2021-2022学年浙江省杭州高级中学高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省杭州高级中学高二（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）曲线1与曲线1（k＜9）的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
2．（5分）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0（1+k）n（k＞﹣1），其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有﹣1＜k＜0，那么在这期间人口数（ ）
A．呈上升趋势B．呈下降趋势C．摆动变化D．不变
3．（5分）已知为平面α的一个法向量，l为一条直线，则“l⊥”是“l∥α”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知数列{an}中，a1＝2，an＝1（n≥2），则a2021等于（ ）
A．﹣1B．C．D．2
5．（5分）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A．B．6C．12D．7
6．（5分）甲、乙两同学进行罚球比赛，罚中得1分，罚丢不得分．已知甲乙两同学的罚球命中率分别为80%和70%，且两人的投篮结果相互独立．现甲、乙两人各罚球一次，则两人得分相同的概率为（ ）
A．56%B．62%C．70%D．80%
7．（5分）已知{an}是等比数列，a2＝2，a5，则a1a2+a2a3+…+anan+1＝（ ）
A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）
C．D．
8．（5分）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A，B，右焦点为F，点P在过F且垂直于x轴的直线l上，当∠APB取得最大值时，曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．y＝±xD．
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理财，该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ）
A．30﹣41周岁参保人数最多
B．随着年龄的增长人均参保费用越来越少
C．丁险种最受参保人青睐
D．30周岁以上的参保人数约占总参保人数20%
（多选）10．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是（ ）
A．若点（n，an）在函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上，则{an}为等差数列
B．若{an}为等差数列，则为等比数列
C．若{an}为等差数列，a1＞0，S11＝0，则当n＝10时，Sn最大
D．若，则{an}为等比数列
（多选）11．（5分）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：（3+m）x+4y﹣3+3m＝0，（m∈R）．则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线l恒过定点（﹣3，3）
B．当m＝0时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1
C．圆C与曲线：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝16
D．当m＝13时，直线l上一个动点P向圆C引两条切线PA、PB其中A、B为切点，则直线AB经过点
（多选）12．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝2，点P满足，x∈（0，1]，y∈（0，1]，z∈（0，1]，则下列结论正确的有（ ）
A．当x＝y＝z时，A1P⊥BD
B．当x+y+z＝1时，D1P∥平面BDC1
C．当时，三棱锥C﹣DPD1的体积为定值
D．当x+y＝1，y＝z时，D1P与平面A1D1DA所成角的正切值为
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
13．（5分）一组数据x1，x2，…，xn的平均数是3，方差为4，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，…，3xn﹣1的平均数为 ，方差为 ．
14．（5分）已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为 ．
15．（5分）已知数列{an}的首项a1＝2，前n项和为Sn，若Sn＝2an+1﹣2（n∈N*），则an＝ ．
16．（5分）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一一一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢“问：良马与驽马 日相逢？（用数字作答）
四、解答题：本题共6小题，共70.分。解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中m的值；
（2）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；
