数学10.1 随机事件与概率导学案及答案

这是一份数学10.1 随机事件与概率导学案及答案，共5页。

[重点] 概率基本性质的理解.
[难点] 概率的基本性质的应用．
要点整合夯基础
知识点 概率的几个基本性质
[填一填]
(1)对任意的事件A，都有P(A)≥0.
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
(3)如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(4)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
(5)如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．
(6)设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
[答一答]
1．(1)若A，B为互斥事件，则( D )
A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)＋P(B)>1
C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1
(2)随机事件A发生的概率的范围是( D )
A．P(A)>0 B．P(A)<1
C．0解析：(1)由互斥事件的定义可知，选D.
(2)必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，随机事件的概率在[0,1]上．故选D.
2．若事件P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B是否一定对立？试举例说明．
提示：事件A与事件B不一定对立．例如：抛掷一枚均匀的骰子，记事件A＝“出现偶数点”，事件B＝“出现1点或2点或3点”，则P(A)＋P(B)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝1.当出现2点时，事件A与事件B同时发生，所以事件A与事件B不互斥，显然也不对立．
典例讲练破题型
类型一 互斥事件概率加法公式的应用
[例1] 某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)超过7环的概率．
[分析] 先设出事件，判断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解．
[解] (1)设A＝“射中10环”，B＝“射中7环”，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．A∪B＝“射中10环或7环”．
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)设E＝“超过7环”，则事件E＝“射中8环或9环或10环”，由(1)可知“射中8环”“射中9环”等彼此是互斥事件，
所以P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＝0.69，
所以超过7环的概率是0.69.
对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率等于这些事件概率的和.并且互斥事件的概率加法公式可以推广为：PA1∪A2∪…∪An＝PA1＋PA2＋…＋PAn.其使用的前提条件仍然是A1，A2，…，An彼此互斥.故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥.
[变式训练1] 掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(A∪B)等于( B )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(5,6) D.eq \f(1,3)
解析：∵P(A)＝eq \f(1,6)，P(B)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，事件A与B互斥，由互斥事件的概率加法公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,2)＝eq \f(2,3).
类型二 对立事件概率公式的应用
[例2] 甲、乙两人下棋，和棋的概率是eq \f(1,2)，乙获胜的概率为eq \f(1,3)，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．
[分析] 先设出事件，判断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解．
[解] (1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1－eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6).
(2)方法一：“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,2)＝eq \f(2,3).
方法二：“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，故甲不输的概率为eq \f(2,3).
1只有当A，B互斥时，公式PA∪B＝PA＋PB才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式PA＝1－PB才成立.
2复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率的加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式PA＝1－P\x\t(A)求解.
[变式训练2] 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”．已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( C )
A．0.20 B．0.39 C．0.35 D．0.90
解析：∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.
课堂达标练经典
1．下列说法正确的是( C )
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
D．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
解析：对于A，当A、B为对立事件时，A, B中至少有一个发生的概率和A，B中恰有一个发生的概率相等，故A错；对于B，若A、B是相等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，故B错；C正确，D错误．故选C.
2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq \f(1,7)，都是白子的概率是eq \f(12,35).则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( C )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(12,35)
C.eq \f(17,35) D．1
解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同一色”为事件C.
则P(A)＝eq \f(1,7)，P(B)＝eq \f(12,35).
由互斥事件的概率加法公式可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,7)＋eq \f(12,35)＝eq \f(17,35).即从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是eq \f(17,35)，故选C.
3．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于( A )
A．0.3 B．0.7
C．0.1 D．1
解析：∵A，B是互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，
∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.
4．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为eq \f(3,7)，乙夺得冠军的概率为eq \f(1,4)，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq \f(19,28).
解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq \f(3,7)＋eq \f(1,4)＝eq \f(19,28).
5．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.
求：(1)他乘火车或飞机去的概率；
(2)他不乘轮船去的概率．
解：设A＝“乘火车去开会”，B＝“乘轮船去开会”，C＝“乘汽车去开会”，D＝“乘飞机去开会”，它们彼此互斥．
(1)P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)P(eq \x\t(B))＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.
——本课须掌握的三大问题
1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
3．求复杂事件的概率通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．