高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案

充分条件与必要条件

1．4.1　充分条件与必要条件

某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示．

[问题]　(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？

(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？

知识点一　命题的概念

1．定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

2．分类：判断为的语句是真命题；判断为的语句是假命题．

3．结构形式：“若p，则q”形式的命题中，称为命题的条件，称为命题的结论．

用符号“⇒”与“ ”填空：

(1)x2＞1________x＞1；

(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．

解析：(1)若x2＞1，则x<－1或x>1，故x2＞1 x＞1.

(2)若a，b都是偶数，则a＋b一定是偶数，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．

答案：(1)　(2)⇒

知识点二　充分条件与必要条件

p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q.一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件．(　　)

(2)“ab＝0”是“b＝0”的必要条件．(　　)

(3)若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　)

(4)若q不是p的必要条件，则“p q”．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．(填“充分”“必要”)

答案：必要

3．若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分”“必要”)

答案：充分

[例1]　(链接教科书第18页例1)下列命题中，p是否是q的充分条件？

(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；

(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；

(3)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0；

(4)p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根．

[解]　(1)∵a＝1，b＝－1时，a＋b＝0，

但a2＋b2＝2，∴a＋b＝0 a2＋b2＝0.

∴p不是q的充分条件．

(2)∵等腰梯形的对角线相等，

∴四边形的对角线相等 四边形是矩形．

∴p不是q的充分条件．

(3)当x＝1时，x2－4x＋3＝0，

∴x＝1⇒x2－4x＋3＝0.

∴p是q的充分条件．

(4)由方程x2－x－m＝0无实根，

得Δ＝1＋4m＜0.即m＜－.

∴m＜－1⇒m＜－，即p⇒q.

∴p是q的充分条件．

充分条件的两种判断方法

(1)定义法：

(2)命题判断法：

如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；

如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．　　　　

[跟踪训练]

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

(1)若a∈Q，则a∈R；

(2)若a＜b，则＜1；

(3)若x，y∈R，|x|＝|y|，则x＝y.

解：(1)由于QR，所以p⇒q，

所以p是q的充分条件．

(2)由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1，

因此p q，所以p不是q的充分条件．

(3)若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y，所以p q，所以p不是q的充分条件．

[例2]　(链接教科书第19页例2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

(1)p：x＝1，q：x－1＝；

(2)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形．

[解]　(1)当x＝1时，x－1＝＝0，

所以p⇒q，所以q是p的必要条件；

(2)如图四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p q，所以q不是p的必要条件．

必要条件的两种判断方法

(1)定义法：

(2)命题判断法：

如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；

如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件．　　　　

[跟踪训练]

(多选)下列命题是真命题的是(　　)

A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件

B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件

C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件

D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件

解析：选AC　∵x＞3⇒x＞2，∴A是真命题；∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4 x＝2，∴B是假命题；∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，∴C是真命题；∵q p，∴p不是q的必要条件，D是假命题．

[例3]　已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

[解]　p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．

q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为p⇒q，所以A⊆B，

所以⇒－≤a＜0，

所以a的取值范围是－≤a＜0.

[母题探究]

1．(变条件)若本例中条件p改为“实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

解：p：a＜x＜3a，即集合A＝{x|a＜x＜3a}．

q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为q⇒p，所以B⊆A，

所以

2．(变条件)若本例中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．

解：p：3a＜x＜a，其中a＜0，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．

q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．

因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以A⊆B，

所以⇒－1≤a＜0.

所以a的取值范围是－1≤a＜0.

利用充分(必要)条件确定参数的值(范围)的步骤

(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；

(2)若p是q的充分不必要条件，则MN；若p是q的必要不充分条件，则NM；

(3)根据集合的关系列不等式(组)；

(4)解不等式(组)得结果．　　　　

[跟踪训练]

如果p：0＜x＜3是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．

解析：由2x－3＜m得x＜，由p：0＜x＜3是q：2x－3＜m的充分不必要条件，知p⇒q，q p，则≥3，解得m≥3.

答案：m≥3

1．若p是q的充分条件，则q是p的(　　)

A．充分条件

B．必要条件

C．既不是充分条件也不是必要条件

D．既是充分条件又是必要条件

答案：B

2．若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．既是充分条件也是必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B　由a∈M∪N a∈M，但a∈M⇒a∈M∪N，即p q，但q⇒p.

3．有一个圆A，在其内又含有一个圆B.请回答：命题：“若点在B内，则点一定在A内”中，“点在B内”是“点在A内”的什么条件；“点在A内”又是“点在B内”的什么条件．

解：如图，因为“点在B内⇒点一定在A内”为真，所以“点在B内”是“点在A内”的充分条件；“点在A内”是“点在B内”的必要条件．