初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程教案及反思

第3课时　面积问题

◇教学目标◇

【知识与技能】

能根据几何图形,结合问题中数量之间的等量关系,列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题.

【过程与方法】

经历读题、审题、建模和解题的过程,进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

◇教学重难点◇

【教学重点】

根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.

【教学难点】

根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.

◇教学过程◇

一、情境导入

一幅长8分米,宽6分米的矩形风景画(如图1)的四周镶宽度相同的金色纸边,制成一幅矩形挂图(如图2).如果要使整个挂图的面积是80平方分米,你能求出金色纸边的宽吗?

二、合作探究

探究点　与几何图形有关的问题

典例1　如图,某小区有一块长为30 m,宽为24 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为480 m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为　　　　m. 

[解析]　设人行道的宽度为x m.根据题意,得(30-3x)(24-2x)=480,解得x1=20(舍去),x2=2,则人行通道的宽度是2 m.

[答案]　2

解与图形有关的应用题,要注意这类应用题中常用的相等关系——面积,还要注意挖掘题目中隐含的相等关系.将不规则图形分割或组合成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程.

变式训练　如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,求使草坪的面积为540 m2时道路的宽.

[解析]　设道路宽为x m.

根据题意,得(20-x)(32-x)=540.

整理得x2-52x+100=0.

解得x1=50(舍去),x2=2.

答:道路宽为2 m.

【方法指导】这类题目,不用管路的形状,只要路的宽度相等,一般通过将路向上和向左平移,就可以将绿化地转化为一个矩形.

典例2　如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m),现在已备足可以砌50 m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300 m2.

[解析]　设AB=x m,则BC=(50-2x)m.

根据题意,得x(50-2x)=300,

解得x1=10,x2=15.

当x1=10时,BC=50-10-10=30>25,

故x1=10(不合题意,舍去).

当x2=15时,BC=50-2×15=20.

答:可以砌成AB为15米,BC为20米的矩形.

这类题一定要注意花园的长度不能超过墙的长度.(1)可设平行于墙的长度为x,列方程解,这样便于检验;(2)也可设垂直于墙的长度为x,列方程解,这样便于计算.

三、板书设计

面积问题

1.常见几何图形的面积有:三角形的面积,矩形、菱形、正方形的面积,圆的面积等.

2.利用图形的面积找相等关系列方程.

3.举例说明一元二次方程解几何类应用题的常见类型:

(1)面积问题;(2)镶嵌问题;(3)动点问题;(4)区域规划问题等.

◇教学反思◇

　　本节主要讲解了与图形有关的应用题.对于这部分内容,让学生体会数学来源于生活,又服务于生活.在教学中要注意对常见类型进行归纳,如例1可用平移的方法解决,同时在教学时应复习与图形有关的面积公式.