初中数学第18章 勾股定理18.1 勾股定理优秀单元测试同步练习题

第十八章  勾股定理（基础过关）

考试时间：120分钟

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是　　

A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6

【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

【解答】解：、因为，所以不能构成直角三角形；

、因为，所以不能构成直角三角形；

、因为，所以能构成直角三角形；

、因为，所以不能构成直角三角形．

故选：．

【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

2．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为　　

A． B． C． D．

【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．

【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．

圆柱底面的周长为，圆柱高为，

，，

，

，

这圈金属丝的周长最小为，

故选：．

【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．

3．已知的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是　　

A． B．，， 

C． D．

【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．

【解答】解：、设，则，，

，

，解得，

，

此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；

、，

此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

、，，

，

此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

、，

，

此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．

4．如图，在离地面高度处引拉线固定电线杆，拉线和地面成角，则拉线的长是　　

A． B． C． D．

【分析】根据三角形的内角和定理得到，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：，，，

，

，

，

，

解得，

故拉线的长是，

故选：．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

5．如图，在边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，下列选项中最短的线段是　　

A． B． C． D．

【分析】根据勾股定理可计算给出线段的长，则可得出答案．

【解答】解：由勾股定理得，，，，，

，

最短的线段是．

故选：．

【点评】本题考查勾股定理的应用，实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

6．如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

【分析】根据已知可得，．利用勾股定理即可求解．

【解答】解：根据已知可得：，．

在中，．

．

故选：．

【点评】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．

7．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案．

【解答】解：、三角形的三边为，，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；

、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；

、三角形的三边为，，，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；

、三角形的三边为，，，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．

8．下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是　　

A． B． C． D．

【分析】由正方形的性质和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．

【解答】解：以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积，

每个正方形中的数及字母表示所在正方形的边长的平方，

、由勾股定理得：，故选项不符合题意；

、由勾股定理得：，故选项符合题意；

、由勾股定理得：，故选项不符合题意；

、由勾股定理得：，故选项不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了勾股定理以及正方形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键．

9．已知：如图，在中，，平分交于点，于点．若，，则的值为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】根据含角的直角三角形的性质得出，进而利用角平分线的性质得出，进而解答即可．

【解答】解：，，，

，

平分交于点，于点，

，

，

故选：．

【点评】本题考查含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质得出是解题关键．

10．如图，在平面直角坐标系中、，轴，存在第一象限的一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的坐标　　

A．或 B． C．或 D．

【分析】根据点的坐标为，即可得到点在直线上，再分两种情况进行讨论：点在下方，点在上方，分别过作轴的平行线，交轴于，交于，依据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系列方程，即可得到点的坐标．

【解答】解：点的坐标为，

点在直线上，

分两种情况：

①如图所示，当点在下方时，过作轴的平行线，交轴于，交于，则，，，

，

，

又，

，

，

，

，

解得，

；

②如图所示，当点在上方时，过作轴的平行线，交轴于，交于，则，，，

同理可得，，

，

，

，

解得，

；

故选：．

【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，过已知点向坐标轴作平行线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．

二．填空题（共4小题）

11．直角三角形的两条边长分别为、，则这个直角三角形的斜边长为 　4或5　．

【分析】分4为斜边和直角边两种情况讨论即可．

【解答】解：①以的边为斜边；

②以和长的边都是直角边，

则斜边．

故答案为：4或5．

【点评】本题考查勾股定理，关键是对定理的应用．

12．如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的多样化需求，在草地内拐角位置开出了一条“路”，走此“路”可以省 　2　的路．

【分析】由勾股定理求出草地内拐角位置开出了一条“路”的长，即可得出答案．

【解答】解：由勾股定理得：草地内拐角位置开出了一条“路”的长为：，

，

走此“路”可以省的路，

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

13．如图，圆柱的高为，底面半径为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面处的食物，已知四边形的边、恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是 　10　．取

【分析】求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆柱体展开，在得到的矩形上连接两点，求出距离即可．

【解答】解：把圆柱体沿着直线剪开，得到矩形如下：

则的长度为所求的最短距离，

根据题意圆柱的高为，底面半径，

则可以知道，底面周长，

底面周长为，

，

根据勾股定理得出，

即，

．

答：蚂蚁至少要爬行路程才能食到食物，

故答案为：10．

【点评】本题考查平面展开最短路径问题，关键知道圆柱展开图是长方形，根据两点之间线段最短可求出解．

14．如图①，在中，，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么次操作后的图形中所有正方形的面积和为 　　．

