人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制第二课时导学案

第二课时　两角和与差的正弦、余弦公式

乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明．我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新．

[问题]　(1)你能用类比的方法，由cos(α－β)推导出cos(α＋β)吗？

(2)两角和与差的正弦公式如何推导出来？

知识点　两角和与差的余弦、正弦公式

两角和与差的正弦、余弦公式的记忆方法

(1)理顺公式间的联系：

C(α＋β)C(α－β)S(α－β)S(α＋β)

(2)注意公式的结构特征和符号规律：

对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”；

对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)

(2)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β.(　　)

答案：(1)√　(2)×

2．cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°的值为(　　)

A．0　　　　　　　　 B.

C.  D．cos 40°

答案：B

3．sin 15°＝________．

答案：

4．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝________．

答案：－

[例1]　(链接教科书第219页例4)求值：(1)sin 245°·sin 125°＋sin 155°sin 35°；

(2).

[解]　(1)原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°

＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°

＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－.

(2)原式＝

＝

＝

＝＝.

解给角求值问题的策略

(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形；

(2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变形用公式．　　　　

[跟踪训练]

1．cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　)

A．－　　　　　　　 B．－

C.  D.

解析：选D　∵cos 200°＝cos(180°＋20°)

＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°，

∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50°

＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝.

2．化简求值：

(1)；

(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．

解：(1)原式＝

＝

＝＝sin 30°＝.

(2)设α＝θ＋15°，

则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos α

＝＋－cos α＝0.

[例2]　(链接教科书第218页例3)已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝.

(1)求cos的值；

(2)求sin β的值．

[解]　(1)∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝＝，

∴cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.

(2)∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，

由cos(α＋β)＝，得

sin(α＋β)＝＝，

∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.

解决给值求值问题的策略

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．　　　　

[跟踪训练]

1．已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，则sin(α＋β)的值为________．

解析：因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，

所以cos α＝，sin β＝，

所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β

＝×＋×＝.

答案：

2．(2021·河北石家庄辛集中学高一月考)若0<α<<β<π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，求sin α的值．

解：由<β<π，cos β＝－得sin β＝.又0<α<<β<π，所以<α＋β<，所以cos (α＋β)＝－＝－＝－.所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝×＋×＝.

[例3]　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．

[解]　因为α和β均为钝角，

所以cos α＝－＝－，

cos β＝－＝－.

由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.

所以α＋β＝.

给值求角问题的求解策略

(1)解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角；

(2)选三角函数的方法：例如，若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象限，则选正弦函数等．　　　　

[跟踪训练]

已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α.

解：∵α∈，β∈，

∴α－β∈(0，π)．

∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.

∵β∈，sin β＝－，

∴cos β＝.

∴sin α＝sin[(α－β)＋β]

＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β

＝×＋×＝.

又∵α∈，∴α＝.

两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用

在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，试探究P＝sin(A＋B)，Q＝sin A＋sin B，R＝cos A＋cos B的大小，并把P，Q，R按从小到大的顺序排列起来．

[问题探究]

1．当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小．

提示：当A＝30°，B＝30°时，

P＝sin(30°＋30°)＝sin 60°＝，

Q＝sin 30°＋sin 30°＝2sin 30°＝1，

R＝cos 30°＋cos 30°＝2cos 30°＝，

∴P<Q<R.

2．当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小．

提示：当A＝30°，B＝45°时，

P＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°

＝×＋×＝，

Q＝sin 30°＋sin 45°＝＋＝，

R＝cos 30°＋cos 45°＝＋＝，

∵P－Q＝－＝<0，

∴P<Q，

∵Q－R＝－＝<0，

∴Q<R，∴P<Q<R.

3．由问题1，2你能得到什么结论，并证明你的结论．

提示：由问题1，2猜想P<Q<R.

证明：∵C为钝角，∴0<A＋B<，

∴A<－B，B<－A，

∴cos A>cos＝sin B，

cos B>cos＝sin A，

∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B>sin B＋sin A－sin A－sin B＝0，即R>Q.

∵P－Q＝sin(A＋B)－sin A－sin B

＝sin Acos B＋cos Asin B－sin A－sin B

＝sin A(cos B－1)＋sin B(cos A－1)<0，

∴P<Q.

综上可得P<Q<R.

4．若将钝角三角形改为锐角三角形，P，Q，R的大小又如何？

提示：∵P－R＝sin(A＋B)－cos A－cos B

＝sin Acos B＋cos Asin B－cos A－cos B

＝(sin A－1)cos B＋(sin B－1)cos A<0，∴P<R.

∵△ABC为锐角三角形，

∴0<A<，0<B<，A＋B>，

∴－B<A<，－A<B<，

∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B<cos A＋cos B－sin－sin

＝cos A＋cos B－cos B－cos A＝0，

∴R<Q，

综上，P<R<Q.

[迁移应用]

已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan＋，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论．

解：任意交换两个角的位置，y的值不变．

证明如下：

∵A，B，C是△ABC的三个内角，A＋B＋C＝π，

∴＝－.

y＝tan＋

＝tan＋

＝tan＋

＝tan＋tan＋tan，

因此任意交换两个角的位置，y的值不变．

1．coscos－sinsin＝(　　)

A.　　　　　　　 B.

C.  D．1

解析：选B　cos cos－sinsin＝cos＝cos＝，故选B.

2．已知cos＝，则sin＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　∵cos＝－sin α＝，∴sin α＝－，∴－<α<0，∴cos α＝，∴sin＝sin αcos＋cos αsin＝－×＋×＝，故选A.

3．(2021·天津一中高一质检)已知0<β<α<，点P(1，4)为角α的终边上一点，且sin αsin＋cos αcos＝，则角β＝(　　)

A.　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选D　由题意知|OP|＝7(O为坐标原点)，

∴sin α＝，cos α＝.

由sin αsin＋cos αcos＝，

得sin αcos β－cos αsin β＝，

∴sin(α－β)＝.

∵0<β<α<，

∴0<α－β<，

∴cos(α－β)＝＝，

∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.

∵0<β<，∴β＝，故选D.

4．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．

解：∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α

＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α

＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，

∴sin β＝－，又β是第三象限角，

∴cos β＝－＝－，

∴sin＝sin βcos＋cos βsin

＝×＋×＝－.