高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制第一课时导学案及答案

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第一课时　两角差的余弦公式

很多同学认为两角差的余弦cos(α－β)＝cos α－cos β，那么这个结论正确吗？让我们做一个试验：cos(60°－30°)与cos 60°－cos 30°的值作比较，cos(60°－30°)＝cos 30°＝，cos 60°－cos 30°＝－，显然，cos(60°－30°)≠cos 60°－cos 30°，由此可得cos(α－β)＝cos α－cos β不一定成立．

[问题]　如何用α，β的正、余弦值表示cos(α－β)呢？

知识点　两角差的余弦公式

1．公式的结构特征

2．公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)∃α，β∈R，cos(α－β)＝cos α－cos β成立．(　　)

(2)对∀α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(　　)

答案：(1)√　(2)√

2．cos 20°＝(　　)

A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°

B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°

C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°

D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10°

答案：B

3．设α∈，若sin α＝，则cos＝________．

答案：

[例1]　(1)cos(－15°)的值为(　　)

A.　　　　　 B.

C.  D．－

(2)cos 105°＋sin 105°.

(1)[解析]　cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)

＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝，故选C.

[答案]　C

(2)[解]　cos 105°＋sin 105°

＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°

＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.

利用两角差的余弦公式求值的一般思路

(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解；

(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．　　　　

[跟踪训练]

1．cos 105°＝________．

解析：原式＝cos(150°－45°)

＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45°

＝－×＋×

＝.

答案：

2．求下列各式的值：

(1)cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°；

(2)sin 100°·sin(－160°) ＋cos 200°·cos(－280°)．

解：(1)原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°

＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝.

(2)原式＝sin(180°－80°)·sin(－180°＋20°)＋cos(20°＋180°)·cos(80°－360°)

＝sin 80°·(－sin 20°)＋(－cos 20°)·cos 80°

＝－(cos 20°·cos 80°＋sin 20°·sin 80°)

＝－cos(20°－80°)＝－.

[例2]　(链接教科书第216页例2)(1)若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值；

(2)已知sin α＝，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值．

[解]　(1)∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，∴sin θ＝，

又θ是第二象限角，∴cos θ＝－.

∵sin＝cos φ＝－，且φ为第三象限角，

∴sin φ＝－，

∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ

＝×＋×＝.

(2)由sin α＝和α为锐角可得cos α＝＝.

由cos(α＋β)＝－和0<α＋β<180°可得sin(α＋β)＝＝.

于是cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝－×＋×＝.

给值求值的解题策略

(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角；

(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：

①α＝(α－β)＋β；

②α＝＋；

③2α＝(α＋β)＋(α－β)；

④2β＝(α＋β)－(α－β)．　　　　

[跟踪训练]

1．已知cos α＝，α∈，则cos＝(　　)

A．  B．

C．－  D．－

解析：选B　∵cos α＝，α∈，∴sin α＝－＝－，则cos＝(cos α－sin α)＝.

2．已知sin＝－，且π<α<π，求cos α的值．

解：因为π<α<π，所以π<α＋<2π，

所以cos>0，

所以cos＝

＝ ＝，

所以cos α＝cos＝

coscos＋sinsin

＝×＋×＝－.

[例3]　已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，求α－β的值．

[解]　∵α，β均为锐角，

∴cos α＝，cos β＝.

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.

又∵sin α>sin β，∴0<β<α<，

∴0<α－β<.

故α－β＝.

[母题探究]

(变条件)若本例中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β”，则α－β＝________．

解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.

又∵sin α<sin β，∴0<α<β<，

∴－<α－β<0，

故α－β＝－.

答案：－

已知三角函数值求角的解题步骤

(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；

(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；

(3)结合三角函数值及角的范围求角．　　　　

[跟踪训练]

若cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β均为锐角，且α<β，求α＋β的值．

解：∵cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β∈，且α<β，∴α－β∈，2α∈(0，π)，∴sin(α－β)＝－，sin 2α＝，

∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]

＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)

＝×＋×＝－，

∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.

1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选C　原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝.

2．cos(－75°)的值(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　cos(－75°)＝cos(－30°－45°)＝cos(－30°)×cos 45°＋sin(－30°)sin 45°＝×－×＝，故选C.

3．已知α是锐角，sin α＝，则cos＝________．

解析：因为α是锐角，sin α＝，所以cos α＝，所以cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.

答案：

4．化简：＝________．

解析：

＝

＝＝.

答案：