【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律解答即可．

【解答】解：，，

设，，

根据勾股定理得，，

，

，

，，，

图①中正方形的面积和为：，

图②中所有正方形的面积和为，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：，

图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中的所有正方形的面积和为：，

，

次操作后的图形中所有正方形的面积和为，

故答案为：．

【点评】此题考查勾股定理，关键是计算出图①、图②和图③的面积得出规律解答．

三．解答题（共9小题）

15．如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以16海里时速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，3小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？

【分析】根据方向角的概念求出，根据勾股定理求出的长，得到答案．

【解答】解：甲船沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，

，

，，

，

乙船的航速是海里时，

答：乙船的航速是海里时．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用和方向角问题，正确运用勾股定理．善于观察题目得到直角三角形是解题的关键．

16．四边形如图所示，已知，，，，．

（1）求证：；

（2）求四边形的面积．

【分析】（1）根据勾股定理得出，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答即可；

（2）根据三角形的面积公式解答即可．

【解答】（1）证明：，，，

，

，

是直角三角形，，

；

（2）解：四边形的面积．

【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出的长．

17．如图，已知是中边上的高，，，．

求的长．

【分析】利用勾股定理求出，从而得出的长．

【解答】解：是中边上的高，

，

，

在中，由勾股定理得：

，

，

的长为18．

【点评】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键，属于基础题．

18．图中大正方形是由4个全等直角三角形和一个小正方形拼成的，其中每个直角三角形两直角边为，，斜边为，你能通过此图验证得到勾股定理吗？请说说你的理由．

【分析】根据四个全等的直角三角形的面积阴影部分小正方形的面积大正方形的面积即可证明．

【解答】证明：由图得，，

整理得，，

即．

【点评】本题考查了用数形结合以及等面积法来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．

19．滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的长度与点到点的距离相等，滑梯高，且，求滑道的长度．

【分析】设，则，，在在中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．

【解答】解：设，则，，

由题意得：，

在中，，，

解得

故滑道的长度为．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．

20．如图，，点在边上，，，点从点出发，沿着方向匀速运动，点同时从点出发，以相同的速度沿方向匀速运动，、两点恰好在点相遇，求的长度？

【分析】由题意知：，设，则．在中，由勾股定理列出方程，解方程即可．

【解答】解：点、同时出发，且速度相同，

，

设，则，

，

，

，

解得：，

．

【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意是解题的关键．

21．如图，已知某开发区有一块四边形空地．现计划在该空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需300元，则在该空地上种植草皮共需多少元？

【分析】连接，由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，然后求出，即可求解．

【解答】解：连接，如图：

在中，，

在中，，，

，

，

是直角三角形，，

，

每平方米草皮需300元，

在该空地上种植草皮共需费用为：（元．

【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明为直角三角形是解题的关键．

22．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域．

（1）求的度数；

（2）海港受台风影响吗？为什么？

（3）若台风中心的移动速度为28千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；

（2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；

（3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．

【解答】解：（1），，，

，

是直角三角形，；

（2）海港受台风影响，理由：过点作，

是直角三角形，

，

，

，

以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，

海港受台风影响；

（3）当，时，正好影响港口，

，

，

台风的速度为28千米小时，

（小时）．

答：台风影响该海港持续的时间为10小时．

【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．

23．阅读理解：如图1，在的边上取一点，连接，可以把分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点是的边上的完美点．

解决问题：

（1）如图2，中，，试找出边上的完美点，并说明理由．

（2）如图3，已知，的顶点在射线上，点是边上的完美点，请认真分析所有符合要求的点，直接写出相应的的度数．

【分析】（1）取的中点，连接即可，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半证明；

（2）根据点是边上的完美点，结合等腰三角形的性质画出图即可．

【解答】解：（1）取的中点，连接即可如图①

，是的中点，

，，

．

，是等腰三角形．

点是边上的完美点

（2）满足条件的点如图所示：②③④⑤⑥

【点评】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握性质的熟练应用，理解题意是解题的关键．