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2021-2022学年山东省聊城市某校高二（下）月考数学试卷
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这是一份2021-2022学年山东省聊城市某校高二（下）月考数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A.6B.12C.16D.18
2. 设曲线y=lnx+1+2ax在点0,0处的切线方程为2x−y=0，则a=（ ）
A.1B.−1C.12D.−12
3. 设随机变量X∼N2,σ2,P0C.0.2
4. 冬奥会越野滑雪项目比赛共分4组，现安排3名志愿者负责这4组的服务工作，每人至少负责1组，每组的服务工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A.12种B.18种C.24种D.36种
5. 某班级在一次数学知识竞赛答题活动中，一名选手从2道数学文化题和3道作图题中不放回的依次抽取2道题，在第一次抽到作图题的前提下第二次抽到作图题的概率是（ ）
A.310B.12C.625D.925
6. 若函数fx=lnx+1−mx在区间0,+∞上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A.(−∞,−1]B.−∞,−1C.1,+∞D.[1,+∞）
7. 函数f(x)=3x2e|x|的大致图象是( )
A.B.
C.D.
8. 若x5=a0+a1x−1+a2x−12+⋯+a5x−15，则a3=（ ）
A.8B.−8C.10D.−10
二、多选题
在二项式2x−25的展开式中，系数为有理数的项有（ ）
A.第一项B.第三项C.第四项D.第五项
已知函数fx=x2lnx，则下列说法正确的是（ ）
A.fx≥0恒成立B.函数fx在1,+∞上单调递增
C.函数fx的极小值为−12eD.函数fx只有一个零点
下列说法正确的是（ ）
A.3个不同的球放入5个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，不同的放法有A53种
B.3个不同的球放入5个不同的盒子中，每个盒子放球数量不限，不同的放法有35种
C.3个相同的球放入5个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，不同的放法有C53种
D.5个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有2C31种
设函数fx=ax2+bx+cexa,b,c∈R，若x=−1为函数fx的一个极值点，则下列结论一定正确的是（ ）
A.2a+b=0B.a−c=0C.2a−b=0D.b≠0
三、填空题
函数f(x)=x−lnx的最小值为________．
为参加学校美术作品评选，高二一班从学生上交的2幅油画和4幅国画中选3幅上交参赛，按要求至少上交1幅油画，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）
用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是________．（用数字填写答案）
若对任意的x∈a,b，均有gx≤hx≤fx成立，则称函数hx为gx和fx在a,b上的“中间函数”．已知函数hx=m−1x−1,gx=−3,fx=x+1lnx，且hx是gx和fx在区间1,2上的“中间函数”，则实数m的取值范围是________.
四、解答题
2名男生和3名女生站成一排．
(1)2名男生相邻的站法有多少种？
(2)男生和女生相间的站法有多少种？
(3)男生甲不在排头，女生乙不在排尾的站法有多少种？
甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取．在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是35，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是45.
(1)甲单独答题三轮，求甲恰有两轮通过测试的概率；
(2)在甲、乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率．
已知函数fx=mx+lnxm∈R.
(1)若m=2，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)若2fx−1≥0恒成立，求实数m的取值范围．
(1)若x2+mx+1x10展开式中x6的系数是30，求m的值；
(2)求2x−1x6展开式中的有理项．
某超市有5种不同品牌的签字笔，它们的销售价格（元/支）和市场份额（指该品牌签字笔的销售量在超市同类产品中所占比例）如下：
(1)从该超市销售的这5种品牌的签字笔中随机抽取1支，估计其销售价格低于2.4元的概率；
(2)将该超市销售的这5种品牌的签字笔依市场份额进行分层抽样，随机抽取20支签字笔进行质量检测，其中品牌A和B共抽取了多少支？若从这些抽取的品牌A和B的签字笔中随机再抽取3支进行含油墨量检测．记X为抽到品牌B的签字笔数量，求X的分布列和数学期望．
已知函数fx=ax−2ex+3a∈R,gx=lnx+xex（e为自然对数的底数，e<259）.
