人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系教学设计及反思

匀变速直线运动的速度与位移的关系

 [学习目标]　1.会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义.2.会用公式v2－v＝2ax进行分析和计算.3.掌握三个平均速度公式及其适用条件.4.会推导Δx＝aT2并会用它解决相关问题．

匀变速直线运动的速度与位移关系式

1．公式：v2－v＝2ax.

2．推导：物体以加速度a做匀变速直线运动时，设其初速度为v0，末速度为v，则由

速度公式：v＝v0＋at

位移公式：x＝v0t＋at2.

消去时间t得位移与速度的关系式为v2－v＝2ax.一、速度位移公式的推导及应用

[问题设计]

我国第一艘航空母舰“辽宁号”已有能力同时起飞3架歼15战机，如图1为辽宁舰上3个起飞点示意图，1、2号位置为短距起飞点，起飞线长105米；3号位置为远距起飞点，起飞线长195米．如果歼15战机起飞速度为50 m/s，起飞时航母静止不动，且不使用弹射系统，则战机由3号起飞点起飞的加速度至少是多少？(设跑道水平)

图1

答案　根据v＝v0＋at①

x＝v0t＋at2②

由①得t＝③

把③代入②得

x＝v0＋a()2

整理得：v2－v＝2ax

将v0＝0，v＝50 m/s，x＝195 m

代入上式得：a≈6.41 m/s2.

[要点提炼]

1．匀变速直线运动的位移速度公式：v2－v＝2ax，此式是矢量式，应用解题时一定要先选定正方向，并注意各量的符号．

若v0方向为正方向，则：

(1)物体做加速运动时，加速度a取正值；做减速运动时，加速度a取负值．

(2)位移x>0说明物体通过的位移方向与初速度方向相同，x<0说明物体通过的位移方向与初速度方向相反．

2．两种特殊情况

(1)当v0＝0时，v2＝2ax.

(2)当v＝0时，－v＝2ax.

3．公式特点：该公式不涉及时间．

二、中间时刻的瞬时速度与平均速度

[问题设计]

一质点做匀变速直线运动的v－t图象如图2所示．已知一段时间内的初速度为v0，末速度为v.

(1)这段时间内的平均速度(用v0、v表示)．

(2)中间时刻的瞬时速度v.                                            图2

(3)这段位移中间位置的瞬时速度v.

答案　(1)因为v－t图象与t轴所围面积表示位移，t时间内质点的位移可表示为

x＝·t①

平均速度

＝②

由①②两式得

＝

(2)由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：v＝.

(3)对前半位移有v2－v＝2a

对后半位移有v2－v2＝2a

两式联立可得v＝

[要点提炼]

1．中间时刻的瞬时速度v＝.

2．中间位置的瞬时速度v＝ .

3．平均速度公式总结：

＝，适用条件：任意运动．

＝，适用条件：匀变速直线运动．

＝v，适用条件：匀变速直线运动．

注意　对匀变速直线运动有＝v＝.

[延伸思考]

在匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速度v与中间位置的瞬时速度v哪一个大？

答案　如图甲、乙所示，中间位置的瞬时速度与t′对应，故有v>v.

三、重要推论Δx＝aT2的推导及应用

[问题设计]

物体做匀变速直线运动，加速度为a，从某时刻起T时间内的位移为x1，紧接着第二个T时间内的位移为x2.试证明：x2－x1＝aT2.

答案　证明：设物体的初速度为v0

自计时起T时间内的位移

x1＝v0T＋aT2                                            ①

在第2个T时间内的位移

x2＝v0·2T＋a(2T)2－x1＝v0T＋aT2.           ②

由①②两式得连续相等时间内的位移差为

Δx＝x2－x1＝v0T＋aT2－v0T－aT2＝aT2，

即Δx＝aT2.

[要点提炼]

1．匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δx＝aT2.

2．应用

(1)判断物体是否做匀变速直线运动

如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝……＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．

(2)求加速度

利用连续相等时间段内的位移差Δx，可求得a＝.

