高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率学案及答案

10．1.2　事件的关系和运算

[目标] 1.了解事件的关系与运算；2.理解互斥事件、对立事件的概念．

[重点] 事件的关系、运算.

[难点] 事件关系的判定．

要点整合夯基础

知识点　　事件的关系与运算

[填一填]

[答一答]

1．下列说法正确吗？

(1)在掷骰子的试验中，{出现1点}⊆{出现的点数为奇数}；

(2)不可能事件记作∅，显然C⊇∅(C是任一事件)；

(3)事件A也包含于事件A，即A⊆A.

提示：(1)(2)(3)的说法都正确，研究事件的关系可以类比集合间的关系．

2．并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？

提示：并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样．例如，并事件包含三种情况：事件A发生，事件B不发生；事件A不发生，事件B发生；事件A，B同时发生，即事件A，B中至少有一个发生．

3．事件A与事件B互斥的含义是什么？

提示：事件A与事件B互斥的含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生．

4．互斥事件与对立事件的关系是怎样的？

提示：互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．

典例讲练破题型

类型一　　事件关系的判断

[例1]　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各1张)中，任取一张．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．

判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

[分析]　要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．

[解]　(1)是互斥事件，不是对立事件．

理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．

(2)既是互斥事件，又是对立事件．

理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．

(3)不是互斥事件，也不是对立事件．

理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．

互斥事件、对立事件的判断方法

(1)利用基本概念

①互斥事件不可能同时发生；

②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．

(2)利用集合观点

设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.

①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅；

②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.

[变式训练1]　从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(　D　)

A．至少有一个红球与都是红球

B．至少有一个红球与都是白球

C．至少有一个红球与至少有一个白球

D．恰有一个红球与恰有两个红球

解析：根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．

类型二　　事件的运算

[例2]　掷一枚骰子，下列事件：

A＝“出现奇数点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3倍数”．

求：(1)A∩B，BC；

(2)A∪B，B＋C；

(3)记为事件H的对立事件，求，C，∪C，＋.

[分析]　利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．

[解]　(1)A∩B＝∅，BC＝{2}．

(2)A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，

B＋C＝{1,2,4,6}．

(3)＝{1,2}；C＝BC＝{2}；

∪C＝A∪C＝{1,2,3,5}；＋＝{1,2,4,5}．

进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义；二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.

[变式训练2]　盒子里有6个红球，4个的白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件E＝{3个红球}，那么事件C与A，B，E的运算关系是(　B　)

A．C＝(A∩B)∪E

B．C＝A∪B∪E

C．C＝(A∪B)∩E

D．C＝A∩B∩E

解析：由题意可知C＝A∪B∪E.

课堂达标练经典

1．某人打靶时，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　C　)

A．至多有一次中靶

B．两次都中靶

C．两次都不中靶

D．只有一次中靶

解析：“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事件，同时，也是对立事件．

2．如果事件A，B互斥，那么(　B　)

A．A∪B是必然事件

B．A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件

C．A的对立事件与B的对立事件是互斥事件

D．A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件

解析：A与B有两种情况，一种是互斥不对立，另一种是A与B是对立事件，要分类讨论．

3．从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．

上述事件中，是对立事件的是(　C　)

A．①  B．②④

C．③  D．①③

解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．

4．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则事件“取出的是理科书”可记为B∪D∪E.

解析：由题意可知事件“取到理科书”的可记为B∪D∪E.

5．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．

(1)写出试验的样本空间；

(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；

(3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？

解：(1)用数组(a，b，c)表示可能的结果，a，b，c分别表示三个圆所涂的颜色，则试验的样本空间

Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．

(2)A＝{(红，黄，蓝)}，B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}，C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}，D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}．

(3)由(2)可知C⊆B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥．

——本课须掌握的问题

概率论与集合论之间的对应关系