（3）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间[80，90）和[90，100]的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人．若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件A＝“两人的测试成绩分别位于[80，90）和[90，100]”，求P（A）．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为矩形，BC＝BB1＝2AB＝2，∠CBB1＝120°，点E为棱CC1的中点，AE＝2．
（1）求证：平面ABC⊥平面BCC1B1；
（2）求平面AEB与平面A1EB1夹角的余弦值．
19．（12分）已知数列{an}满足an．
（1）求a1，a3，a5；
（2）将数列{an}中下标为奇数的项依次取出，构成新数列{bm}．
（ⅰ）证明：是等差数列；
（ⅱ）设数列的前m项和为Sm，求证：．
20．（12分）已知点M（﹣2，0），N（2，0），动点P（x，y）满足直线PM与PN的斜率之积为．记P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）若P点坐标为（，1），过原点的直线分别交曲线C于A、B两点，求△PAB面积的最大值．
21．（12分）设F为双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点，满足|PQ|＝|OF|．
（1）求C的离心率；
（2）若a＝1，点A在双曲线C上，点B在直线上，满足OA⊥OB，试判断直线AB与圆O的位置关系，并说明理由．
22．（12分）如图，点E（2，t）为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，F为抛物线焦点，满足．
（1）求抛物线C的方程；
（2）点M为直线l：x＝﹣2上的动点，H为点E关于x轴的对称点，连接ME、MH分别交C于点A、B，连接EB交直线l于点N．
（ⅰ）求证：直线AB过定点；
（ⅱ）求证：以MN为直径的圆过定点．
2021-2022学年浙江省杭州高级中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）曲线1与曲线1（k＜9）的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
【解答】解：曲线1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．
曲线1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，
离心率为，焦距为8．
对照选项，则D正确．
故选：D．
2．（5分）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0（1+k）n（k＞﹣1），其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有﹣1＜k＜0，那么在这期间人口数（ ）
A．呈上升趋势B．呈下降趋势C．摆动变化D．不变
【解答】解：Pn+1﹣Pn＝P0（1+k）n+1﹣P0（1+k）n＝P0（1+k）n（1+k﹣1）＝P0（1+k）n•k，
∵﹣1＜k＜0，
∴0＜1+k＜1．
∴（1+k）n＞0．
又∵P0＞0，k＜0，
∴P0（1+k）n•k＜0．
即Pn+1﹣Pn＜0，
∴Pn+1＜Pn．
故选B．
解法二：由题意，k为预测期内年增长率，如果在某一时期有﹣1＜k＜0，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势，故选B
3．（5分）已知为平面α的一个法向量，l为一条直线，则“l⊥”是“l∥α”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：为平面α的一个法向量，l为一条直线，
则“l⊥”⇒“l∥α或l⊂α”，“l∥α”⇒“l⊥”，
∴“l⊥”是“l∥α”的必要不充分条件．
故选：B．
4．（5分）已知数列{an}中，a1＝2，an＝1（n≥2），则a2021等于（ ）
A．﹣1B．C．D．2
【解答】解：∵数列{an}中，a1＝2，an＝1（n≥2），
∴a2＝1，
a3＝11，
a4＝1﹣（﹣1）＝2，
∴数列{an}是以3为周期的周期数列，
∵2021＝3×673+2，
∴a2021＝a2．
故选：C．
5．（5分）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A．B．6C．12D．7
【解答】解：由y2＝3x得其焦点F（，0），准线方程为x．
则过抛物线y2＝3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝tan30°（x）（x）．
代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2，
所以|AB|＝x1x212
故选：C．
6．（5分）甲、乙两同学进行罚球比赛，罚中得1分，罚丢不得分．已知甲乙两同学的罚球命中率分别为80%和70%，且两人的投篮结果相互独立．现甲、乙两人各罚球一次，则两人得分相同的概率为（ ）
A．56%B．62%C．70%D．80%
【解答】解：甲、乙两人各罚球一次，两人得分相同包含两种情况，
①都得1分，则概率为0.8×0.7＝0.56，