一、速度与位移关系的简单应用

例1　A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则xAB∶xBC等于(　　)

A．1∶8　　　B．1∶6　　　C．1∶5　　　D．1∶3

解析　由公式v2－v＝2ax，得v2＝2axAB，(3v)2＝2a(xAB＋xBC)，联立两式可得xAB∶xBC＝1∶8.

答案　A

二、＝v＝的灵活运用

例2　一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求：

(1)质点4 s末的速度；

(2)质点2 s末的速度．

解析　解法一　利用平均速度公式

4 s内的平均速度＝＝，

代入数据解得，4 s末的速度v4＝8 m/s

2 s末的速度v2＝＝ m/s＝5 m/s.

解法二　利用两个基本公式

由x＝v0t＋at2得

a＝1.5 m/s2

再由v＝v0＋at得

质点4 s末的速度v4＝(2＋1.5×4) m/s＝8 m/s

2 s末的速度v2＝(2＋1.5×2) m/s＝5 m/s

答案　(1)8 m/s　(2)5 m/s

针对训练　

一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度—时间图象如图3所示，那么0～t和t～3t两段时间内(　　)

A．加速度大小之比为3∶1                                           图3

B．位移大小之比为1∶2

C．平均速度大小之比为2∶1

D．平均速度大小之比为1∶1

答案　BD

解析　两段的加速度大小分别为a1＝，a2＝，A错．两段的平均速度1＝2＝，C错，D对．两段的位移x1＝vt，x2＝vt，B对．

三、对Δx＝aT2的理解与应用

例3　做匀加速直线运动的物体，从开始计时起连续两个4 s的时间间隔内通过的位移分别              是48 m和80 m，则这个物体的初速度和加速度各是多少？

解析　解法一　根据关系式Δx＝aT2，物体的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2.由于前4 s内的位移48＝v0×4＋a×42，故初速度v0＝8 m/s.

解法二　设物体的初速度和加速度分别为v0、a.由公式x＝v0t＋at2得：

前4 s内的位移48＝v0×4＋a×42

前8 s内的位移48＋80＝v0×8＋a×82

解以上两式得v0＝8 m/s，a＝2 m/s2

解法三　物体运动开始后第2 s、第6 s时的速度分别为：

v1＝＝ m/s＝12 m/s，v2＝＝20 m/s

故物体的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2

初速度v0＝v1－a·＝12 m/s－2×2 m/s＝8 m/s

答案　8 m/s　2 m/s2

1.(速度与位移关系的简单应用)两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为(　　)

A．1∶2　　  　B．1∶4　　　   C．1∶　    　　D．2∶1

答案　B

解析　由0－v＝2ax得＝，故＝()2＝，B正确．

2．(＝v＝的灵活应用)汽车自O点出发从静止开始在平直公路上做匀加速直线运动，途中在6 s内分别经过P、Q两根电线杆，已知P、Q电线杆相距60 m，车经过电线杆Q时的速率是15 m/s，则下列说法正确的是(　　)

A．经过P杆时的速率是5 m/s

B．车的加速度是1.5 m/s2

C．P、O间的距离是7.5 m

D．车从出发到经过Q所用的时间是9 s

答案　ACD

解析　由于汽车在P、Q间的平均速度等于它经过两点时瞬时速度的平均值，即＝，故vP＝－vQ＝5 m/s，A对．车的加速度a＝＝ m/s2，B错．从O到P用时t′＝＝3 s，P、O间距离x1＝·t′＝7.5 m，C对．O到Q用时t′＋t＝3 s＋6 s＝9 s，D对．

3．(对Δx＝aT2的理解和应用)从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图4所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm.试问：

(1)小球的加速度是多少？ 图4

(2)拍摄时小球B的速度是多少？

(3)拍摄时xCD是多少？

答案　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m

解析　小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置．

(1)由推论Δx＝aT2可知，小球加速度为

a＝＝＝ m/s2＝5 m/s2.

(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即

vB＝AC＝＝ m/s＝1.75 m/s.

(3)由于连续相等时间内位移差恒定，所以

xCD－xBC＝xBC－xAB

所以xCD＝2xBC－xAB＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝25×10－2 m＝0.25 m.