(1)求函数fx的单调区间；
(2)若a=−1,hx=fx+gx，证明：当x∈12,1时，−1参考答案与试题解析
2021-2022学年山东省聊城市某校高二（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
2.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
3.
【答案】
A
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
4.
【答案】
D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
5.
【答案】
B
【考点】
条件概率与独立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
6.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
7.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
利用排除法，取特殊值验证即可
【解答】
解：∵ f(x)=3x2e|x|，
∴f(−x)=−3x2e|x|=−f(x)，
∴f(x)是奇函数，排除B；
当x>0时，f′(x)=3−3x2ex，
∴x=1是f(x)的一个极值点.
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
ABD
【答案】
B,C,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
BCD
【答案】
A,C,D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
ACD
【答案】
B,D
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
BD
三、填空题
【答案】
1
【考点】
导数求函数的最值
【解析】
求出函数的导函数，令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0得到x的范围，求出函数的最小值．
【解答】
1
【答案】
16
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
16
【答案】
120
【考点】
分步乘法计数原理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
120
【答案】
0,2
【考点】
函数恒成立问题
函数新定义问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
0,2
四、解答题
【答案】
解：（1）2名男生相邻，利用捆绑法，把2名男生看成一个整体与女生排列，再排2名男生站法有：A44A22=48种．
（2）男生和女生相间，利用插空法，站法有：A33A22=12种．
（3）男生甲不在排头，女生乙不在排尾的站法，利用间接法，
站法有：A55−2A44+A33=78种．
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）2名男生相邻，利用捆绑法，把2名男生看成一个整体与女生排列，再排2名男生站法有：A44A22=48种．
（2）男生和女生相间，利用插空法，站法有：A33A22=12种．
（3）男生甲不在排头，女生乙不在排尾的站法，利用间接法，
站法有：A55−2A44+A33=78种．
【答案】
解：（1）设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则
PA=C32⋅352⋅25=54125．
（2）设“选中甲参加测试”为事件A1，“选中乙参加测试”为事件A2，“通过测试”为事件B，
则PA1=PA2=12,PB|A1=35,PB|A2=45，
由全概率公式可得：PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2=12×35+12×45=710.
【考点】
古典概型及其概率计算公式
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件与对立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则
PA=C32⋅352⋅25=54125．
（2）设“选中甲参加测试”为事件A1，“选中乙参加测试”为事件A2，“通过测试”为事件B，
则PA1=PA2=12,PB|A1=35,PB|A2=45，
由全概率公式可得：PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2=12×35+12×45=710.
【答案】
解：（1）若m=2，则fx=2x+lnx,f′x=−2x2+1x=x−2x2．
∴ f′1=−1，
又f1=2，
∴ 曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为：x+y−3=0.
（2）∵ 2fx−1≥0恒成立，，即fx≥12恒成立，
∴ mx+lnx≥12，即m≥12x−xlnx恒成立，
令gx=12x−xlnx．则g′x=12−lnx−1=−12−lnx，
∴ 当x∈0,ee时，g′x>0，当x∈ee,+∞时，g′x<0，
∴ gx在0,ee上单调递增，在ee,+∞上单调递减，
∴ gxmax=gee=ee，
∴ m≥ee.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）若m=2，则fx=2x+lnx,f′x=−2x2+1x=x−2x2．
∴ f′1=−1，
又f1=2，
∴ 曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为：x+y−3=0.
（2）∵ 2fx−1≥0恒成立，，即fx≥12恒成立，
∴ mx+lnx≥12，即m≥12x−xlnx恒成立，
令gx=12x−xlnx．则g′x=12−lnx−1=−12−lnx，
∴ 当x∈0,ee时，g′x>0，当x∈ee,+∞时，g′x<0，
∴ gx在0,ee上单调递增，在ee,+∞上单调递减，
∴ gxmax=gee=ee，
∴ m≥ee.
