2021-2022学年山东省潍坊市高一（下）学科核心素养数学试卷（5月份）（含答案解析）

2021-2022学年山东省潍坊市高一（下）学科核心素养数学试卷（5月份）

1.  已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是(    )

A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4

2.  已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则(    )

A.  B.  C.  D. 6

3.  的值(    )

A. 小于0 B. 大于0 C. 等于0 D. 不存在

4.  已知，是平面内的两个向量，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知为第三象限角，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于函数有如下四个命题：
甲：该函数在上单调递增；
乙：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数；
丙：该函数图象的一条对称轴方程为；
丁：该函数图像的一个对称中心为
如果只有一个假命题，则该命题是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7.  在中，，则P点(    )

A. 在线段BC上，且 B. 在线段CB的延长线上，且
C. 在线段BC的延长线上，且 D. 在线段BC上，且

8.  已知，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列命题正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则存在唯一实数，使得若
D. 若点P为所在平面上一点，若，则面积与面积之比为1：4

10.  已知，且，则(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. ，可能是方程的两根
D.

11.  已知点是函数图象的一个对称中心，且在处取得最大值，则(    )

A. 函数的最小正周期为
B. 在上的值域为
C. 函数在上单调递减
D. 若的根为…，，则

12.  设，且对任意，均有，D为线段AB上一点，连接OD并延长到P，使，若，则(    )

A. 为直角三角形 B.
C.  D. 这样的D点有2个

13.  若，则______.

14.  函数的定义域为______.

15.  设，则的最大值为______.

16.  函数，若在上的值域为，则实数的取值范围是______.

17.  已知，求的取值范围．

18.  如图所示，已知矩形ABCD中，，，，AC与MN相交于点
若，求和的值；
用向量表示

19.  已知函数
求函数的最小正周期和单调递增区间；
若函数在区间上有且仅有两个零点，，求k的取值范围，并求的值．

20.  少林寺作为国家AAAAA级旅游景区，每年都会接待大批游客，在少林寺的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重．为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，人住客栈的游客人数基本相同；②人住客栈的游客人数在1月份最少，在7月份最多，相差约400；③1月份入住客栈的游客约为300人，随后逐月递增，在7月份达到最多．
试用一个正弦型函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
请问客栈在哪几个月份要至少准备600份食物？

21.  如图，圆O是边长为4的正方形ABCD的内切圆，S为圆周上一点，过S作AB，AD的垂线，垂足分别为M，设
求pq的取值范围；
求的最小值．

22.  在中，设，P为内任意动点，记取最小值时的点P为过作直线交线段CA于交线段CB于N，试求的值．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．
设出扇形的圆心角为，半径为Rcm，根据扇形的周长为6，面积是2，列出方程组，即可求出扇形的圆心角的弧度数．

【解答】
解：设扇形的圆心角为，半径为R，
则，
解得或
故选：  

2.【答案】C 

【解析】解：，B，C三点共线，
与共线，
存在，使，
，且不共线，
，解得
故选：
根据共线向量和平面向量基本定理即可得出m的值．
本题考查了共线向量和平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：弧度大约等于57度，2弧度等于114度，

弧度小于弧度，在第二象限

弧度小于弧度，大于弧度，在第三象限


故选：
根据2弧度、3弧度、4弧度所在象限分析三角函数值的正负，最后得出答案．
本题主要考查三角函数值的符号问题．常常根据角所在的象限来判断函数值的正负．
 

4.【答案】D 

【解析】解：因为，且，
所以
故选：
，以此可解决此题．
本题考查平面向量数量积运算，考查数学运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：因为为第三象限角，
所以，
又，整理可得，
所以，
则
故选：
由已知可得，利用二倍角的正切公式化简已知等式可得，解方程可得的值，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．
本题考查了二倍角的正切公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：令，，则函数的增区间为…①；函数图象向右平移个单位长度得到…②；
令，…③；
令，…④．
若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，
令，由①，函数的增区间为，则甲正确，矛盾；
令，由①，函数的增区间为，则甲错误，满足题意．
由③．函数的对称轴方程为，，时，，则丙正确．
由④，函数的对称中心为，令，丁错误．不合题意；
若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的两个端点的中点为对称中心，
由①．令，
结合④．令，
由函数的奇偶性，取，，
由③．，，
令，则丙错误．不合题意；
若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令，
由①．函数的增区间为，则甲错误，不合题意．
令，由①．函数的增区间为，甲正确．
取区间中点，则丁错误．不合题意；
若丁错误，则甲乙丙正确．由②，由函数的奇偶性，令，
由①．函数的增区间为，则甲错误，不合题意．
令，由①．函数的增区间为，甲正确．
由③．，
时，，则丙正确．
由④．，，令，④错误．满足题意．
综上：该命题是丁．
故选：
根据题意首先求出函数的增区间，平移后的解析式，对称轴和对称中心，进而分别讨论甲、乙、丙、丁为错误时其它命题的正误，进而得到答案．
本题考查了分类讨论思想、三角函数的性质，属于中档题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：由得得，所以P点在线段CB的延长线上，且
故选：
由得得，以此可判断正确选项．
本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：由题意知，，，
因为，所以，
所以，
，
所以


故选：
根据两角和差的正弦公式，结合诱导公式，可得，，再由，的取值范围，利用同角三角函数的平方关系求得，的值，然后配凑角，由两角差的余弦公式，得解．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和差公式，诱导公式，同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】BD 