②都得0分，则概率为0.2×0.3＝0.06，
∴两人得分相同的概率为0.56+0.06＝0.62＝62%．
故选：B．
7．（5分）已知{an}是等比数列，a2＝2，a5，则a1a2+a2a3+…+anan+1＝（ ）
A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）
C．D．
【解答】解：∵{an}是等比数列，a2＝2，a5＝a2q3＝2•q3，
∴则q，a1＝4，a1a2＝8，
∵q2，
∴数列{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列，
∴a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1（1﹣4﹣n）．
故选：C．
8．（5分）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A，B，右焦点为F，点P在过F且垂直于x轴的直线l上，当∠APB取得最大值时，曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．y＝±xD．
【解答】解：由题意设P（c，y0），y0＞0，
当∠APB取得最大值时，tan∠APB最大，而∠APB＝∠APF﹣∠BPF，
tan∠APF，tan∠BPF，
∴tan∠APB＝tan（∠APF﹣∠BPF）
，
当且仅当y0，即y0＝b时取等号，
∴P的坐标为（c，b），将P点坐标代入双曲线的方程可得，
即c2＝2a2，可得a2+b2＝2a2，
∴a＝b，
可得渐近线的方程为：y＝±x，
故选：C．
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理财，该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ）
A．30﹣41周岁参保人数最多
B．随着年龄的增长人均参保费用越来越少
C．丁险种最受参保人青睐
D．30周岁以上的参保人数约占总参保人数20%
【解答】解：对于A，扇形图可知，31～41周岁的参保人数最多，故A正确；
对于B，由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故选项B错误；
对于C，由柱状图知丁险种参保比例最高，故C正确．
对于D，曲扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故D错误；
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是（ ）
A．若点（n，an）在函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上，则{an}为等差数列
B．若{an}为等差数列，则为等比数列
C．若{an}为等差数列，a1＞0，S11＝0，则当n＝10时，Sn最大
D．若，则{an}为等比数列
【解答】解：对于A：点（n，an）在函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上，故an＝kn+b，满足一次函数的关系式，故an﹣an﹣1＝k（常数），则{an}为等差数列，故A正确；
对于B：由于数列{an}为等差数列，所以an﹣an﹣1＝d（常数），故（常数），所以数列为等比数列，故B正确；
对于C：若{an}为等差数列，a1＞0，S11＝0，
所以，整理得a1＝﹣5d，
故d＜0，
则，当n＝5或6时，Sn最大，故C错误；
对于D：由于，当n＝1时，整理得a1＝5，当n≥2时，，
故，（首项不符合通项），故，故选项D错误．
故选：AB．
（多选）11．（5分）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：（3+m）x+4y﹣3+3m＝0，（m∈R）．则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线l恒过定点（﹣3，3）
B．当m＝0时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1
C．圆C与曲线：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝16
D．当m＝13时，直线l上一个动点P向圆C引两条切线PA、PB其中A、B为切点，则直线AB经过点
【解答】解：对于直线l：（3+m）x+4y﹣3+3m＝0，（m∈R）．整理得：m（x+3）+（3x+4y﹣3）＝0，
故，整理得，即经过定点（﹣3，3），故A正确；
对于B：当m＝0时，直线l转换为3x+4y﹣3＝0，
所以圆心（0，0）到直线3x+4y﹣3＝0的距离d1，不能平分半径，故应该为四点，故B错误；
对于C：圆C：x2+y2＝4，
圆：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0，当m＝16时，：x2+y2﹣6x﹣8y+16＝0，整理得（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，
所以圆心距为r+R＝2+3＝5，
故两圆相外切，恰有三条公切线，故C正确；
对于D：当m＝13时，直线l的方程转换为4x+y+9＝0，
设点P（t，﹣9﹣4t），圆C：x2+y2＝4，的圆心（0，0），半径为r＝2，
以线段PC为直径的圆M的方程为：（x﹣t）x+（9+4t+y）y＝0，
即x2+（﹣t）x+y2+9y+4ty＝0，