【答案】
解：（1）x+1x10的展开式的通项为Tk+1=C10k⋅x10−k 1xk=C10k⋅x10−2k，
令10−2k=4，得k=3，所以x+1x10的展开式中x4的系数为C103
令10−2k=6，得k=2，所以x+1x10的展开式中x6的系数为C102
所以x2+mx+1x10展开式中x6的系数是C103+mC102=30．
解得m=−2．
（2）2x−1x6的展开式的通项为：
Tk+1=C6k⋅2x6−k⋅−1xk=−1k⋅26−kC6kx3−32k ，
所以k=0,2,4,6时，展开式中的项为有理项，
故展开式中的有理项为：
T1=64x3,T3=240,T5=60x3,T=1x6．
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）x+1x10的展开式的通项为Tk+1=C10k⋅x10−k 1xk=C10k⋅x10−2k，
令10−2k=4，得k=3，所以x+1x10的展开式中x4的系数为C103
令10−2k=6，得k=2，所以x+1x10的展开式中x6的系数为C102
所以x2+mx+1x10展开式中x6的系数是C103+mC102=30．
解得m=−2．
（2）2x−1x6的展开式的通项为：
Tk+1=C6k⋅2x6−k⋅−1xk=−1k⋅26−kC6kx3−32k ，
所以k=0,2,4,6时，展开式中的项为有理项，
故展开式中的有理项为：
T1=64x3,T3=240,T5=60x3,T=1x6．
【答案】
解：（1）记“从该超市销售的签字笔中随机抽取1支，其销售价格低于2.4元”为事件M．由已知可得，PM=0.15+0.2+0.25=0.6
所以从该超市销售的签字笔中随机抽取1支，其销售价格低于2.4元的概率为0.6．
（2）由已知可得，品牌A的签字笔抽取了20×15%=3支，品牌B的签字笔抽取了20×10%=2支，所以品牌A和B共抽取了3+2=5（支）．
随机变量X的可能取值为0,1,2,
PX=0=C33C53=110;
PX=1=C32C21C53=35，
PX=2=C31C22C53=310．
所以X的分布列为：
X的数学期望为EX=0×110+1×35+2×310=65.
【考点】
古典概型及其概率计算公式
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）记“从该超市销售的签字笔中随机抽取1支，其销售价格低于2.4元”为事件M．由已知可得，PM=0.15+0.2+0.25=0.6
所以从该超市销售的签字笔中随机抽取1支，其销售价格低于2.4元的概率为0.6．
（2）由已知可得，品牌A的签字笔抽取了20×15%=3支，品牌B的签字笔抽取了20×10%=2支，所以品牌A和B共抽取了3+2=5（支）．
随机变量X的可能取值为0,1,2,
PX=0=C33C53=110;
PX=1=C32C21C53=35，
PX=2=C31C22C53=310．
所以X的分布列为：
X的数学期望为EX=0×110+1×35+2×310=65.
【答案】
解：（1）由fx=ax−2ex+3，得f′x=a−2ex
当a≤0时，f′x<0，函数fx在−∞,+∞ 上单调递减；
当a>0时，当x∈−∞,lna2时，f′x>0,fx单调递增，当x∈lna2,+∞时，f′x<0,fx 单调递减，
∴ a≤0时，fx的单调递减区间为−∞,+∞，无递增区间；
a>0时，fx的单调递增区间是−∞,lna2，单调递减区间是lna2,+∞．
（2）当a=−1时，hx=lnx−x+x−2ex+3,x>0
则h′x=1x−1+x−1ex=x−1xex−1x，
当x∈12,1时，x−1<0
令Ax=xex−1，则A′x=x+1ex>0
所以Ax在12,1上单调递增，
又∵ A12=12e12−1=12e12−2<0,A1=e−1>0
∴ 存在x0∈12,1，使得Ax0=0，即x0ex0−1=0，即lnx0=−x0．
所以当x∈12,x0时，Ax<0，此时h′x>0，当x∈x0,1时，Ax>0，此时h′x<0，即hx在12,x0上单调递增，在x0,1上单调递减，
所以hx在12,1上的最大值为hx0，最小值为h12和h(1）的较小者，
∵ hx0=lnx0−x0+x0−2ex0+3=−2x0−2x0+4=−2x0+1x0+4,x0∈(12,1)，
又x0∈12,1时，x0+1x0>2，故hx0<0，
故x∈12,1时，hx<0．
又∵ h1=2−e>−1
由已知e<259，则e12<53，
∴ h12=−ln2−12−32e12+3=52−32e12−ln2>52−32×53−ln2=−ln2>−1，
故x∈12,1时，hx>−1，
所以x∈12,1时，−1【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由fx=ax−2ex+3，得f′x=a−2ex
