2022届山东省临沂市高三第三次考前模拟训练数学试卷及答案

山东临沂部分学校2022年高三第三次考前模拟训练

数学试卷（二）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足，其中i是虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

3．在任意空间中，下列命题正确的是（    ）

A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行

4．若，，则（    ）

A． B． C． D．

5．设且，则“函数在上是减函数”，是“函数在上是增函数”的（    ）

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

6．定义“正对数”：，现有四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则，其中错误命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．设在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

8．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．设数列的前项和为，已知．数列满足，则（    ）

A．  B．

C．数列的前项和 D．数列的前项和

10．如图，在五棱锥P－ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，，BC＝2AE＝4，△PAB是等腰三角形．则（    ）

A．平面PCD⊥平面PAC所成角的大小为90° B．直线PB与平面PCD所成角的大小为60°

C．四棱锥P－ACDE的体积为 D．四边形ACDE的面积为3

11．设函数，其中，则（    ）

A．当时，有2个极值点 B．当时有1个极值点

C．当时，有0个极值点． D．若，成立，则

12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，，定义X的信息熵．（    ）

A．若n＝1，则

B．若n＝2，则随着的增大而增大

C．若，则随着n的增大而增大

D．若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：①节目甲必须排在第四位；②节目乙不能排在第一位；③节目丙必须排在最后一位，那么该台晚会节目演出顺序的编排方案共有______种．

14．在梯形中，，，．将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为______．

15．一条光线从点射出，经轴反射与圆相切，则反射光线所在的直线的斜率为______．

16．设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

（1）求的值；

（2）若，，求△ABC的面积．

18．（12分）等比数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足：，求数列的前项和．

19．（12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

20．（12分）某校甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．

（1）分别求甲队以，，胜利的概率；

（2）若比赛结果为或，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．

21．（12分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为A、B和C、D．

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；

（2）设直线、的斜率分别为、，证明；

（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知函数（k为常数，e＝2.71828……是自然对数的底数），曲线在点处的切线与x轴平行．

（1）求k的值；

（2）求的单调区间；

（3）设，其中为的导函数，证明：对任意，．

2022年高三第三次考前模拟训练

数学（二）参考答案

1－4   CADD     5－8   BACA

9. AC     10. AD     11.BD     12. AC

13．42    14．    15．或    16．1

17．解：（1）由正弦定理得，，，

所以，

即，即有，

即，所以．

（2）由（1）知：，即c＝2a，又因为，所以由余弦定理得：

，即，解得，

所以c＝2，又因为，所以，

故的面积为．

18．解：（1）由题意知，，，因为是等比数列，所以公比为3，

所以数列的通项公式．

（2）因为，

所以，

所以．

19．证明：（1）因为底面，所以．

又底面为正方形，所以，因此底面．

因为，平面，所以平面．

由已知得．因此平面．

（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，．

由（1）可设，则．

设是平面的法向量，则即

可取．所以．

设与平面所成角为，则．

因为，当且仅当时等号成立，所以与平面所成角的正弦值的最大值为．

20．解：（1）设甲胜局次分别为A，B，C，D，E，负局次分别为，，，．

；

；

．

（2）根据题意乙队得分分别为0，1，2，3．

；

；

；

．

所以乙队得分的分布列为

．

21．解：（1）由题意知，椭圆离心率为，得，又，

所以可解得，，所以，

所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为，

因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为．

（2）设点，则，，所以，

又点在双曲线上，所以有，即，所以．

（3）假设存在常数，使得恒成立，则由（2）知，所以设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，

由方程组消y得：，设，，

则由韦达定理得：，，

所以，同理可得

，

又因为，所以有，

所以存在常数，使得恒成立．

22．解：（1），由已知，，∴．

（2）由（1）知，．

设，则，即在上是减函数，

由知，当时，从而，

当时，从而．

综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．

（3）由（2）可知，当时，，故只需证明在时成立．

当时，，且，∴．

设，，则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最大值．所以．

综上，对任意，．