由于圆C的方程为：x2+y2＝4，
所以两圆的公共弦的方程为﹣tx+4ty+9y+4＝0，
整理得（4y﹣x）t+9y+4＝0，
所以，解得，即直线AB经过点，故D正确；
故选：ACD．
（多选）12．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝2，点P满足，x∈（0，1]，y∈（0，1]，z∈（0，1]，则下列结论正确的有（ ）
A．当x＝y＝z时，A1P⊥BD
B．当x+y+z＝1时，D1P∥平面BDC1
C．当时，三棱锥C﹣DPD1的体积为定值
D．当x+y＝1，y＝z时，D1P与平面A1D1DA所成角的正切值为
【解答】解：对于A，若A1P⊥BD，则⊥，则有•0，
又，
则•（）•（）＝x2+y•zx•y•z
又•0，0，•0，•0，
所以•x﹣4z，当x＝y＝z时，•x﹣4z＝﹣3x，不一定为0，故A错误；
对于B：当x+y+z＝1时，则点P在面AD1B1上，即D1P⊂面AD1B1，又平面BDC1∥平面BDC1，
所以D1P∥平面BDC1，故B正确；
对于C：，当时，则点P位于垂直A1D1的面上，
知P到面CDD1的距离等于A1D1，所以2×1，故C正确；
对于D：（x﹣1）yz，
当x+y＝1，y＝z时，yyzyyy，
则四边形PA1DC1矩形，设点P在面A1D1DA上的投影为P′，
则y，P′D1y，tanθ．故D正确；
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
13．（5分）一组数据x1，x2，…，xn的平均数是3，方差为4，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，…，3xn﹣1的平均数为 8 ，方差为 36 ．
【解答】解：∵一组数据x1，x2，…，xn的平均数是3，方差为4，
则数据3x1﹣1，3x2﹣1，…，3xn﹣1的平均数为3×3﹣1＝8，
方差为32×4＝36．
故答案为：8；6．
14．（5分）已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为 1 ．
【解答】解：因为△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，由题意可得|F2P＝|F1F2|＝2c，
作F2D⊥PF1，则∠PF2D＝60°，
|PF1|＝2a﹣|PF2|＝2a﹣2c＝2•2c•sin60°＝2c，
可得2a＝2c（1），
所以离心率e1，
故答案为：1．
15．（5分）已知数列{an}的首项a1＝2，前n项和为Sn，若Sn＝2an+1﹣2（n∈N*），则an＝ ．
【解答】解：∵Sn＝2an+1﹣2（n∈N*），
∴n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an+1﹣2﹣（2an﹣2），
化为：an+1an，
n＝1时，2＝2a2﹣2，解得a2＝2，
∴a2＝a1，不满足上式，
∴n≥2时，数列{an}为等比数列，an＝a22，
∴an，
故答案为：．
16．（5分）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一一一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢“问：良马与驽马 9 日相逢？（用数字作答）
【解答】解：依题意得到良马每日行的路程{an}是首项a1＝103，公差d＝13的等差数列，
驽马每日行的路程{bn}是首项b1＝97，公差d′＝﹣0.5的等差数列，
设第m天相逢，则（a1+a2+•••+am）+（b1+b2+•••+bm）＝103m97m2×1125，
解得m＝9或m＝﹣40（舍），
∴良马与驽马9相逢．
故答案为：9．
四、解答题：本题共6小题，共70.分。解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中m的值；
（2）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；
（3）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间[80，90）和[90，100]的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人．若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件A＝“两人的测试成绩分别位于[80，90）和[90，100]”，求P（A）．
【解答】解：（1）由已知（0.004+0.006+0.02+0.03+0.024+m）×10＝1，解得m＝0.016．
（2）测试成绩的平均数76.2．
测试成绩落在区间[40，70）的频率为（0.004+0.006+0.02）×10＝0.3，
落在区间[40，80）的频率为（0.004+0.006+0.02+0.03）×10＝0.6，
所以设第57百分位数为a，有0.3+（a﹣70）×0.03＝0.57，
解得a＝79；
（3）由题知，测试分数位于区间[80，90）、[90，100）的人数之比为，
所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间[80，90）中3人，用A1，A2，A3表示，
在区间[90，100）中2人，用B1，B2表示，
从这5人中抽取2人的所有可能情况有：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共10种，