当a≤0时，f′x<0，函数fx在−∞,+∞ 上单调递减；
当a>0时，当x∈−∞,lna2时，f′x>0,fx单调递增，当x∈lna2,+∞时，f′x<0,fx 单调递减，
∴ a≤0时，fx的单调递减区间为−∞,+∞，无递增区间；
a>0时，fx的单调递增区间是−∞,lna2，单调递减区间是lna2,+∞．
（2）当a=−1时，hx=lnx−x+x−2ex+3,x>0
则h′x=1x−1+x−1ex=x−1xex−1x，
当x∈12,1时，x−1<0
令Ax=xex−1，则A′x=x+1ex>0
所以Ax在12,1上单调递增，
又∵ A12=12e12−1=12e12−2<0,A1=e−1>0
∴ 存在x0∈12,1，使得Ax0=0，即x0ex0−1=0，即lnx0=−x0．
所以当x∈12,x0时，Ax<0，此时h′x>0，当x∈x0,1时，Ax>0，此时h′x<0，即hx在12,x0上单调递增，在x0,1上单调递减，
所以hx在12,1上的最大值为hx0，最小值为h12和h(1）的较小者，
∵ hx0=lnx0−x0+x0−2ex0+3=−2x0−2x0+4=−2x0+1x0+4,x0∈(12,1)，
又x0∈12,1时，x0+1x0>2，故hx0<0，
故x∈12,1时，hx<0．
又∵ h1=2−e>−1
由已知e<259，则e12<53，
∴ h12=−ln2−12−32e12+3=52−32e12−ln2>52−32×53−ln2=−ln2>−1，
故x∈12,1时，hx>−1，
所以x∈12,1时，−1
1. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A.6B.12C.16D.18
2. 设曲线y=lnx+1+2ax在点0,0处的切线方程为2x−y=0，则a=（ ）
A.1B.−1C.12D.−12
3. 设随机变量X∼N2,σ2,P0
4. 冬奥会越野滑雪项目比赛共分4组，现安排3名志愿者负责这4组的服务工作，每人至少负责1组，每组的服务工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A.12种B.18种C.24种D.36种
5. 某班级在一次数学知识竞赛答题活动中，一名选手从2道数学文化题和3道作图题中不放回的依次抽取2道题，在第一次抽到作图题的前提下第二次抽到作图题的概率是（ ）
A.310B.12C.625D.925
6. 若函数fx=lnx+1−mx在区间0,+∞上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A.(−∞,−1]B.−∞,−1C.1,+∞D.[1,+∞）
7. 函数f(x)=3x2e|x|的大致图象是( )
A.B.
C.D.
8. 若x5=a0+a1x−1+a2x−12+⋯+a5x−15，则a3=（ ）
A.8B.−8C.10D.−10
二、多选题
在二项式2x−25的展开式中，系数为有理数的项有（ ）
A.第一项B.第三项C.第四项D.第五项
已知函数fx=x2lnx，则下列说法正确的是（ ）
A.fx≥0恒成立B.函数fx在1,+∞上单调递增
C.函数fx的极小值为−12eD.函数fx只有一个零点
下列说法正确的是（ ）
A.3个不同的球放入5个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，不同的放法有A53种
B.3个不同的球放入5个不同的盒子中，每个盒子放球数量不限，不同的放法有35种
C.3个相同的球放入5个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，不同的放法有C53种
D.5个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有2C31种
设函数fx=ax2+bx+cexa,b,c∈R，若x=−1为函数fx的一个极值点，则下列结论一定正确的是（ ）
A.2a+b=0B.a−c=0C.2a−b=0D.b≠0
三、填空题
函数f(x)=x−lnx的最小值为________．
为参加学校美术作品评选，高二一班从学生上交的2幅油画和4幅国画中选3幅上交参赛，按要求至少上交1幅油画，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）
用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是________．（用数字填写答案）
若对任意的x∈a,b，均有gx≤hx≤fx成立，则称函数hx为gx和fx在a,b上的“中间函数”．已知函数hx=m−1x−1,gx=−3,fx=x+1lnx，且hx是gx和fx在区间1,2上的“中间函数”，则实数m的取值范围是________.
