必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换导学案

  5.5　三角恒等变换

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时　两角差的余弦公式

最新课程标准：经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.

知识点　两角差的余弦公式

　公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．

[教材解难]

　(1)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cos α－cos β或cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角．

(2)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角β＝(α＋β)－α，β＝－等．

[基础自测]

1．cos(45°－60°)等于(　　)

A.　　　　　　　　　　　B.

C.  D.

解析：cos(45°－60°)＝cos 45°cos 60°＋sin 45°sin 60°＝×＋×＝.

答案：D

2．cos 45°·cos 15°＋sin 45°·sin 15°等于(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：原式＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.

答案：B

3．cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°的值是(　　)

A．0  B.

C.  D．－

解析：原式＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°

＝cos(75°－15°)

＝cos 60°＝.故选B.

答案：B

4．已知cos α＝，α∈，则cos＝________.

解析：因为cos α＝，α∈，

所以sin α＝＝＝.

所以cos＝cos α cos＋sin α

sin＝×＋×＝.

答案：

题型一　运用公式化简求值

例1　化简求值：

(1)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°；

(2)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.

【解析】　(1)原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos(63°－33°)＝cos 30°＝.

(2)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.

(1)由117 °＝180 °－63 °，57 °＝90 °－33 °，利用诱导公式化成同角．

(2)利用公式求值．

方法归纳

两角差的余弦公式常见题型及解法

(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．

(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．

(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．

跟踪训练1　求值：

(1)cos 15°＝________；

(2)cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝________.

解析：(1)cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.

(2)原式＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.

答案：(1)　(2)

(1)15 °＝45 °－30 °.

(2)利用公式求值．

题型二　给值求值问题

例2　已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．

【解析】　由sin α＝，α∈，得

cos α＝－

＝－＝－.

又由cos β＝－，β是第三象限角，得

sin β＝－

＝－＝－.

所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝－.

由sinα求cosα，由cosβ求sinβ再利用cos(α－β)公式求值．

教材反思

给值求值的解题策略

(1)利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式．

(2)常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝(α＋2β)－β，α＋β＝－等．

跟踪训练2　已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．

解析：因为α，β∈，

所以0<α＋β<π，

由cos(α＋β)＝－，

得sin(α＋β)＝，

又sin α＝，所以cos α＝，

所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.

β看成是β＝(α＋β)－α，从已知条件中求出(α＋β)与α的正、余弦的值，然后运用差角的余弦公式．

题型三　由三角函数值求角

例3　已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且0<β<α<，求β的值．

【解析】　因为0<β<α<，

所以0<α＋β<π，

由cos α＝，cos(α＋β)＝－，

得sin α＝，sin(α＋β)＝，

所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.

所以β＝.

要求β，因为0<β<所以先求cos β，又cos β＝cos[(α＋β)－α]再利用公式求值．

方法归纳

(1)要求角需先求这个角的三角函数值，然后根据范围得出角的值．

(2)已知一个角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)时，要根据角的范围确定其符号．

跟踪训练3　已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________.

解析：因为α，β均为锐角，

所以cos α＝，cos β＝.

所以cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β

＝×＋×＝.

又因为sin α>sin β，所以0<β<α<，

所以0<α－β<，故α－β＝.

答案：

由sinα，sinβ求cosα，cosβ，再利用公式先求cos(α－β)的值，再求α－β的范围，最后求α－β的值．

课时作业 37

一、选择题

1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于(　　)

A．cos 100°  B．sin 100°

C.        D.

解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝.故选C.

答案：C

2．coscos＋cossin的值是(　　)

A．0  B.

C.  D.

解析：和不是特殊角，但＋＝，所以本题可利用角的互余关系转化函数名，逆用C(α－β)求值．

coscos＋cossin＝coscos＋sinsin＝cos＝cos＝.

答案：C

3．sin α＝，α∈，则cos的值为(　　)

A．－   B．－

C．－  D．－

解析：由条件可得cos α＝－，

∴cos＝cos α＋sin α

＝(cos α＋sin α)＝＝－，

故选B.

答案：B

4．设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则cos β等于(　　)

A.        B．－

C.或－  D.或

解析：因为α，β都是锐角，且cos α＝，

sin(α－β)＝，

所以sin α＝＝；

同理可得cos(α－β)＝，

所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，故选A.

答案：A

二、填空题

5．求值：cos 15°cos 105°－sin 15°sin 105°＝________.

解析：原式＝cos(15°＋105°)＝cos 120°＝－.

答案：－

6．计算：cos 555°＝________.

解析：cos 555°＝cos(720°－165°)＝cos 165°

＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)

＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45° sin 30°)

＝－

＝－.

答案：－

7．已知sin α＝，α∈，则cos的值为________．

解析：∵sin α＝，α∈，

∴cos α＝－＝－＝－，

∴cos＝coscos α＋sinsin α

＝×＋×＝.

答案：

三、解答题

8．计算下列各式的值：

(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°；

(2)coscos θ＋sinsin θ.

解析：(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°

＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝.

(2)coscos θ＋sinsin θ

＝cos＝cos＝.

9．已知cos＋sin α＝，求cos的值．

解析：因为cos＋sin α＝cos α＋sin α＝，所以cos α＋sin α＝，所以cos＝cos α＋sin α＝.

[尖子生题库]

10．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．

解析：由cos α＝，0<α<，

得sin α＝＝ ＝，

由0<β<α<，得0<α－β<.

又因为cos(α－β)＝，

所以sin(α－β)＝＝ ＝.

由β＝α－(α－β)得

cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，所以β＝.