2021-2022学年江苏省南京市部分学校（天印高级中学、秦淮中学、临江高级中学等）高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省南京市部分学校（天印高级中学、秦淮中学、临江高级中学等）高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．（5分）已知函数，那么的值为　　

A． B． C． D．

2．（5分）设，若直线与直线平行，则的值为　　

A．1 B． C．1或 D．

3．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？” “钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为　　

A．钱 B．钱 C．钱 D．钱

4．（5分）若抛物线与直线相交于、两点，则弦的长为　　

A．6 B．8 C． D．

5．（5分）函数，则不等式的解集是　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为　　

A．10 B．11 C．12 D．13

7．（5分）在平面内，，是两个定点，是动点．若，则点的轨迹为　　

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线

8．（5分）已知函数，．若存在三个零点，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．

9．（5分）已知函数，若函数在上有极值，则实数可以取　　

A．1 B．2 C．3 D．4

10．（5分）已知等比数列，公比为，前项和为，则下列结论一定正确的是　　

A．若，，，，，则 

B．若，，，，，则 

C．当时，数列单调递增 

D．若且，则

11．（5分）已知动点在圆上，点、，则　　

A．点到直线的距离小于6 B．点到直线的距离大于2 

C．当最小时， D．当最大时，

12．（5分）将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，，进行排列：（1），，，9，11，．，17，19，21，23，25，27，，，则以下结论中正确的是　　

A．第10个括号内的第一个数为1023 

B．2021在第11个括号内 

C．前10个括号内一共有1023个数 

D．第10个括号内的数字之和，

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为 　　．

14．（5分）牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，作曲线在点，处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；作曲线在点，处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的2次近似值．一般的，作曲线在点，处的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．

设的零点为，取，则的2次近似值为 　　．

15．（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线相交于点（点在第一象限），若，则双曲线的离心率　　．

16．（5分）设数列满足，且，则　　．数列的通项　　．

四、解答题

17．（10分）已知函数的图像在处的切线斜率为3，且时，有极值．

（1）求的解析式；

（2）求在，上的最大值和最小值．

18．（12分）已知数列满足，，且，．

（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和为．

19．（12分）我们知道：当，是圆上一点，则圆的过点的切线方程为．当，是圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则方程表示直线的方程，即切点弦所在直线方程．

请利用上述结论解决以下问题：

已知圆的圆心在轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，．

（1）求圆的方程；

（2）当时，求线段的长；

（3）当点在直线上运动时，求线段长度的最小值．

20．（12分）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，．

（1）求数列和数列的通项公式；

（2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列．

①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列；

②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列．

在以上两个条件中任选一个作为已知条件，求数列的前30项和．

21．（12分）已知椭圆的焦点坐标为，长轴长是短轴长的2倍．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线不过点且与椭圆交于、两点，从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立．

①直线、的斜率分别为，，则；

②直线过定点．

22．（12分）已知函数，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设，，求证：；

（3）当时，恒成立，求的取值范围．

2021-2022学年江苏省南京市部分学校（天印高级中学、秦淮中学、临江高级中学等）高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．（5分）已知函数，那么的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

故选：．

2．（5分）设，若直线与直线平行，则的值为　　

A．1 B． C．1或 D．

【解答】解：因为直线与直线平行；

所以，整理得，

解得或1．

故选：．

3．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？” “钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为　　

A．钱 B．钱 C．钱 D．钱

【解答】解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为，，，，．

则，，，，成等差数列，设公差为．

，

．

整理上面两个算式，得：

，

解得，

．

故选：．

4．（5分）若抛物线与直线相交于、两点，则弦的长为　　

A．6 B．8 C． D．

【解答】解：抛物线方程为，

，，可得焦点为，

直线交轴于点，

直线经过抛物线的焦点，

设，，，，根据抛物线的定义可得，，

所以，

由抛物线与直线消去，得，

根据韦达定理，得，

因此，，

故选：．

5．（5分）函数，则不等式的解集是　　

A． B． C． D．

【解答】解：函数，

，

故在上单调递增，

而，

故即，

解得：，

故选：．

6．（5分）已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为　　

A．10 B．11 C．12 D．13

【解答】解：根据题意，设圆心为，点的坐标为，

而该圆经过点且半径为2，则圆心的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，

且，

则其圆心到原点的距离的最小值为；

故选：．

7．（5分）在平面内，，是两个定点，是动点．若，则点的轨迹为　　

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线

【解答】解：在平面内，，是两个定点，是动点，

不妨设，，设，

因为，

所以，，，

解得，

所以点的轨迹为圆．

故选：．

8．（5分）已知函数，．若存在三个零点，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为存在三个零点，

所以方程有三个实数根，

当时，由可得，解得，有且只有一个实数根，

所以当时，有两个实数根，即有两个实数根，

令，

则，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

因为当时，，，，

作出函数的图象如图所示，

所以有两个实数根，则．

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．

9．（5分）已知函数，若函数在上有极值，则实数可以取　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：，