四、解答题
2名男生和3名女生站成一排．
(1)2名男生相邻的站法有多少种？
(2)男生和女生相间的站法有多少种？
(3)男生甲不在排头，女生乙不在排尾的站法有多少种？
甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取．在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是35，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是45.
(1)甲单独答题三轮，求甲恰有两轮通过测试的概率；
(2)在甲、乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率．
已知函数fx=mx+lnxm∈R.
(1)若m=2，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)若2fx−1≥0恒成立，求实数m的取值范围．
(1)若x2+mx+1x10展开式中x6的系数是30，求m的值；
(2)求2x−1x6展开式中的有理项．
某超市有5种不同品牌的签字笔，它们的销售价格（元/支）和市场份额（指该品牌签字笔的销售量在超市同类产品中所占比例）如下：
(1)从该超市销售的这5种品牌的签字笔中随机抽取1支，估计其销售价格低于2.4元的概率；
(2)将该超市销售的这5种品牌的签字笔依市场份额进行分层抽样，随机抽取20支签字笔进行质量检测，其中品牌A和B共抽取了多少支？若从这些抽取的品牌A和B的签字笔中随机再抽取3支进行含油墨量检测．记X为抽到品牌B的签字笔数量，求X的分布列和数学期望．
已知函数fx=ax−2ex+3a∈R,gx=lnx+xex（e为自然对数的底数，e<259）.
(1)求函数fx的单调区间；
(2)若a=−1,hx=fx+gx，证明：当x∈12,1时，−1
2021-2022学年山东省聊城市某校高二（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
2.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
3.
【答案】
A
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
4.
【答案】
D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
5.
【答案】
B
【考点】
条件概率与独立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
6.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
7.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
利用排除法，取特殊值验证即可
【解答】
解：∵ f(x)=3x2e|x|，
∴f(−x)=−3x2e|x|=−f(x)，
∴f(x)是奇函数，排除B；
当x>0时，f′(x)=3−3x2ex，
∴x=1是f(x)的一个极值点.
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
ABD
【答案】
B,C,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
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【解答】
BCD
【答案】
A,C,D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
ACD
【答案】
B,D
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
BD
三、填空题
【答案】
1
【考点】
导数求函数的最值
【解析】
求出函数的导函数，令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0得到x的范围，求出函数的最小值．
【解答】
1
【答案】
16
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
16
【答案】
120
【考点】
分步乘法计数原理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
120
【答案】
0,2
【考点】
函数恒成立问题
函数新定义问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
0,2
四、解答题
【答案】
解：（1）2名男生相邻，利用捆绑法，把2名男生看成一个整体与女生排列，再排2名男生站法有：A44A22=48种．
（2）男生和女生相间，利用插空法，站法有：A33A22=12种．
（3）男生甲不在排头，女生乙不在排尾的站法，利用间接法，
站法有：A55−2A44+A33=78种．
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）2名男生相邻，利用捆绑法，把2名男生看成一个整体与女生排列，再排2名男生站法有：A44A22=48种．
（2）男生和女生相间，利用插空法，站法有：A33A22=12种．
（3）男生甲不在排头，女生乙不在排尾的站法，利用间接法，
站法有：A55−2A44+A33=78种．
【答案】
解：（1）设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则
PA=C32⋅352⋅25=54125．
（2）设“选中甲参加测试”为事件A1，“选中乙参加测试”为事件A2，“通过测试”为事件B，
则PA1=PA2=12,PB|A1=35,PB|A2=45，
由全概率公式可得：PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2=12×35+12×45=710.
