满足

11. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是
    
     

A.  B.  C.  D.

12. 下列说法正确的是

A. 直线必过定点
B. 直线在y轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为

13. 已知，，，点在平面ABC内，则______ .
14. 已知和B点关于直线对称，则B点坐标为______.
15. 平面与平面夹角为，与的交线上有A，B两点，直线AC，BD分别在平面与内，且都垂直于已知，则CD的长为______.
16. 已知直线l过点且与线段AB有交点，其中，，则直线l的斜率k的取值范围是______，倾斜角的取值范围是______.
17. 已知：，，，，，求：
    ，，；
    与所成角的余弦值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设，，
    试用向量，，表示向量；
    若，，，求的值.

19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，，M为侧棱PD的中点．
    证明：平面平面PCD；
    求直线PB与平面PCD所成的角的大小．

20. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，，，直线与平面所成角的正弦值为
    求点到平面的距离；
    求平面与平面的夹角的余弦值.
    
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知平面内两点，
    求过点且与直线AB平行的直线l的方程；
    一束光线从B点射向中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程．
    
    
    
    
    
    
     

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，，，，平面平面
求证：平面EFBC；
求二面角的余弦值.







答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：向量，，
则
故选：
直接利用空间向量的数量积求解即可．
本题考查空间向量的数量积的运算法则的应用，是基础题．
 

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查实数值的求法，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用共面向量定理直接求解．
【解答】
解：向量，，，
，，共面，
，，，
，
，解得，

故选  

3.【答案】C
 

【解析】解：空间向量，，
向量在向量上的投影为，
向量在向量上的投影向量为，
故选：
由向量在向量上的投影向量的计算公式，计算即可求出答案．
本题主要考查空间向量的数量积运算，投影向量的定义，属于基础题．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：根据题意，直线：与直线：垂直，
则有，
解可得：或；
故选：
根据题意，由直线垂直的判断方法可得，解可得a的值，即可得答案．
本题考查直线垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：直线l：与直线平行，
，解得，
经过验证两条直线平行，
直线l：，
则点到l的距离，当且仅当时取等号，
故选：
根据两条直线平行的充要条件可得m，再利用点到直线的距离公式即可得出结论．
本题考查了两条直线平行的充要条件、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了恒过定点的直线问题，属于基础题．
将已知的直线方程进行化简变形得到，然后联立方程组，求解即可得到答案．

【解答】

解：将直线变形为，
联立方程，解得，，
所以直线恒过定点
故选：

7.【答案】B
 

【解析】解：因为，，
所以，
所以直线l的方程是：，即
故选：
根据已知条件求得直线l的斜率，利用点斜式写出直线l的方程即可．
本题考查了直线斜率的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：空间四边形OABC中，，，
，



，
，
故选：
根据题意，计算，即可求出，的值．
本题考查了空间向量的合成法则与数量积运算问题，是基础题．
 

9.【答案】BD
 

【解析】解：对于A，是空间的一组基底，则，，是不共面的一组向量，不是任意向量，所以A错误；
对于B，根据空间向量的基本定理知，对空间任一向量，存在唯一有序实数组，使，所以B正确；
对于C，由，，能得出垂直于与所确定的平面，但与不一定垂直，所以C错误；
对于D，设，则；
由向量相等的定义知，，解得，
所以可以作为构成空间的一组基底，D正确；
故选：
根据是空间的一组基底，利用空间向量基本定理，对选项中的命题判断正误即可．
本题考查了空间向量基本定理和应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．
 

10.【答案】AB
 

【解析】解：向量，，若，则，故A正确；
若空间四个点，可得，
即有，则A，B，C三点共线，故B正确；
时，，，即，可得，共线，夹角为，故C不正确；
向量运算不满足结合律，D不正确．
故选：
由向量垂直的条件可判断A；由向量共线定理可判断B；取，可得，共线，可判断C；由向量运算不满足结合律，可判断
本题考查向量的共线定理和向量数量积的性质，以及垂直的性质，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
 

11.【答案】AD
 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线的斜率和倾斜角，直线的图象特征，属于基础题．
根据直线的图象特征，结合直线的斜率和倾斜角，得出结论．

【解答】

解：如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，
则，，故，且为钝角，
故选：

12.【答案】ACD
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：直线的方程，直线的倾斜角和斜率之间的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用直线的方程，直线的倾斜角和斜率之间的关系判定A、B、C、D的结论．

【解答】

解：对于A：直线，整理得，所以该直线经过点，故A正确；
对于B：直线，令，解得，故直线在y轴上的截距为2，故B错误；
对于C：直线，所以直线的斜率，所以，由于故，故C正确；
对于D：直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则，所以直线的斜率为，故D正确．
故选：