【解析】解：A：当为零向量时不一定成立，错误；
B：由条件知：，正确；
C：，为零向量时中实数不唯一，错误；
D：由，易知：P为平行于AC的中位线中点，

则且，故面积与面积之比为1：4，正确．
故选：
A、C注意零向量的情况；
B由相等向量传递性判断；
D由确定P的位置，进而判断面积关系．
本题考查了共线向量、相等向量的概念、判定以及向量的加法法则，属于基础题．
 

10.【答案】ABD 

【解析】解：，且，
，
对于A，若，则，即，故，故A正确；
，
对于B，若，则，，
则，故B正确；
对于C，若，是方程的两根，则，，
，这是不可能的，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：
依题意，可得，结合题意，对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查了两角和与差的三角函数，涉及诱导公式，辅助角公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】ACD 

【解析】解：已知点是函数图象的一个对称中心，且在处取得最大值；
所以：，则；
所以：，；；
由于；
所以；
由于：；
所以；
故；
对于A：函数的最小正周期为，故A正确；
对于B：由于，所以，故，故B错误；
对于C：由于，故，故C正确；
对于D：令；解得或，；
由于，故；；故，故D正确．
故选：
直接利用方程组确定函数的解析式；进一步利用函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

12.【答案】AC 

【解析】解：对任意，均有，
两边平方得：，
即对任意恒成立，
，，
，故A正确；
设，
，
，
，解得，
，，
，，故B错误，C正确；
设，两边平方整理得，
此方程有两异号的根，
在线段AB上，，
方程只有一个正根，即这样的点D只有一个，故D错误．
故选：
将两边平行，化简得对任意恒成立，即可判断A；设，解得，即可判断BC；设，两边平方整理得，再根据D在线段AB上，确定方程解的个数即可判断
本题考查向量数量积公式、向量运算法则、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由得得，所以可得
故答案为：
由得得，然后可求得的值．
本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：要使有意义，则：；
；
；
的定义域为
故答案为：
可看出，要使得函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．
考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，要熟悉正弦函数的图象．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，
不妨设，，，
又，
则，，
则当时，取最大值，
故答案为：
由，不妨设，，，然后结合辅助角公式求最大值即可．
本题考查了三角函数的应用，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：函数，在上，
若在上的值域为，则，
，求得，
故答案为：
利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得实数的取值范围．
本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属基础题．
 

17.【答案】解：因为，
所以，
因为，
所以，，
又，所以，
所以，，
又
所以当时，式取得最小值；
当或时，式取得最大值2，
故所求范围为 

【解析】利用诱导公式化简已知等式可得，根据三角函数的性质可求，化简所求可得，根据正弦函数的性质以及二次函数的性质即可求解其取值范围．
本题考查了诱导公式，三角函数的性质以及二次函数的性质的综合应用，考查了函数思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，，
，解得：：
设，，
所以解得，
即，所以，
又因为M，E，N三点共线，所以，
所以﹒ 

【解析】以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
写出A、D、B、M、N、C各点坐标
把中的向量都用坐标表示，可求得和的值；
把向量，用坐标表示后可解决此问题．
本题考查平面向量坐标运算，考查数学运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为，
所以函数的最小正周期，
因为，
所以，
所以函数的单调递增区间为；
由题意得在区间上有且仅有两个解，，
即曲线与直线在区间，上有且仅有两个交点，
，得，
设，则，
由函数的性质可知k的取值范围为，
设曲线与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为，，
当时，由图可知，关于直线对称，即，关于直线对称，所以；
当时，由图可知，关于直线对称，即，关于直线对称，所以，
综上，的值是或 

【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简可求函数解析式为，进而根据正弦函数的性质即可求解．
由题意设，则，，根据三角函数的性质可求k的取值范围，设曲线与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为，，当时，由图可知，关于直线对称，可求；当时，由图可知，关于直线对称，可求，从而可求的值．
本题考查了三角恒等变换，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意设函数为，，2，…，12，
由①可知这个函数的周期是12，即，得，
由②可知最小，最大，且，故，则，
由③可知在上是增函数，且，得，则，
又当时，最小，当时，最大，
，且，可得，
已知，取，得
故；
由条件可知，，
化简得，即，
解得：，，
，且，，6，7，8，9，
客栈在5，6，7，8，9月份要至少准备600份食物． 

【解析】设函数为，，2，…，12，由已知求得A、B、与的值，可得函数解析式；
由题意，，结合x为自然数，即可求得x值，则答案可求．
本题考查函数模型的选择及应用，考查型函数的图象与性质，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：如图，以O为原点，以平行于的直线为x轴，以平行于的直线为y轴建立平面直角坐标系，
设点，
由题可知，，，，
则，，
则，
令，
则，
即，，
所以当时pq有最小值为，当时pq有最大值0，
所以pq的取值范围是；
由得，
令，
则原式，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为 

【解析】由平面向量数量积的坐标运算可得；，然后令，即，，再结合二次函数求值域即可；
由得，令，然后结合基本不等式可得：，得解．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了基本不等式的应用，属基础题．
 

22.【答案】解：设
则，
则，
所以，当时上式取得最小值，
显然，此时为的重心，
设，
则
由，M，N三点共线可得，即，
又，
则，，
代入上式可得： 

【解析】设则，所以，当时上式取得最小值，此时为的重心，然后结合三点共线的向量表示求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三点共线的向量表示，属基础题．