其中“落在区间[80，90）和[90，100）”有6种，
所以．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为矩形，BC＝BB1＝2AB＝2，∠CBB1＝120°，点E为棱CC1的中点，AE＝2．
（1）求证：平面ABC⊥平面BCC1B1；
（2）求平面AEB与平面A1EB1夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：由三棱柱的性质BC＝BB1＝2，可知四边形BCC1B1为菱形，
又∵∠CBB1＝120°，
∴△CBC1为等边三角形，∴，
又∵AE＝2，∴AE2＝BE2+AB2，∴AB⊥BE，
因为四边形ABB1A1为矩形，∴AB⊥BB1，
又∵BE∩BB1＝B，
∴AB⊥平面BCC1B1，
又∵AB⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BCC1B1；
（2）解：以B为原点，BE为x轴，BB1为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A（0，0，1），，B1（0，2，0），A1（0，2，1），
所以向量（0，0，﹣1），，
设平面A1EB1的法向量为，
则，即
∴，
又平面ABE的法向量为，
∴．
∴平面ABE与平面A1EB1夹角的余弦值为．
19．（12分）已知数列{an}满足an．
（1）求a1，a3，a5；
（2）将数列{an}中下标为奇数的项依次取出，构成新数列{bm}．
（ⅰ）证明：是等差数列；
（ⅱ）设数列的前m项和为Sm，求证：．
【解答】解：（1）由题意可得：a22，a48，a618，
∴a1＝a2﹣2＝0，a3＝a4﹣4＝4，a5＝a6﹣6＝12，
证明：（2）（i）：当n为奇数时，an＝an+1﹣（n+1）（n+1），
即当n＝2m﹣1时，bm2m（m﹣1），
∴2（m﹣1），
∴2（m+1﹣1）﹣2（m﹣1）＝2，
∴是等差数列；
（ii）（），
∴Sm（1•••）（1）．
20．（12分）已知点M（﹣2，0），N（2，0），动点P（x，y）满足直线PM与PN的斜率之积为．记P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）若P点坐标为（，1），过原点的直线分别交曲线C于A、B两点，求△PAB面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意得，
整理得曲线C的方程：1（y≠0），
∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；
（2）设直线AB的方程为y＝kx，设A（x，y），B（﹣x，﹣y），
联立椭圆方程可求得方程组的解x2，y2，
所以|AB|＝22，
点P到直线的距离为d，
所以S△PAB222222，
当且仅当2k，即k时取等号，
所以△PAB面积的最大值为2．
21．（12分）设F为双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点，满足|PQ|＝|OF|．
（1）求C的离心率；
（2）若a＝1，点A在双曲线C上，点B在直线上，满足OA⊥OB，试判断直线AB与圆O的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）设PQ与x轴交于点H，由对称性可知PQ⊥x轴，
又因为|PQ|＝|OF|＝c，
所以|PH|，
所以PH为以OF为直径的圆的半径，
所以H为圆心，|OH|，
所以，
又P点在圆x2+y2＝a2上，
所以，
即，
所以．
所以；
（2）若a＝1，则c，所以b2＝1，
所以双曲线方程为x2﹣y2＝1，
因为OA⊥OB，
所以O在以AB为直径的圆上，
设B（，m），A（x1，y1），
所以x1+my1＝0，即x1my1，
又x12﹣y12＝1，
则2m2y12＝1+y12，即有m2，
直线AB的方程为y﹣m（x），
可得圆心（0，0）到直线AB的距离为d
（*），
（*）的分母为|2y1|，
分子为|m2y1y1||2y1|，
所以d＝1，
则直线AB与圆O相切．
22．（12分）如图，点E（2，t）为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，F为抛物线焦点，满足．
（1）求抛物线C的方程；
（2）点M为直线l：x＝﹣2上的动点，H为点E关于x轴的对称点，连接ME、MH分别交C于点A、B，连接EB交直线l于点N．
（ⅰ）求证：直线AB过定点；
（ⅱ）求证：以MN为直径的圆过定点．
【解答】解：（1）由已知有E（2，t）在抛物线上，
故，
可得p＝1，
故抛物线方程为y2＝2x；
（2）（i）证明：由已知有E（2，2），H（2，﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵M，B，H三点共线，∴kME＝kEA，
即，解得t，
∵M，B，H三点共线，∴kMH＝kBH，
即，解得t，
∴t，∴y1y2＝﹣4，
∴lAB：，即（y1+y2）y﹣2x+4＝0，
∴直线AB过定点（2，0）．
（ii）证明：lAB：，yN，
由（i）知yM2，
设以MN为直径的圆过定点P（a，b），
（a+2，b）＝0，（a+2，b），
（a+2）2+（b）（b）＝0，
化简，得：a2+4a+b2b＝0，
∴以MN为直径的圆恒过定点（0，0），（﹣4，0）．
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