因为函数在上有极值，

所以，在上有根，

所以在上有变号零点，

又因为，在上单调递增，

所以，解得，

所以的取值范围为，

故选：．

10．（5分）已知等比数列，公比为，前项和为，则下列结论一定正确的是　　

A．若，，，，，则 

B．若，，，，，则 

C．当时，数列单调递增 

D．若且，则

【解答】解：对于，由等比数列通项公式得，

，

，，，，，，故正确；

对于，当等比数列的公比为1时，始终满足，

但不一定成立，故错误；

对于，当，且，数列单调递减，故错误；

对于，当时，等比数列的前项和为，

，，故正确．

故选：．

11．（5分）已知动点在圆上，点、，则　　

A．点到直线的距离小于6 B．点到直线的距离大于2 

C．当最小时， D．当最大时，

【解答】解：根据题意，圆，圆心为，半径，设其圆心为，

依次分析选项：

对于、，点、，直线的方程为，即，

圆心到直线的距离，点到直线的距离最小值为，最大值为，

又由，则点到直线的距离小于6，但不一定大于2，则正确，错误；

对于，过点作圆的切线，当为靠近线段的切点时，如图的位置，最小，此时，正确；

对于，过点作圆的切线，当为远离线段的切点时，如图的位置，最大，此时，正确；

故选：．

12．（5分）将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，，进行排列：（1），，，9，11，．，17，19，21，23，25，27，，，则以下结论中正确的是　　

A．第10个括号内的第一个数为1023 

B．2021在第11个括号内 

C．前10个括号内一共有1023个数 

D．第10个括号内的数字之和，

【解答】解：由题意，第个括号有个数，

选项：前9个括号内共有个数，

所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，

所以第10个括号内的第一个数为，故正确；

选项：前10个括号内共有个数，故正确，

选项：令，解得，所以2021为数列的第1011项，由上面分析可得，

2021在第10个括号内，故错误，

选项：因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为，

所以第10个括号内的数字之和，，故正确，

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为 　　．

【解答】解：根据题意，圆的圆心为，其坐标为，

则，

故切线的斜率，则切线的方程为，变形可得，

故直线的方程为，

故答案为：．

14．（5分）牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，作曲线在点，处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；作曲线在点，处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的2次近似值．一般的，作曲线在点，处的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．

设的零点为，取，则的2次近似值为 　　．

【解答】解：，设切点为，，

则切线斜率，

切线方程为，

令，可得，

，，，

即的2次近似值为．

故答案为：．

15．（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线相交于点（点在第一象限），若，则双曲线的离心率　2　．

【解答】解：如图，依题意可知，即可得，

，

设，由，可得，故，

，，整理可得，

，

，，

故答案为：2．

16．（5分）设数列满足，且，则　5　．数列的通项　　．

【解答】解：由题意，数列满足，

所以当时，，，，解得，

设，

则，且，

所以数列是等差数列，公差为2，首项为1，

所以，即，

所以，

当时，

可得，

其中也满足，

所以数列的通项公式为．

故答案为：5；．

四、解答题

17．（10分）已知函数的图像在处的切线斜率为3，且时，有极值．

（1）求的解析式；

（2）求在，上的最大值和最小值．

【解答】解：（1），

，

函数的图像在处的切线斜率为3，且时，有极值，

，即，解得，

故．

（2）由（1）可得，，解得或，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故在上取得极大值，在上取得极小值0，且，（2），

故在，上的最大值为，最小值为0．

18．（12分）已知数列满足，，且，．

（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和为．

【解答】（1）证明：因为，所以，

故数列是首项为1，公差为2的等差数列，

所以，

所以数列的通项公式为．

（2）解：设，

故．

19．（12分）我们知道：当，是圆上一点，则圆的过点的切线方程为．当，是圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则方程表示直线的方程，即切点弦所在直线方程．

请利用上述结论解决以下问题：

已知圆的圆心在轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，．

（1）求圆的方程；

（2）当时，求线段的长；

（3）当点在直线上运动时，求线段长度的最小值．

【解答】解：（1）由题意，设圆的标准方程为，

则，解得，故圆的方程为．

（2）根据题意可知，直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

故弦长；

（3）设，，则，又直线方程为；，

故直线过定点，设圆心到直线的距离为，由，

故当最大时，最短，而，故与垂直时最大，此时，，

线段长度的最小值为4．

20．（12分）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，．

（1）求数列和数列的通项公式；

（2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列．

①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列；

②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列．

在以上两个条件中任选一个作为已知条件，求数列的前30项和．

【解答】解：（1）因为数列为等比数列，且，，

所以，

又因为，所以，

又，则，

故等差数列的通项公式为；

（2）因为，

所以，，，，，，，

而，，，，

若选①，

因为，，在数列前30项内，，，不在数列前30项内，

则数列前30项和为：；

若选②，

因为，，在数列前30项内，，，不在数列前30项内，

则数列前30项和为：．

21．（12分）已知椭圆的焦点坐标为，长轴长是短轴长的2倍．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线不过点且与椭圆交于、两点，从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立．

①直线、的斜率分别为，，则；

②直线过定点．

【解答】解：（1）由条件可得，解得，

所以椭圆方程为；

证明：（2）选①证②：当直线的斜率存在时，设，，，，，

由 得，则，

由，得，

即，即，

所以，

代入，

所以，

所以，

解得：（舍去），，

所以直线过定点；

当直线斜率不存在时，设，，，

所以，由 得，

所以，即，解得，

所以直线（不符合题意，舍去），

综上：直线过定点；

选②证①：由题意直线的斜率存在，设，

由 得，

则，

所以．

22．（12分）已知函数，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设，，求证：；

（3）当时，恒成立，求的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，

则，由，解得，由，解得，

因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）证明：由（1）可知，当时，（1），故，

令，则即，

所以；

（3）由，，故，

当时，因为，所以，

因此恒成立，且的根至多一个，

故在，上单调递增，所以（1）恒成立，

当时，令，解得，

当时，，则单调递增，

当，1（时，，则单调递减，

于是（1）与恒成立矛盾，

综上，的取值范围为，．

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