【考点】
古典概型及其概率计算公式
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件与对立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则
PA=C32⋅352⋅25=54125．
（2）设“选中甲参加测试”为事件A1，“选中乙参加测试”为事件A2，“通过测试”为事件B，
则PA1=PA2=12,PB|A1=35,PB|A2=45，
由全概率公式可得：PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2=12×35+12×45=710.
【答案】
解：（1）若m=2，则fx=2x+lnx,f′x=−2x2+1x=x−2x2．
∴ f′1=−1，
又f1=2，
∴ 曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为：x+y−3=0.
（2）∵ 2fx−1≥0恒成立，，即fx≥12恒成立，
∴ mx+lnx≥12，即m≥12x−xlnx恒成立，
令gx=12x−xlnx．则g′x=12−lnx−1=−12−lnx，
∴ 当x∈0,ee时，g′x>0，当x∈ee,+∞时，g′x<0，
∴ gx在0,ee上单调递增，在ee,+∞上单调递减，
∴ gxmax=gee=ee，
∴ m≥ee.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）若m=2，则fx=2x+lnx,f′x=−2x2+1x=x−2x2．
∴ f′1=−1，
又f1=2，
∴ 曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为：x+y−3=0.
（2）∵ 2fx−1≥0恒成立，，即fx≥12恒成立，
∴ mx+lnx≥12，即m≥12x−xlnx恒成立，
令gx=12x−xlnx．则g′x=12−lnx−1=−12−lnx，
∴ 当x∈0,ee时，g′x>0，当x∈ee,+∞时，g′x<0，
∴ gx在0,ee上单调递增，在ee,+∞上单调递减，
∴ gxmax=gee=ee，
∴ m≥ee.
【答案】
解：（1）x+1x10的展开式的通项为Tk+1=C10k⋅x10−k 1xk=C10k⋅x10−2k，
令10−2k=4，得k=3，所以x+1x10的展开式中x4的系数为C103
令10−2k=6，得k=2，所以x+1x10的展开式中x6的系数为C102
所以x2+mx+1x10展开式中x6的系数是C103+mC102=30．
解得m=−2．
（2）2x−1x6的展开式的通项为：
Tk+1=C6k⋅2x6−k⋅−1xk=−1k⋅26−kC6kx3−32k ，
所以k=0,2,4,6时，展开式中的项为有理项，
故展开式中的有理项为：
T1=64x3,T3=240,T5=60x3,T=1x6．
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）x+1x10的展开式的通项为Tk+1=C10k⋅x10−k 1xk=C10k⋅x10−2k，
令10−2k=4，得k=3，所以x+1x10的展开式中x4的系数为C103
令10−2k=6，得k=2，所以x+1x10的展开式中x6的系数为C102
所以x2+mx+1x10展开式中x6的系数是C103+mC102=30．
解得m=−2．
（2）2x−1x6的展开式的通项为：
Tk+1=C6k⋅2x6−k⋅−1xk=−1k⋅26−kC6kx3−32k ，
所以k=0,2,4,6时，展开式中的项为有理项，
故展开式中的有理项为：
T1=64x3,T3=240,T5=60x3,T=1x6．
【答案】
解：（1）记“从该超市销售的签字笔中随机抽取1支，其销售价格低于2.4元”为事件M．由已知可得，PM=0.15+0.2+0.25=0.6
所以从该超市销售的签字笔中随机抽取1支，其销售价格低于2.4元的概率为0.6．
（2）由已知可得，品牌A的签字笔抽取了20×15%=3支，品牌B的签字笔抽取了20×10%=2支，所以品牌A和B共抽取了3+2=5（支）．
随机变量X的可能取值为0,1,2,
PX=0=C33C53=110;
PX=1=C32C21C53=35，
PX=2=C31C22C53=310．
所以X的分布列为：
X的数学期望为EX=0×110+1×35+2×310=65.
