2021学年第18章 勾股定理18.1 勾股定理习题课件ppt

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如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
解：如图，连接BD.∵在等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点，∠ABC＝90°，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC.∴∠ABD＝∠CBD＝45°.又易知∠C＝45°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.∴BD＝CD.∵DE⊥DF，BD⊥AC，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF. ∴∠FDC＝∠EDB.
如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2．求证：AB＝BC．
证明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形．由勾股定理得AD2＋CD2＝AC2.又∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.∴AC2＝2AB2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2，即AB＝BC.
【点拨】当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理说明，应用勾股定理说明两条线段相等的一般步骤：(1)找出图中说明结论所要用到的直角三角形；(2)根据勾股定理写出三边长的平方关系；(3)联系已知，等量代换，求之即可．
如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P．求证：BP2＝BC2＋AP2．
证明：如图，连接BM.∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得BC2＋CM2＝BM2，∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.∴BP2＝BC2＋AP2.
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长度．
解：如图，连接BD.　　∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形．∴BD＝AB＝8，∠ABD＝∠1＝60°.又∠1＋∠2＝150°，则∠2＝90°.设BC＝x，则CD＝16－x，由勾股定理得x2＝82＋(16－x)2，解得x＝10.∴BC＝10，CD＝6.
【点拨】当已知条件比较分散且无法直接使用时，往往通过作辅助线构造特殊三角形进行计算．
如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′处．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．
解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF＝C′F.设BF＝x，∵BC＝9，∴CF＝9－x. ∴C′F＝9－x.由题意得BC′＝3.在Rt△C′BF中，根据勾股定理可得C′F2＝BF2＋C′B2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4.∴BF的长是4.
【点拨】根据折叠前后，重合的图形全等，得到相等的线段、相等的角．在新增的Rt△C′BF中，利用折叠的性质，表示出各边长，列方程求解．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s．(1)求BC边的长；
解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，∴BC＝4 cm.
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
解：由题意知BP＝t cm，当△ABP为直角三角形时，有两种情况：Ⅰ.如图①，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，则t＝4.Ⅱ.如图②，当∠BAP为直角时，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
解：当△ABP为等腰三角形时，有三种情况：Ⅰ.如图③，当BP＝AB时，t＝5；Ⅱ.如图④，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8 cm，则t＝8；Ⅲ.如图⑤，当BP＝AP时，AP＝BP＝t cm，CP＝|4－t|cm，AC＝3 cm，
如图，某学校(A点)到公路(直线l)的距离为300 m，到公交站(D点)的距离为500 m．现要在公路边上建一个商店(C点)，使之到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．
解：设CD＝x m(x＞0)，则AC＝x m，作AB⊥l于点B，则AB＝300 m.在Rt△ABD中，AD2＝AB2＋BD2，AB＝300 m，AD＝500 m，∴BD＝400 m.∴BC＝(400－x)m.在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，∴x2＝3002＋(400－x)2，解得x＝312.5.答：商店C与公交站D之间的距离为312.5 m.
【2020·广西北部湾经济区】《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸(1寸≈3．33厘米)，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，
则AB的长是(　　)A．50.5寸　　B．52寸　　C．101寸　　D．104寸
如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度．
如图，已知长方体的长为4 cm，宽为2 cm，高为8 cm．一只蟑螂如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短的路程是多少？
解：分三种情况．情况一：如图①，连接AB′. AB′2＝AB2＋BB′2＝100；情况二：如图②，连接AB′. AB′2＝AC2＋B′C2＝116；情况三：如图③，连接AB′. AB′2＝AD2＋B′D2＝148.