13.【答案】11
 

【解析】解：由共面向量定理，可设，其中x，，于是代入点的坐标有：
，得方程组：得
故答案为：11
本题利用共面定理可以解答，即若空间中四点P，A，B，C，满足，则此四点共面，于是本题可以代入点的坐标，列方程组求解．
本题考查了空间向量的坐标运算，共面向量定理的应用，空间向量的坐标运算等知识内容，考查了向量相等的性质．
 

14.【答案】
 

【解析】解：和B点关于直线对称，设B点坐标为，
则由，求得，故点，
故答案为：
由题意，利用垂直、以及中点在轴上这2个条件，用待定系数法求出点B的坐标．
本题主要考查求一个点关于直线的对称点坐标的方法，利用了垂直、以及中点在轴上这2个条件，属于基础题．
 

15.【答案】或4
 

【解析】解：如图所示：

因为平面与平面夹角为，，，，，
若二面角为时，
所以，
所以

，
所以，
当二面角为时，，
所以
故答案为：或
由，利用向量法求解．
本题主要考查空间距离的计算，空间向量的应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，，
直线l过点且与线段AB有交点，其中，，
直线l的斜率k的取值范围是，
又，
倾斜角的取值范围是
故答案为：；
利用直线斜率计算公式可得直线l的斜率k的取值范围，根据正切函数的单调性，即可得出直线倾斜角的取值范围．
本题考查了直线的倾斜角与斜率、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：，
，
解得，，
故，，
又，
，即，解得，
故；
由可得，，
设向量与所成的角为，
则
 

【解析】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式．
由向量的平行和垂直的坐标公式可得关于x，y，z的关系式，解之即可得向量坐标；
由可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结论．
 

18.【答案】解：，
，
故，
点E为AD的中点，
故；
由题意得：，
，
，
故，
故



 

【解析】根据向量的运算性质求出；
，根据向量的运算性质代入计算即可．
本题考查了向量的运算，考查转化思想，是一道中档题．
 

19.【答案】解：因为平面ABCD，ABCD为正方形，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y
轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系．

由已知可得，，，，
因为M为PD的中点，且，
所以，，，
所以，
所以，
所以平面PCD，
因为平面MAC，所以平面平面PCD；
设直线PB与平面PCD所成的角的大小，
由可知为平面PCD的一个法向量，因为，
所以，
所以，即直线PB与平面PCD所成的角的大小为
 

【解析】以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系，用向量法先证明AM垂直CM，证明平面PCD，再证明结论；
由可知为平面PCD的一个法向量，根据线面夹角的向量公式求出结论即可．
考查向量法证明线面垂直，面面垂直，向量法求线面所成角的大小，中档题．
 

20.【答案】解：因为四边形ABCD为平行四边形，，，
所以，
所以，
又四棱柱为直四棱柱，
所以平面ABCD，又DA，平面ABCD，
所以，，
以D为原点，DA，DB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则，，
，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，
所以，
又，
所以，解得，
所以，
所以点到平面的距离为；
设平面的法向量为，
又，
所以，即，
令，则，
所以，，
所以，
故平面与平面的夹角的余弦值为
 

【解析】本题考查空间距离和空间角的求解，属于拔高题．
建立空间直角坐标系，利用线面角的计算公式求出a的值，然后再利用点到平面的计算公式进行求解即可；
得出，，然后利用二面角的计算公式求解即可．
 

21.【答案】解：由直线的点斜式方程可得直线l：，即直线l的方程为；
设关于直线l的对称点，所以，，
解得，所以，
，
由点斜式方程可得，整理可得，
所以反射光线所在的直线方程为
 

【解析】求得直线AB的斜率，运用直线的点斜式方程可得所求方程；
设关于直线l的对称点，运用两直线垂直的条件和中点坐标公式，求得m，n，再由直线的点斜式方程可得所求直线方程．
本题考查直线方程的求法，以及两直线平行和垂直的条件、点关于直线的对称问题，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】证明：因为平面平面ABCD，平面平面，且，平面ABCD，
所以平面CDE，又因为平面CDE，所以，
因为，，BC，平面EFBC，
所以平面EFBC；
解：取CD，AB的中O，P，连结EO，OP，
因为平面平面ABCD，为等腰直角三角形，
所以平面ABCD，则OP，OC，OE三条直线两两垂直，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，
所以，
设平面ABF的法向量为，
则有，
令，则，，故，
由可知，平面EFBC，
所以平面BFC的法向量，
所以，
由图可知，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为
 

【解析】利用面面垂直的性质定理可证明平面CDE，即可证得，又，由线面垂直的判定定理即可证明；
取CD，AB的中O，P，连结EO，OP，证明OP，OC，OE三条直线两两垂直，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面ABF的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可．
本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．