【考点】
古典概型及其概率计算公式
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）记“从该超市销售的签字笔中随机抽取1支，其销售价格低于2.4元”为事件M．由已知可得，PM=0.15+0.2+0.25=0.6
所以从该超市销售的签字笔中随机抽取1支，其销售价格低于2.4元的概率为0.6．
（2）由已知可得，品牌A的签字笔抽取了20×15%=3支，品牌B的签字笔抽取了20×10%=2支，所以品牌A和B共抽取了3+2=5（支）．
随机变量X的可能取值为0,1,2,
PX=0=C33C53=110;
PX=1=C32C21C53=35，
PX=2=C31C22C53=310．
所以X的分布列为：
X的数学期望为EX=0×110+1×35+2×310=65.
【答案】
解：（1）由fx=ax−2ex+3，得f′x=a−2ex
当a≤0时，f′x<0，函数fx在−∞,+∞ 上单调递减；
当a>0时，当x∈−∞,lna2时，f′x>0,fx单调递增，当x∈lna2,+∞时，f′x<0,fx 单调递减，
∴ a≤0时，fx的单调递减区间为−∞,+∞，无递增区间；
a>0时，fx的单调递增区间是−∞,lna2，单调递减区间是lna2,+∞．
（2）当a=−1时，hx=lnx−x+x−2ex+3,x>0
则h′x=1x−1+x−1ex=x−1xex−1x，
当x∈12,1时，x−1<0
令Ax=xex−1，则A′x=x+1ex>0
所以Ax在12,1上单调递增，
又∵ A12=12e12−1=12e12−2<0,A1=e−1>0
∴ 存在x0∈12,1，使得Ax0=0，即x0ex0−1=0，即lnx0=−x0．
所以当x∈12,x0时，Ax<0，此时h′x>0，当x∈x0,1时，Ax>0，此时h′x<0，即hx在12,x0上单调递增，在x0,1上单调递减，
所以hx在12,1上的最大值为hx0，最小值为h12和h(1）的较小者，
∵ hx0=lnx0−x0+x0−2ex0+3=−2x0−2x0+4=−2x0+1x0+4,x0∈(12,1)，
又x0∈12,1时，x0+1x0>2，故hx0<0，
故x∈12,1时，hx<0．
又∵ h1=2−e>−1
由已知e<259，则e12<53，
∴ h12=−ln2−12−32e12+3=52−32e12−ln2>52−32×53−ln2=−ln2>−1，
故x∈12,1时，hx>−1，
所以x∈12,1时，−1
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由fx=ax−2ex+3，得f′x=a−2ex
当a≤0时，f′x<0，函数fx在−∞,+∞ 上单调递减；
当a>0时，当x∈−∞,lna2时，f′x>0,fx单调递增，当x∈lna2,+∞时，f′x<0,fx 单调递减，
∴ a≤0时，fx的单调递减区间为−∞,+∞，无递增区间；
a>0时，fx的单调递增区间是−∞,lna2，单调递减区间是lna2,+∞．
（2）当a=−1时，hx=lnx−x+x−2ex+3,x>0
则h′x=1x−1+x−1ex=x−1xex−1x，
当x∈12,1时，x−1<0
令Ax=xex−1，则A′x=x+1ex>0
所以Ax在12,1上单调递增，
又∵ A12=12e12−1=12e12−2<0,A1=e−1>0
∴ 存在x0∈12,1，使得Ax0=0，即x0ex0−1=0，即lnx0=−x0．
所以当x∈12,x0时，Ax<0，此时h′x>0，当x∈x0,1时，Ax>0，此时h′x<0，即hx在12,x0上单调递增，在x0,1上单调递减，
所以hx在12,1上的最大值为hx0，最小值为h12和h(1）的较小者，
∵ hx0=lnx0−x0+x0−2ex0+3=−2x0−2x0+4=−2x0+1x0+4,x0∈(12,1)，
又x0∈12,1时，x0+1x0>2，故hx0<0，
故x∈12,1时，hx<0．
又∵ h1=2−e>−1
由已知e<259，则e12<53，
∴ h12=−ln2−12−32e12+3=52−32e12−ln2>52−32×53−ln2=−ln2>−1，
故x∈12,1时，hx>−1，
所以x∈12,1时，−1
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